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文档简介

6.1数值积分基本概念（1）曲绍波1

2

6.1.1

数值积分基本概念【概率论与数理统计】独立同分布的中心极限定理3

牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式4

能够使用Newton-Leibniz公式的前提：

5使用Newton-Leibniz公式可能遇到的困难：（1）被积函数的原函数无法用初等函数表示；（2）被积函数的原函数虽然可以用初等函数表示，但表达式非常复杂，不便于使用；

（3）被积函数是由测量或数值计算给出的一张数据表，没有解析表达式。

6数值积分公式的构造：

去掉

7为了计算定积分

构造如下形式的数值积分公式（数值求积公式）

为求积余项。

8

在数值积分公式当中

9定义1【代数精度】

（2）泰勒展开式

注意：代数精度越高，则求积公式越好。10

11（1）若要使求积公式

12例1

确定下述求积公式的求积系数，使其代数精度尽可能高，并指出所构造的求积公式具有几次代数精度。

13整理，得

解得

于是得求积公式该求积公式至少具有2次代数精度。14

因此，所构造的求积公式具有3次代数精度。

15【收敛性】在求积公式中，若

其中，则称求积公式是收敛的。

16

【稳定性】

就有

则称求积公式是稳定的。6.1数值积分基本概念（2）曲绍波1718

思路：6.1.2

插值型求积公式

步骤：19

20

21插值型求积公式求积系数

（1）求积系数与节点有关，与被积函数无关。（2）求积系数之和

Lagrange插值基函数之和22求积余项：

23

证明：必要性

24

25例1给定求积公式如下，证明此求积公式是插值型求积公式。

证明：令方法一验证求积系数是Lagrange插值基函数的积分

构造Lagrange插值基函数

26例1给定求积公式如下，证明此求积公式是插值型求积公式。

证明：

27例1给定求积公式如下，证明此求积公式是插值型求积公式。

证明：于是有

所以此求积公式是插值型求积公式。28例1给定求积公式如下，证明此求积公式是插值型求积公式。

证明：

方法二验证该求积公式至少具有2次代数精度

29例1给定求积公式如下，证明此求积公式是插值型求积公式。

证明：

这说明该3个节点的求积公式至少具有2次代数精度，因此是插值型求积公式。30插值型求积公式构造步骤：

（2）利用确定求积系数。

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