第23章 图形的相似（章节复习）（重点练）解析版

第23章图形的相似（章节复习）（重点练）一、单选题1．某地图上面积表示实际面积，则该地图的比例尺是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先设该地图的比例尺是1:x,根据面积比是比例尺的平方比,列出方程,求得x的值即可.【详解】解:设该地图的比例尺是1:x,根据题意得:则1:=1:9000000,解得=3000,=-3000(舍去).则该地图的比例尺是1:3000;所以B选项是正确的.【点睛】此题考查了比例线段,用到的知识点是比例尺,关键是根据面积比是比例尺的平方比,列出方程.2．把米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据黄金分割的定义列式进行计算即可得解.【详解】解:较短的线段长=2(1-)=2-+1=3-.故选A.【点睛】本题考查了黄金分割的概念,熟记黄金分割的比值()是解题的关键.3．如图，在中，点、分别是、上的点，，，若，则A． B． C． D．【答案】D【分析】首先证明△ADE~△ABC,进而证明=;可得::=4:6:15,由,可得的值.【详解】解：=，:=2:3,=,=,DE∥BC,△ADE~△ABC,=,::=4:6:15,;=4，=25.故选D.【点睛】该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题;解题的关键是牢固掌握相似三角形的判定及其性质,这是灵活运用、解题的基础和关键.4．如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F，若AB=6,AD=8，AE=4，则△EBF周长的大小为()A．8 B．10 C．12 D．6【答案】A【分析】根据折叠之后对应边相等，找出等量关系，再根据相似三角形的周长比等于相似比进而求出三角形EBF的周长．【详解】解:设AH=a,则DH=AD-AH=8-a,在Rt△AEH中,∠EAH=90,AE=4,AH=a,EH=DH=8-a,EH=AE+AH,即(8-a)=4+a,解得:a=3.∠BFE+∠BEF=90,∠BEF+∠AEH=90,∠BFE=∠AEH.又∠EAH=∠FBE=90,△EBF~△HAE,===,=AE+EH+AH=AE+AD=12==8,故选A.【点睛】本题主要考查勾股定理与折叠及相似三角形的判定与性质，综合性大，注意运算的准确形.5．如图，一天晚上，小颖由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续往前走到D处时，测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45º，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯A的高度AB为（）A．3米 B．4.5米 C．6米 D．8米【答案】B【分析】如图，由已知可得∠DPE=∠E=45，AB=BE，设AB=x米,BD=(x-1.5)米，可得△ABD~△FCD,则，代入各数据可得答案.【详解】解：如图所示,设两个交点分别为F、P,根据题意得FC=DP=DE=1.5米,故∠DPE=∠E,在Rt△PDE中,∠DPE=∠E=45,又知DP//BA,故∠BAE=∠DPE=∠E,则AB=BE.设AB=x米,BD=(x-1.5)米.因为FC//AB,即∠DFC=∠DAB,∠FDC=∠ADB,所以△ABD~△FCD,则即：，移项并合并系数化为1,解得：x=4.5,即AB=4.5米，故选B.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质.6．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE交CD于点F，且CE=BC，则=（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质先证△ADF∽△ECF，△ECF∽△EBA，即可得出△ADF∽△EBA，然后利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方可以得到答案．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BE，CD∥AB，AD=BC，∴△ADF∽△ECF，△ECF∽△EBA，∴△ADF∽△EBA，∵CE=BC，∴BE=CE+BC=CE+AD=3CE，∴，∴.故选D.【点睛】本题考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质.利用平行证明两个三角形相似是解题的关键.7．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线于点F，若S△DEC=9，则S△BCF=（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】由已知条件求出△DEF的面积，根据平行四边形的性质得到AD∥BC和△DEF∽△BCF，根据相似三角形的面积比是相似比的平方即可得到答案．【详解】∵E是边AD的中点，∴DEADBC，∴，∴△DEF的面积S△DEC＝3。∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△DEF∽△BCF，∴（）2=，∴S△BCF＝12．故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质；掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题的关键，注意：相似三角形的面积比是相似比的平方．8．如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止.点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm秒.如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△

ABC相似时，运动的时间是(

)A．3或2.8 B．3或4.8 C．1或4 D．1或6【答案】B【分析】根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB，可求运动的时间是3秒或4.8秒．【详解】根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是x秒，①若△ADE∽△ABC，则AD：AB＝AE：AC，即x：6＝（12﹣2x）：12，解得：x＝3；②若△ADE∽△ACB，则AD：AC＝AE：AB，即x：12＝（12﹣2x）：6，解得：x＝4.8．所以当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种情况，不要漏解；还要注意运用方程思想解题．9．如图，▱ABCD，BE：AE＝4：1．若△AEF的面积为2cm2，则△ADF的面积为（）cm2A．8 B．10 C．18 D．32【答案】B【分析】证明△DFC∽△EFA，得，根据已知得，所以5，由同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得结论．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AB＝CD，∴△DFC∽△EFA，∴．∵BE：AE＝4：1，∴，∴5，∴5．∵△AEF的面积为2cm2，∴△ADF的面积为10cm2．故选B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，点D，E分别在AB，AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若CA′＝AA'，则折痕DE的长为()A．4 B．3 C．2 D．【答案】C【分析】△ABC沿DE折叠,使点A落在点A′处,可得∠DEA=∠DEA′=90°,AE=A′E,所以,△ACB∽△AED,A′为CE的中点,所以,可运用相似三角形的性质求得.【详解】解：∵△ABC沿DE折叠,使点A落在点A′处,∴∠DEA=∠DEA′=90°,AE=A′E,∴DE∥BC,

∴△ACB∽△AED,∵CA′=AA',AE=A′E,∴AE=AC,∵△ACB∽△AED,∴,即,∴DE=2,故选C．【点睛】本题主要考查了翻折变换和相似三角形的判定与性质,熟练运用折叠的性质是本题的关键．11．（2020·河北九年级）如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上的一点，且BF＝3CF，连接AE、AF、EF，下列结论：①△ADE∽△ECF，②∠DAE＝∠EAF，③AE2＝AD•AF，④S△AEF＝5S△ECF，其中正确结论的个数是()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】设正方形的边长为4a，根据题意用a表示出FC，BF，CE，DE，根据相似三角形的判定定理，勾股定理，正切的定义，相似三角形的性质定理判断即可．【详解】设正方形的边长为4a，则FC＝a，BF＝3a，CE＝DE＝2a，∴＝2，＝2，∴，又∠D＝∠C，∴△ADE∽△ECF，①正确；由勾股定理得，EF＝，AE＝，AF=，tan∠DAE＝，tan∠EAF＝，∴∠DAE＝∠EAF，②正确；AE2＝(2a)2＝20a2，AD•AF＝4a•5a＝20a2，∴AE2＝AD•AF，③正确；∵AE2＝AD•AF，∴，又∠DAE＝∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴△ECF∽△AEF，∴＝5，∴S△AEF＝5S△ECF，⑤正确；故选D．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．12．如图，矩形ABCD中，折叠矩形一边AD,使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=,且CE:CF=3:4,则矩形ABCD的周长为（

）A．36cm B．3 C．72cm D．7【答案】C【分析】由CE：CF=3：4．在Rt△EFC中可设CF=4k，EF=DE=5k，根据∠BAF=∠EFC，利用相似三角形的性质求出AF，然后在Rt△AEF中利用勾股定理求出k，继而代入可得出答案．【详解】设CE=3k，则CF=4k，由勾股定理得：EF=DE=5k，∴DC=AB=8k．∵∠AFB+∠BAF=90°，∠AFB+∠EFC=90°，∴∠BAF=∠EFC．∵∠B=∠C=90°，∴△ABF∽△FCE，∴AB：BF=FC：CE=4：3，∴BF=6k，AF=BC=AD=10k．在Rt△AFE中由勾股定理得：，解得：k=2，则矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（8k+10k）=72（cm）．故选C．【点睛】本题考查了翻折变换、相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解答本题关键是根据相似三角形的判定与性质，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定理进行解答，有一定难度．13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC边在x轴正半轴上，中线BD的反向延长线交y轴负半轴于点E．双曲线y＝一条分支经过点A，若S△BEC＝4，则k等于()A．4 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】先根据题意证明△BOE∽△CBA，根据相似比及面积公式得出BO×AB的值即为|k|的值，再由函数所在的象限确定k的值．【详解】∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线，∴BD＝DC，∠DBC＝∠ACB，又∠DBC＝∠EBO，∴∠EBO＝∠ACB，又∠BOE＝∠CBA＝90°，∴△BOE∽△CBA，∴＝，即BC×OE＝BO×AB．又∵S△BEC＝4，即BC×OE＝8＝BO×AB＝|k|．又由于反比例函数图象在第一象限，k＞0．所以k等于8．故选B．【点睛】此题主要考查了反比例函数

y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．14．（2020·四川）如图，过点作y轴的垂线交直线于点，过点作直线l的垂线，交y轴于点，过点作y轴的垂线交直线l于点，…，这样依次下去，得到，，，…，其面积分别记为，，，…，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题需先求出OA1和OA2的长，再根据题意得出OAn=2n，把纵坐标代入解析式求得横坐标，然后根据三角形相似的性质即可求得S100．【详解】∵点的坐标是，∴，∵点在直线上，∴，，∴，∴，∴，得出，∴，∴，，∵，∵，∴，∴，∴故选D．【点睛】本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用．二、填空题15．（2020·安徽临泉·九年级期末）如图，在中，点在上，请再添加一个适当的条件，使与相似，那么要添加的条件是__________．(只填一个即可)【答案】或【分析】已知与的公共角相等，根据两角对应相等的两个三角形相似再添加一组对应角相等即可.【详解】解：（公共角）（或）（两角对应相等的两个三角形相似）故答案为：或【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.16．如图，BD是四边形ABCD的对角线，，，点、分别是和的重心，则点、间的距离为_．【答案】2【分析】取BD的中点G，连接AG，CG，AC，根据点、分别是和的重心，得到在AG上，在CG上，求得，根据相似三角形的性质得到，根据已知条件得到是等边三角形，求得，于是得到结论．【详解】解：取BD的中点G，连接AG，CG，AC，点、分别是和的重心，在AG上，在CG上，，，∽，，，，是等边三角形，，，故答案为2．【点睛】本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是重心，点D在斜边AB上，CD过点E，作EF∥AB交CB于点F，若EF＝6，则AB的长为_____．【答案】18【分析】依据重心的性质即可得出CE＝2DE，再根据△CEF∽△CDB，即可得到BD＝9，依据Rt△ABC中，CD是中线，可得AB＝2BD＝18【详解】∵点E是重心，∴CE＝2DE，∴＝，又∵EF∥AB，∴△CEF∽△CDB，∴＝，即＝，∴BD＝9，又∵Rt△ABC中，CD是中线，∴AB＝2BD＝18，故答案为18【点睛】本题主要考查了三角形的重心及相似三角形的性质的应用，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．18．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，E为线段AB的中点，D点是射线AC上的一个动点，将△ADE沿线段DE翻折，得到△A′DE，当A′D⊥AB时，则线段AD的长为_____．【答案】或．【分析】①延长A'D交AB于H，则A'H⊥AB，然后根据勾股定理算出AB，推断出△ADH∽△ABC，即可解答此题②同①的解题思路一样【详解】解：分两种情况：①如图1所示：设AD＝x，延长A'D交AB于H，则A'H⊥AB，∴∠AHD＝∠C＝90°，由勾股定理得：AB＝＝13，∵∠A＝∠A，∴△ADH∽△ABC，∴，即，解得：DH＝x，AH＝x，∵E是AB的中点，∴AE＝AB＝，∴HE＝AE﹣AH＝﹣x，由折叠的性质得：A'D＝AD＝x，A'E＝AE＝，∴sin∠A＝sin∠A'＝,解得：x＝；②如图2所示：设AD＝A'D＝x，∵A'D⊥AB，∴∠A'HE＝90°，同①得：A'E＝AE＝，DH＝x，∴A'H＝A'D﹣DH＝x﹣＝x，∴cos∠A＝cos∠A'＝，解得：x＝；综上所述，AD的长为或．故答案为或．【点睛】此题考查了勾股定理，三角形相似，关键在于做辅助线19．（2020·浙江湖州·）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上.（I）计算的值等于____________；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边、面积等于的矩形，并简要说明画图方法（不要求证明）_____________.【答案】13取格点D，E，连接AD，BE：取格点F，G，连接FG，交AD于点H，交BE于点l，则四边形AHIB即为所求.【分析】(1)由格点的长度及勾股定理求出AC,BC长度即可求解;(2)取格点D，E，连接AD，BE：取格点F，G，连接FG，交AD于点H，交BE于点l，则四边形AHIB即为所求.【详解】(1)由图可知，∴.(2)首先作垂直于AB的两条边，取格点D，E，连接AD，BE，因为AB=,则矩形的另一边长为，构造与△BPE相似的△EIG，且其中BI=，由对应边成比例可求出EG=1，所以可找到格点G，并过G作平行于AB的线段FG即可,连接FG，交AD于点H，交BE于点l，则四边形AHIB即为所求.【点睛】本题考查作图题，主要是根据相似求出边之间的关系，找到对应的重要格点，最垂直平行是常见的方法.20．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点都在格点上．（Ⅰ）AC的长是_____________；（Ⅱ）将四边形折叠，使点C与点4重合，折痕EF交BC于点E，交AD于点F，点D的对应点为Q，得五边形.请用无刻度的直尺在网格中画出折叠后的五边形，并简要说明点的位置是如何找到的____________________.【答案】如图所示，取格点连接HO并延长分别交AD，BC于点F，E，连接BN，DM相交于点Q，则点E，F，为所求.【分析】（Ⅰ）根据勾股定理计算可得AC的长；（Ⅱ）如图所示，取格点连接HO并延长分别交AD，BC于点F，E，连接BN，DM相交于点Q，则点E，F，为所求.【详解】解：（Ⅰ）在Rt中，由勾股定理得：AC==，（Ⅱ）如图所示根据折叠的性质折痕EF垂直平分AC，取AC的中点格点O，根据AC是直角边长分别为2，4的直角三角形的斜边，要找过O与AC垂直的直线需找过点O且直角边长分别为2，4的直角三角形的斜边，取格点H,连接HO并延长分别交AD，BC于点F，E，则点E，F，为所求.根据点D的对应点为Q，可知点D和点Q得关于OH对称，则OH垂直平分DQ，需QD//AC，QF=DF，取格点M使AM=2=CD，连接DM可得DM//AC；根据，可得DF=1.5，则PF=1.5，QF=1.5，则需PQ⊥DQ，所以取点N连接BN即可【点睛】本题主要考查了应用与设计作图，相似三角形的性质与判定以及勾股定理的运用，解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．21．（2020·甘肃临洮·九年级）如图，已知：△ABC中，DE∥BC，AD＝3，DB＝6，AE＝2，则EC＝_______.【答案】4【分析】△ABC中，DE∥BC，应用平行线分线段成比例的性质，可解答．【详解】∵△ABC中，DE∥BC，∴，∵AD=3，DB=6，AE=2，∴，∴EC=4．【点睛】本题主要考查平行线分线段分线段成比例定理的理解及运用；找准对应关系，避免错选其他答案．22．在△ABC中，AB＝AC，CD是AB边上的中线，点E在边AC上（不与A，C重合），且BE＝CD．设＝k，若符合条件的点E有两个，则k的取值范围是_____．【答案】且【分析】符合条件的点E有两个E、E1，则AC边上的高垂直平分EE1，由等腰三角形的性质得出BE是中线，AE=CE，求出当CD⊥AB时，BE⊥AC，满足条件的点E有一个，此时△ABC是等边三角形，AB=BC，=1；求出当满足条件的一个点E1与点A重合时，=；当满足条件的一个点E1与点C重合时，BE=BC，证明△BCE∽△ABC，得出=，求出AB=BC，得出=,即可得出结果．【详解】解：设=k，若符合条件的点E有两个E、E1，则AC边上的高垂直平分EE1，∵AB=AC，CD是AB边上的中线，BE=CD，∴BE是中线，AE=CE，当CD⊥AB时，BE⊥AC，满足条件的点E有一个，此时△ABC是等边三角形，AB=BC，=1；当满足条件的一个点E1与点A重合时，BE=AB，作BG⊥AC于G，如下图所示：则AG=EG=AE=AC=AB，由勾股定理得：BG2=AB2-AG2，BC2=BG2+CG2=AB2-AG2+CG2=AB2-（AB）2+（AB）2=AB2，∴BC=AB，∴=；当满足条件的一个点E1与点C重合时，BE=BC，如下图所示：∴∠BCE=∠BEC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠BCE=∠BEC=∠ABC=∠ACB，∴△BCE∽△ABC，∴=，∴BC2=AB×CE=AB2，∴AB=BC，∴=；综上所述，设=k，若符合条件的点E有两个，则k的取值范围是：＜k＜，且k≠1；故答案为＜k＜，且k≠1．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的中线；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．23．如图,正方形ABCD的边长为2,点E为边AB上一动点,连接CE并将其绕点C顺时针旋转90°得到CF,连接DF,以CE、CF为邻边作矩形CFGE,GE与AD、AC分别交于点H、M,GF交CD的延长线于点N.现有以下结论:①△DCF≌△BCE;②BE·AH=AE·DN;③若MN∥EF,则AE=4-;④当AE=1时,DH取得最小值.其中正确的结论是__.(填写所有正确结论的序号)

【答案】①②④【分析】①先判断出∠BCE=∠DCF，即可用SAS得出结论；②只要证明∠HEA=∠DFN，从而证得△DFN∽△AEH即可.③只要证明△CFN≌△CEM，推出∠FCN=∠ECM，由∠MCN=45°，可得∠FCN=∠ECM=∠BCE=22.5°，在BC上取一点P，使得PC=PE，则△BPE是等腰直角三角形，设BE=BP=a，则PC=PE=，可得，求出a即可解决问题；④设AE=x,DH=y,则AH=2-y,BE=2-x,证得△ECB∽△HEA,得=,有=,整理得y=x2-x+2=(x-1)2+,即可求出y的最小值【详解】∵四边形ABCD是正方形,∴CD=CB,∠BCD=∠B=∠ADC=90°,由旋转知:CE=CF,∠ECF=90°,∴∠ECF=∠DCB,∴∠DCF=∠BCE.在△DCF和△BCE中,∴△DCF≌△BCE(SAS),故结论①正确;∵△DCF≌△BCE,∴BE=DF,∠CDF=∠B=90°.∴A,D,F三点在同一直线上.∵四边形ABCD是正方形,∴∠FDN=∠EAH=90°,∵四边形CFGE是矩形,∴∠DFN+∠FHG=90°,∵∠EHA+∠HEA=90°,∠EHA=∠FHG,∴∠HEA=∠DFN,∴△DFN∽△AEH,∴=,∴DF·AH=AE·DN,∵BE=DF,∴BE·AH=AE·DN,故结论②正确;∵四边形CFGE是矩形,CF=CE,∴四边形CFGE是正方形,∴GF=GE,∠GFE=∠GEF=45°,∵NM∥EF,∴∠GNM=∠GFE,∠GMN=∠GEF,∴∠GMN=∠GNM,∴GN=GM,∴FN=EM.在△CEM和△CFN中,∴△CFN≌△CEM(SAS),∴∠FCN=∠ECM.∵∠MCN=45°,∴∠FCN=∠ECM=∠BCE=22.5°,如图所示,在BC上取一点P,使得PC=PE,则△PBE是等腰直角三角形,设PB=BE=a,∴a+a=2,∴a=2-2,∴AE=AB-BE=4-2,故结论③错误;设AE=x,DH=y,则AH=2-y,BE=2-x,∵四边形CFGE是矩形,∴∠CEG=90°,∴∠CEB+∠AEH=90°,∵∠CEB+∠ECB=90°,∴∠ECB=∠AEH,∵∠B=∠EAH=90°,∴△ECB∽△HEA,∴=,∴=,∴y=x2-x+2(0<x<2).∵y=x2-x+2=(x-1)2+,∴当AE=x=1时,DH=y取得最小值,最小值为,故结论④正确.【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．24．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列四个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN≌△OAD；④AN2+CM2＝MN2；其中正确的结论是_____．（填写所有正确结论的序号）【答案】①②④【分析】①易证△CNB≌△DMC（ASA），①正确;②由△CNB≌△DMC得CM＝BN，证得△CON≌△DOM（SAS），②正确;③证得△MON是等腰直角三角形，可得△OMN∽△OAD，③不正确;④由勾股定理得在Rt△BMN中，BM2+BN2＝MN2，由AB＝BC，CM＝BN，推出BM＝AN，可得AN2+CM2＝MN2，④正确【详解】∵正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90°，∴∠BCN+∠DCN＝90°，又∵CN⊥DM，∴∠CDM+∠DCN＝90°，∴∠BCN＝∠CDM，在△CNB和△DMC中，，∴△CNB≌△DMC（ASA），①正确；∴CM＝BN，∵四边形ABCD是正方形，∴∠OCM＝∠OBN＝45°，OC＝OB＝OD，在△OCM和△OBN中，，∴△OCM≌△OBN（SAS），∴OM＝ON，∠COM＝∠BON，∴∠DOC+∠COM＝∠COB+∠BPN，即∠DOM＝∠CON，在△CON和△DOM中，，∴△CON≌△DOM（SAS），②正确；∵∠BON+∠BOM＝∠COM+∠BOM＝90°，∴∠MON＝90°，即△MON是等腰直角三角形，又∵△AOD是等腰直角三角形，∴△OMN∽△OAD，③不正确；∵AB＝BC，CM＝BN，∴BM＝AN，,④正确；故答案为①②④．【点睛】此题属于四边形的综合题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键.25．（2020·全国九年级期末）如图，已知中，，，，、分别是、上的动点，，与关于直线对称，若是直角三角形，则的长为___．【答案】或【分析】分三种情况：①当∠PAD＝90，由平行四边形的性质得出CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，AD∥BC，证明△ABP∽△CBA，得出，求出BP＝，由轴对称的性质即可得出结果；②∠APD＝90，当点P与C重合时，得出该情况不成立；③当点P与C不重合时，∠APD＝90，作AG⊥BC于G，则EF与AG重合，根据三角形面积及勾股定理求出BF＝．【详解】分三种情况：①当∠PAD＝90，如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，AD∥BC，∴∠APB＝∠PAD＝90°，∵AB＝3，BC＝5，∠BAC＝90，∴AC＝＝4，∵∠B＝∠B，∴△ABP∽△CBA，∴，即，解得：BP＝，∵EF⊥BC，△BEF与△PEF关于直线EF对称，∴BF＝PF＝BP＝；②当∠APD＝90时，点P与C重合时，如图2所示：∵AB∥CD，∴∠APD＝∠ACD＝∠BAC＝90，∵E在AB上，E和A重合，而AB≠AC，则△BEF与△PEF关于直线EF不对称，∴该情况不存在；③当点P与C不重合时，∠APD＝90，如图3所示：作AG⊥BC于G，则EF与AG重合，∵AB＝3，BC＝5，∠BAC＝90，∴AC＝＝4，∴AF=∴BF＝=；综上所述，若△APD是直角三角形，则BF的长为或；故答案为：或．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．26．（2020·陕西九年级专题练习）如图，在中，，，，点F在边AC上，点E为边BC上的动点，将沿直线EF翻折，点C落在点P处．若，则点P到AB距离的最小值为________．【答案】【详解】如解图，延长交于点，当时，点到的距离最小(点在以为圆心，为半径的圆上)．，，，∴，，，，，，，，，∴点到边距离的最小值是．三、解答题27．如图，△ABC中，∠BAC＝90°．（1）尺规作图：在BC上求作E点，使得△ABE与△ABC相似；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，AC＝3，AB＝4，求△AEC的周长．【答案】（1）见解析；（2）△AEC的周长＝【分析】（1）过点A作BC的垂线即可；（2）在直角三角形ABC中，根据勾股定理可求出BC长，由（1）知，△ABE与△ABC相似，相似三角形对应线段成比例，由此，可求出AE,CE长，即知△AEC的周长.【详解】解：（1）如图所示，点E即为所求；（2）由（1）可得，△ABE∽△CBA，∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC＝5，∴AE＝，CE＝，∴△AEC的周长＝3++＝．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，确定相似三角形成比例的线段是解题的关键.28．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，.动点，同时从点出发，沿，沿折线，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为秒，连接.（Ⅰ）如图1，当点移动到中点时，求此时的值及点坐标；（Ⅱ）在移动过程中，将沿直线翻折，点的对称点为.①如图2，当点恰好落在边上的点处时，求此时的值；②当点移动到点时，点落在点处，求此时点的坐标（直接写出结果即可）.【答案】（Ⅰ）,点坐标为;（Ⅱ）①;②点坐标为【分析】(1)根据点的坐标，以求得AB的长，由于N是AB的中点，可得AN的长度，从而求出t，即可求M点胡坐标;(2)①由翻着的性质可得四边形为菱形，则有轴，可得到，即，从而求出t.②根据相似可以求出N()，设E(x,y),根据勾股定理列出方程组:EM=6,EN=5,解得即可求出点E.【详解】（Ⅰ）∵，，∴，，∴.当点移动到中点时，由题意可得，∴.∵，∴点坐标为.（Ⅱ）①由题意可得，∵沿直线翻折，点落在点处，∴，∴四边形为菱形，∴，轴，∴，∴，，解得.（Ⅱ）②过N做X轴的垂线，垂足为Q，由△CNQ∽△BCO，又∵BN=1,AC=6,BC=5,∴,∴N()，设E(x,y),且CE=6,EN=5,则解得：点坐标为.【点睛】此题是几何中的点及翻着问题，并涉及到了菱形的判定及性质，相似三角形的知识的灵活应用，有一定的综合性.29．如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：．【分析】根据两角相等的两个三角形相似证明△ADC∽△BEC即可．【详解】证明：∵AD，BE分别是BC，AC上的高∴∠D=∠E=90°又∠ACD=∠BCE（对顶角相等）∴△ADC∽△BEC∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握形似三角形的判定方法是解答本题的关键．①有两个对应角相等的三角形相；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．30．（2020·山东东平·九年级期末）如图，四边形中，，平分，点是延长线上一点，且.（1）证明：；（2）若与相交于点，，求的长.【答案】（1）详见解析；（2）【分析】（1）直接利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC；（2）首先过点C作CM⊥PD于点M，进而得出△CPM∽△APD，求出EC的长即可得出答案．【详解】解：（1）：∵，平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）过点作于点，∵，∴，∵，∴，∴，设，∵，∴，∵，∴，解得：，∴.【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，正确得出△CPM∽△APD是解题关键．31．（2020·上海上外附中）已知直角三角形斜边上的高为，且斜边上的高把斜边分成两段，则斜边上的中线长是__________【答案】【分析】设两段分别为CD=3x，AD=4x，根据列出方程，求得x然后根据直角三角形斜边中线的性质即可求解．【详解】由题意得下图：∵，∴又∵∴∴设两段分别为CD=3x，AD=4x∴，解得或（舍去）∴∴斜边中线的长为故答案为．【点睛】本题考查了一元二次方程方程的实际应用，直角三角形斜边中线的性质，三角形相似的判定和性质，关键是要舍去一元二次方程的不合理的根．32．已知：在正方形ABCD中，AB＝3，E是边BC上一个动点（点E不与点B，点C重合），连接AE，点H是BC延长线上一点．过点B作BF⊥AE，交AE于点G，交DC于点F．（1）求证：AE＝BF；（2）过点E作EM⊥AE，交∠DCH的平分线于点M，连接FM，判断四边形BFME的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，∠EMC的正弦值为，求四边形AGFD的面积．【答案】（1）见解析；（2）四边形BFME是平行四边形，见解析；（3）S四边形ADFG＝.【分析】（1）结合正方形的性质证△ABE≌△BCF即可；（2）要证四边形BFME是平行四边形，由（1）知△ABE≌△BCF（ASA）且AE＝BF，若能证AE=EM，则BF=EM，只需再证BF∥EM即可，因此为证AE=EM，可构造以AE为边的三角形使其与△ECM全等，可在AB上截取BN＝BE，构造三角形AEN，进行证明即可;（3）如图2，连接BD，过点F作FN⊥BD于点N，由正方形、平行线及角平分线的性质可知∠EMC＝∠DBF，所以sin∠EMC＝sin∠DBF＝＝，设NF＝a，BF＝10a，由正方形的性质，可知BD,ND长，BN=BD-ND,在直角三角形BNF中BF2﹣NF2＝BN2，据此求出a的值，即知NF，BF长，同样，DF,FC，BE,EC的长也能求出，再由△BGE∽△BCF求出BG，GE长，此时，可求出四边形ADEC，ECFG的面积，作差即得四边形AGFD的面积.【详解】解：证明：（1）∵在正方形ABCD中，∴∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝BC，∵∠BAE+∠ABF＝90°，∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，且∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝BC，∴△ABE≌△BCF（ASA）∴AE＝BF，（2）四边形BFME是平行四边形理由如下：如图1：在AB上截取BN＝BE，∵△ABE≌△BCF∴∠BAE＝∠FBC∵AB＝BC，BN＝BE，∴AN＝EC，∠BNE＝45°∴∠ANE＝135°∵CM平分∠DCH∴∠DCM＝∠MCH＝45°∴∠ECM＝135°＝∠ANE∵AE⊥EM∴∠AEB+∠MEC＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°∴∠BAE＝∠MEC，且AN＝EC，∠ANE＝∠DCM∴△ANE≌△ECM（SAS）∴AE＝EM，∠BAE＝∠MEC∴∠BAE＝∠FBC＝∠MEC∴BF∥EM，且BF＝AE＝EM∴四边形BFME是平行四边形（3）如图2，连接BD，过点F作FN⊥BD于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝3，∠DBC＝∠BDC＝45°，∴BD＝3，∠DBF+∠FBC＝45°∵∠MCH＝∠MEC+∠EMC＝45°，∠FBC＝∠MEC∴∠EMC＝∠DBF∴sin∠EMC＝sin∠DBF＝＝∴设NF＝a，BF＝10a，∵∠BDC＝45°，FN⊥BD∴DN＝NF＝a，DF＝NF＝2a∴BN＝3﹣a∵BF2﹣NF2＝BN2，∴98a2＝（3﹣a）2，∴a＝∴DF＝2×＝∴FC＝∵△ABE≌△BCF∴BE＝CF＝，∴EC＝，BF＝＝∵∠FBC＝∠FBC，∠BGE＝∠BCF∴△BGE∽△BCF∴∴∴BG＝，GE＝∴S四边形ADFG＝S四边形ADEC﹣S四边形ECFG，∴S四边形ADFG＝【点睛】本题是正方形、三角形、平行四边形的综合题，难度较高，主要涉及的知识点有正方形的性质、全等三角形的证明、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、平行四边形的性质与判定，辅助线的添加是本题的突破点，理清题中边与角的关系，熟练应用正