2025年西安交通大学少年班招生考试初试数学试题(初中组)+答案

2025年西安交通大学少年班招生考试初试数学试题(初中组)+答案一、选择题（每题5分，共30分）1.若实数\(a\)，\(b\)满足\(\verta-2\vert+\sqrt{b+3}=0\)，则\(b^{a}\)的值为（）A.\(-6\)B.\(9\)C.\(8\)D.\(-8\)2.已知二次函数\(y=ax^{2}+bx+c\)的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）（此处应给出二次函数图象，假设图象开口向下，对称轴在\(y\)轴右侧，与\(y\)轴交于正半轴）A.\(a\gt0\)，\(b\lt0\)，\(c\gt0\)B.\(a\lt0\)，\(b\gt0\)，\(c\gt0\)C.\(a\lt0\)，\(b\lt0\)，\(c\gt0\)D.\(a\lt0\)，\(b\gt0\)，\(c\lt0\)3.若分式\(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)的值为\(0\)，则\(x\)的值为（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(-1\)D.\(\pm1\)4.一个多边形的内角和是外角和的\(2\)倍，则这个多边形是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形5.已知一次函数\(y=(m-1)x+m^{2}-1\)的图象经过原点，则\(m\)的值为（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(\pm1\)D.\(0\)6.如图，在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，\(\angleA=36^{\circ}\)，\(BD\)平分\(\angleABC\)交\(AC\)于点\(D\)，则图中等腰三角形共有（）A.\(1\)个B.\(2\)个C.\(3\)个D.\(4\)个二、填空题（每题5分，共30分）7.分解因式：\(x^{3}-4x=\)____________。8.若关于\(x\)的一元二次方程\(x^{2}+2x-k=0\)有两个不相等的实数根，则\(k\)的取值范围是____________。9.已知圆锥的底面半径为\(3\)，母线长为\(5\)，则该圆锥的侧面积为____________。10.若一组数据\(2\)，\(3\)，\(x\)，\(5\)，\(7\)的平均数是\(4\)，则这组数据的中位数是____________。11.如图，在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(AC=3\)，\(BC=4\)，以点\(A\)为圆心，\(AC\)长为半径画弧，交\(AB\)于点\(D\)，则\(BD\)的长为____________。12.已知\(a\)，\(b\)满足\(a+b=3\)，\(ab=2\)，则\(a^{2}+b^{2}=\)____________。三、解答题（共90分）13.（12分）计算：\((-1)^{2025}+\vert-2\vert-(3.14-\pi)^{0}+\sqrt{16}\)。14.（12分）先化简，再求值：\((\frac{x+2}{x^{2}-2x}-\frac{x-1}{x^{2}-4x+4})\div\frac{x-4}{x}\)，其中\(x=5\)。15.（12分）如图，在平行四边形\(ABCD\)中，\(E\)，\(F\)分别是\(AD\)，\(BC\)的中点，连接\(BE\)，\(DF\)。求证：四边形\(BEDF\)是平行四边形。16.（14分）某商场销售一种商品，已知这种商品的进价为每件\(60\)元，市场调查发现，在一段时间内，销售量\(y\)（件）与销售单价\(x\)（元）之间的关系为\(y=-2x+200\)。设这种商品在这段时间内的销售利润为\(w\)元，求\(w\)与\(x\)之间的函数关系式；当销售单价为多少元时，销售利润最大？最大利润是多少元？17.（15分）如图，在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，点\(D\)在\(BC\)上，且\(AD=BD\)，\(\angleBAD=40^{\circ}\)，求\(\angleCAD\)的度数。18.（15分）如图，在平面直角坐标系中，直线\(y=kx+b\)经过点\(A(-1,1)\)和点\(B(2,7)\)。（1）求直线\(AB\)的解析式；（2）若直线\(AB\)与\(y\)轴交于点\(C\)，求\(\triangleAOC\)的面积。19.（20分）已知：如图，在\(\triangleABC\)中，\(\angleBAC=90^{\circ}\)，\(AB=AC\)，点\(D\)是\(BC\)的中点，点\(E\)，\(F\)分别在\(AB\)，\(AC\)上，且\(DE\perpDF\)。（1）求证：\(BE=AF\)；（2）若\(BE=3\)，\(AF=4\)，求\(EF\)的长。答案一、选择题1.-因为\(\verta-2\vert+\sqrt{b+3}=0\)，且\(\verta-2\vert\geq0\)，\(\sqrt{b+3}\geq0\)。-所以\(a-2=0\)，解得\(a=2\)；\(b+3=0\)，解得\(b=-3\)。-则\(b^{a}=(-3)^{2}=9\)，答案选B。2.-二次函数\(y=ax^{2}+bx+c\)，图象开口向下，所以\(a\lt0\)。-对称轴\(x=-\frac{b}{2a}\gt0\)，又\(a\lt0\)，所以\(b\gt0\)。-图象与\(y\)轴交于正半轴，所以\(c\gt0\)。答案选B。3.-分式\(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)的值为\(0\)，则分子\(x^{2}-1=0\)且分母\(x-1\neq0\)。-由\(x^{2}-1=0\)，即\((x+1)(x-1)=0\)，解得\(x=\pm1\)，又\(x-1\neq0\)，所以\(x\neq1\)，则\(x=-1\)。答案选C。4.-设这个多边形的边数为\(n\)，多边形的外角和是\(360^{\circ}\)，内角和公式为\((n-2)\times180^{\circ}\)。-已知内角和是外角和的\(2\)倍，则\((n-2)\times180^{\circ}=2\times360^{\circ}\)。-化简得\(n-2=4\)，解得\(n=6\)，所以这个多边形是六边形。答案选C。5.-因为一次函数\(y=(m-1)x+m^{2}-1\)的图象经过原点\((0,0)\)，把\((0,0)\)代入函数得\(0=(m-1)\times0+m^{2}-1\)。-即\(m^{2}-1=0\)，解得\(m=\pm1\)，又因为一次函数\(y=kx+b\)中\(k\neq0\)，即\(m-1\neq0\)，\(m\neq1\)，所以\(m=-1\)。答案选B。6.-在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，\(\angleA=36^{\circ}\)，则\(\angleABC=\angleACB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angleA)=\frac{1}{2}(180-36)^{\circ}=72^{\circ}\)。-因为\(BD\)平分\(\angleABC\)，所以\(\angleABD=\angleDBC=36^{\circ}\)。-在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，是等腰三角形；在\(\triangleABD\)中，\(\angleA=\angleABD=36^{\circ}\)，所以\(AD=BD\)，是等腰三角形；在\(\triangleBCD\)中，\(\angleBDC=180^{\circ}-\angleDBC-\angleACB=180^{\circ}-36^{\circ}-72^{\circ}=72^{\circ}\)，所以\(\angleBDC=\angleACB\)，\(BC=BD\)，是等腰三角形。共有\(3\)个等腰三角形。答案选C。二、填空题7.-\(x^{3}-4x=x(x^{2}-4)=x(x+2)(x-2)\)。8.-对于一元二次方程\(ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)\)，判别式\(\Delta=b^{2}-4ac\)，当\(\Delta\gt0\)时，方程有两个不相等的实数根。-在方程\(x^{2}+2x-k=0\)中，\(a=1\)，\(b=2\)，\(c=-k\)，\(\Delta=2^{2}-4\times1\times(-k)\gt0\)。-即\(4+4k\gt0\)，\(4k\gt-4\)，解得\(k\gt-1\)。9.-圆锥的侧面积公式为\(S=\pirl\)（其中\(r\)是底面半径，\(l\)是母线长）。-已知\(r=3\)，\(l=5\)，则\(S=\pi\times3\times5=15\pi\)。10.-已知数据\(2\)，\(3\)，\(x\)，\(5\)，\(7\)的平均数是\(4\)，根据平均数公式\(\overline{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}\)，可得\(\frac{2+3+x+5+7}{5}=4\)。-即\(2+3+x+5+7=20\)，\(x=20-(2+3+5+7)=3\)。-把这组数据从小到大排列为\(2\)，\(3\)，\(3\)，\(5\)，\(7\)，最中间的数是\(3\)，所以中位数是\(3\)。11.-在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(AC=3\)，\(BC=4\)，根据勾股定理\(AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\)。-因为以点\(A\)为圆心，\(AC\)长为半径画弧，交\(AB\)于点\(D\)，所以\(AD=AC=3\)，则\(BD=AB-AD=5-3=2\)。12.-根据完全平方公式\((a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\)，可得\(a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab\)。-已知\(a+b=3\)，\(ab=2\)，则\(a^{2}+b^{2}=3^{2}-2\times2=9-4=5\)。三、解答题13.-计算\((-1)^{2025}+\vert-2\vert-(3.14-\pi)^{0}+\sqrt{16}\)。-因为\((-1)^{2025}=-1\)，\(\vert-2\vert=2\)，\((3.14-\pi)^{0}=1\)（\(a^{0}=1(a\neq0)\)），\(\sqrt{16}=4\)。-所以原式\(=-1+2-1+4=4\)。14.-先化简\((\frac{x+2}{x^{2}-2x}-\frac{x-1}{x^{2}-4x+4})\div\frac{x-4}{x}\)。-对原式中括号内的式子进行通分，\(x^{2}-2x=x(x-2)\)，\(x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}\)，则\(\frac{x+2}{x^{2}-2x}-\frac{x-1}{x^{2}-4x+4}=\frac{(x+2)(x-2)-x(x-1)}{x(x-2)^{2}}=\frac{x^{2}-4-x^{2}+x}{x(x-2)^{2}}=\frac{x-4}{x(x-2)^{2}}\)。-所以\((\frac{x+2}{x^{2}-2x}-\frac{x-1}{x^{2}-4x+4})\div\frac{x-4}{x}=\frac{x-4}{x(x-2)^{2}}\cdot\frac{x}{x-4}=\frac{1}{(x-2)^{2}}\)。-当\(x=5\)时，原式\(=\frac{1}{(5-2)^{2}}=\frac{1}{9}\)。15.-证明：因为四边形\(ABCD\)是平行四边形，所以\(AD\parallelBC\)，\(AD=BC\)。-又因为\(E\)，\(F\)分别是\(AD\)，\(BC\)的中点，所以\(DE=\frac{1}{2}AD\)，\(BF=\frac{1}{2}BC\)。-则\(DE=BF\)，又\(DE\parallelBF\)。-根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形\(BEDF\)是平行四边形。16.-已知进价为每件\(60\)元，销售单价为\(x\)元，销售量\(y=-2x+200\)。-销售利润\(w=(x-60)y=(x-60)(-2x+200)\)。-展开得\(w=-2x^{2}+200x+120x-12000=-2x^{2}+320x-12000\)。-对于二次函数\(y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)\)，\(a=-2\lt0\)，图象开口向下，对称轴为\(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{320}{2\times(-2)}=80\)。-当\(x=80\)时，\(w_{最大}=-2\times80^{2}+320\times80-12000=-12800+25600-12000=800\)。-所以\(w\)与\(x\)之间的函数关系式为\(w=-2x^{2}+320x-12000\)；当销售单价为\(80\)元时，销售利润最大，最大利润是\(800\)元。17.-因为\(AD=BD\)，\(\angleBAD=40^{\circ}\)，所以\(\angleB=\angleBAD=40^{\circ}\)。-因为\(AB=AC\)，所以\(\angleC=\angleB=40^{\circ}\)。-在\(\triangleABC\)中，\(\angleBAC=180^{\circ}-\angleB-\angleC=180^{\circ}-40^{\circ}-40^{\circ}=100^{\circ}\)。-所以\(\angleCAD=\angleBAC-\angleBAD=100^{\circ}-40^{\circ}=60^{\circ}\)。18.-（1）因为直线\(y=kx+b\)经过点\(A(-1,1)\)和点\(B(2,7)\)，把\(A(-1,1)\)，\(B(2,7)\)代入\(y=kx+b\)得\(\begin{cases}-k+b=1\\2k+b=7\end{cases}\)。-用\(2k+b=7\)减去\(-k+b=1\)得：\((2k+b)-(-k+b)=7-1\)，\(2k+b+k-b=6\)，\(3k=6\)，解得\(k=2\)。-把\(k=2\)代入\(-k+b=1\)得：\(-2+b=1\)，解得\(b=3\)。-所以直线\(AB\)的解析式为\(y=2x+3\)。-（2）在\(y=2x+3\)中，令\(x=0\)，则\(y=3\)，所以\(C(0,3)\)。-已知\(A(-1,1)\)，则\(\triangleAOC\)中，\(OC=3\)，点\(A\)到\(y\)轴的距离为\(1\)。-根据三角形面积公式\(S=\frac{1}{2}\times底\times高\)，可得\(S_{\triangleAOC}=\frac{1}{2}\timesOC\times\vertx_{A}\vert=\frac{1}{2}\times3\times1=\frac{3}{2}\)。19.-（1）证明：连接\(AD\)。-因为\(AB=AC\)，\(\angleBAC