数值分析（第2版）课件第6章 数值微积分

6.1数值积分基本概念（1）1

2

6.1.1

数值积分基本概念【概率论与数理统计】独立同分布的中心极限定理3

牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式4

能够使用Newton-Leibniz公式的前提：

5使用Newton-Leibniz公式可能遇到的困难：（1）被积函数的原函数无法用初等函数表示；（2）被积函数的原函数虽然可以用初等函数表示，但表达式非常复杂，不便于使用；

（3）被积函数是由测量或数值计算给出的一张数据表，没有解析表达式。

6数值积分公式的构造：

去掉

7为了计算定积分

构造如下形式的数值积分公式（数值求积公式）

为求积余项。

8

在数值积分公式当中

9定义1【代数精度】

（2）泰勒展开式

注意：代数精度越高，则求积公式越好。10

11（1）若要使求积公式

12例1

确定下述求积公式的求积系数，使其代数精度尽可能高，并指出所构造的求积公式具有几次代数精度。

13整理，得

解得

于是得求积公式该求积公式至少具有2次代数精度。14

因此，所构造的求积公式具有3次代数精度。

15【收敛性】在求积公式中，若

其中，则称求积公式是收敛的。

16

【稳定性】

就有

则称求积公式是稳定的。6.1数值积分基本概念（2）曲绍波1718

思路：6.1.2

插值型求积公式

步骤：19

20

21插值型求积公式求积系数

（1）求积系数与节点有关，与被积函数无关。（2）求积系数之和

Lagrange插值基函数之和22求积余项：

23

证明：必要性

24

25例1给定求积公式如下，证明此求积公式是插值型求积公式。

证明：令方法一验证求积系数是Lagrange插值基函数的积分

构造Lagrange插值基函数

26例1给定求积公式如下，证明此求积公式是插值型求积公式。

证明：

27例1给定求积公式如下，证明此求积公式是插值型求积公式。

证明：于是有

所以此求积公式是插值型求积公式。28例1给定求积公式如下，证明此求积公式是插值型求积公式。

证明：

方法二验证该求积公式至少具有2次代数精度

29例1给定求积公式如下，证明此求积公式是插值型求积公式。

证明：

这说明该3个节点的求积公式至少具有2次代数精度，因此是插值型求积公式。30插值型求积公式构造步骤：

（2）利用确定求积系数。

（3）验证求积公式代数精度。31插值型求积公式特点：

对于一些特定类型的求积节点和求积区间，可以预先计算出所有的求积系数。

6.2Newton-Cotes公式（1）曲绍波3233插值型求积公式6.2.1

Newton-Cotes公式定义1求积节点取为等距节点时所构造的插值型求积公式称为牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式。

求积系数

对于定积分34

求积节点取为等分点

35求积系数

36牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式：

37

于是得到求积公式

称此公式为梯形公式，记为

38图1梯形公式的几何解释梯形公式代数精度是1。

39

于是得到求积公式

称此公式为辛普森(Simpson)公式，记为

40图2Simpson公式的几何解释Simpson公式代数精度是3。

41

求积公式(Simpson3/8公式)

此求积公式具有3次代数精度。

步长

42

求积公式为

Cotes公式具有5次代数精度。

称此公式为柯特斯(Cotes)公式，记为

43表1Cotes系数表和为1和为1和为1和为1和为1和为144Cotes系数的特点：（1）归一性

45表1Cotes系数表46Cotes系数的特点：（1）归一性

47表1Cotes系数表

48Cotes系数的特点：（1）归一性

49例1分别用梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式计算下述积分

50

求积公式代数精度梯形公式1Simpson公式3Simpson3/8公式3Cotes公式5

51

其中

52

所以，梯形公式的求积余项为

53

其中

54

所以，Simpson公式的求积余项为

55

所以，Cotes公式的求积余项为

56牛顿-柯特斯公式的稳定性

若记

则有

初始数据误差求积系数绝对值之和57牛顿-柯特斯公式的稳定性

结论：若求积系数绝对值之和有界，则求积公式就是数值稳定的。注意，在牛顿-柯特斯公式中，

求积系数Cotes系数58牛顿-柯特斯公式的稳定性

此时，牛顿-柯特斯公式是数值稳定的。

59牛顿-柯特斯公式的收敛性考虑积分

2468105.49022.27763.32881.94113.59566.2Newton-Cotes公式（2）曲绍波60616.2.2

复化求积公式梯形公式求积余项：高阶牛顿-柯特斯公式：优点：代数精度较高缺点：数值不稳定，不收敛，计算复杂低阶牛顿-柯特斯公式：优点：数值稳定、公式简单缺点：截断误差(求积余项)较大

辛普森公式求积余项：

62复化求积思想：将积分区间分成若干子区间(通常是等分)在每个子区间上使用低阶的牛顿-柯特斯公式将每个子区间上的计算结果加起来，得到所求积分的近似值典型的复化求积公式：复化梯形公式、复化辛普森公式（1）复化梯形公式63

64

复化梯形公式

65

66余项

于是复化梯形公式的求积余项为

67从复化梯形公式的求积余项

即复化梯形公式是收敛的。

（2）复化辛普森公式68

69

复化辛普森公式

444470

即复化辛普森公式是收敛的。

71例1计算积分

解：复化梯形公式余项

72

从而有

（1）复化梯形公式:

73

（2）复化辛普森公式:

采用复化梯形公式，需计算347个点处的函数值采用复化辛普森公式，需计算21个点处的函数值74例2分别用复化梯形公式和复化辛普森公式计算积分

解：积分的准确值为

75复化梯形公式复化梯形公式复化辛普森公式复化梯形公式收敛较慢6.3龙贝格算法（1）曲绍波7677复化求积公式6.3.1

变步长梯形求积与理查森外推

优点：提高了求积精度，求积公式是收敛的

如复化梯形公式，

对于定积分78

（一）变步长梯形求积算法

在每个子区间上使用梯形公式，作和，得复化梯形公式

79

，此时的步长

80

81

82

83于是，得

整理，得

结论：可以用二分前、后两次计算结果的差来估计复化梯形公式的误差。实际计算中，如果

误差的事后估计法

84变步长梯形求积算法

（3）如果85误差的事后估计式（二）理查森（Richardson）外推算法

根据递推公式，有

86

即有

87

从

可知，通过二分前、后的两个复化梯形公式的线性组合可以得到精度更高的求积公式

88理查森(Richardson)外推算法：将二分前、后的两个公式组合起来，得到精度更高的公式的方法，称为理查森外推算法。复化梯形公式误差的渐进展开式：

89

相减，整理后得

90于是，有

根据上两式，可得

91记

则有

将上述过程继续进行下去，就得到求数值积分的龙贝格算法。6.3龙贝格算法（2）曲绍波9293在实用的数值积分方法当中，龙贝格算法占有重要的地位，龙贝格算法是数值分析中使用理查森外推技术的范例。6.3.2

Romberg算法

复化Simpson公式复化Cotes公式Romberg公式

94

95为将理查森外推过程写成统一形式，引入如下记号

96令

重复这一过程，一般地，有

上式称为龙贝格求积算法。

97

98龙贝格算法的计算过程：

99

解：

被积函数，定义

100

101

二分前的梯形公式二分前的步长二分后新增的分点二分前二分后102

103

二分前的梯形公式二分前的步长二分后新增的分点

104

105

二分前的梯形公式二分前的步长二分后新增的分点

106

107说明：若被积函数是光滑函数，龙贝格算法的收敛速度很快若被积函数只是连续的，虽然理论上龙贝格算法仍收敛，但实际计算时，收敛过程较慢，此时可直接用复化求积公式进行计算。6.4高斯型求积公式（1）曲绍波108109正交多项式是满足正交性的多项式序列，具备许多良好的性质，被广泛应用于数学物理、工程技术、科学计算等诸多领域，在数学理论研究与工程实践中都起着非常重要的作用。6.4.1

正交多项式

110

111

112内积的性质：

113例1

三角函数族

验证：

114

115

116正交化方法：

117正交多项式的性质：

118

（3）相邻的正交多项式之间存在递推关系

119

证明：

120

证明：

于是

121（一）勒让德多项式

Rodrigue（1814）给出了勒让德多项式的简单表达式

122

展开

123勒让德多项式的性质：（1）正交性

（2）奇偶性

124（4）递推公式

利用递推公式可得

125126（二）切比雪夫多项式

（三）第二类切比雪夫多项式

127（四）拉盖尔多项式

（五）埃尔米特多项式

6.4高斯型求积公式（2）曲绍波128129考虑如下形式积分的计算6.4.2

Gauss型求积公式的一般理论

构造如下形式的求积公式

130

插值型求积公式选取求积节点；构造插值多项式；对插值多项式积分，即得插值型求积公式（求积系数）；131

插值型求积公式若节点取为积分区间的等分点，则得到牛顿-柯特斯公式。问题：

132例1

构造形如

（梯形公式）133解：令求积公式

由第二式和第四式得

再结合第一式和第三式得

取代入方程组，解得

134于是得到求积公式

可以验证，该求积公式具有3次代数精度。

问题：135

证明：

136

证明：

137定理1插值型求积公式

138证明必要性假设求积公式

139

证明充分性140

所以有

141

定理1插值型求积公式

142

构造高斯型求积公式：

143例2

构造如下形式的高斯型求积公式

144于是，得

解得

于是，得高斯型求积公式145求积余项：高斯型求积公式的求积余项为

证明考察Lagrange插值基函数

146

从而有

推论2高斯型求积公式是数值稳定的。147

6.4高斯型求积公式（3）曲绍波148149高斯型求积公式6.4.3

常用的Gauss型求积公式

150

（一）高斯-勒让德求积公式

151此时，节点为2次勒让德多项式（1）两点高斯-勒让德求积公式

的两个零点，即

152

于是，有

153在两点高斯-勒让德求积公式中，

高斯型求积公式的求积余项为

于是得两点高斯-勒让德求积公式的余项

两点高斯-勒让德求积公式具有三次代数精度。154此时，节点为3次勒让德多项式（2）三点高斯-勒让德求积公式

的三个零点，即

155

于是，有

从而得到三点高斯-勒让德求积公式

解得

三点高斯-勒让德求积公式具有5次代数精度。156表1高斯-勒让德求积公式的节点和系数00.000000002.000000004±0.90617985±0.538469310.000000000.236926890.478628670.568888891±0.577350271.000000002±0.774596670.000000000.555555560.888888895±0.93246951±0.66120939±0.238619190.171324490.360761570.467913933±0.86113631±0.339981040.347854850.65214515157作变换

对于等号右端的积分可以使用高斯-勒让德求积公式进行计算。158解：作变量代换例1

用高斯-勒让德求积公式计算积分

分别使用两点、三点和五点高斯-勒让德求积公式。159经计算得

同理

160高斯-勒让德求积公式牛顿-柯特斯公式两点梯形公式三点辛普森公式五点柯特斯公式表2计算结果比较

161（二）高斯-切比雪夫求积公式

162

经过计算，得求积系数

于是得高斯-切比雪夫求积公式

求积余项为

163

于是得两点高斯-切比雪夫求积公式

于是得三点高斯-切比雪夫求积公式

164例2

用高斯-切比雪夫求积公式计算积分

解作变量替换

则有

权函数被积函数165

求得积分的准确值为

166高斯型求积公式的优缺点优点：代数精度高数值稳定，且收敛可以计算反常积分缺点：节点通常是无理数，且不是等距的，若需增加节点时，原先计算所得的函数值无法利用构造复化求积公式时较为不便6.5数值微分曲绍波167168

6.5.1

中点方法

169（1）用向前差商近似导数

（2）用向后差商近似导数

（3）用中心差商近似导数

（中点方法）（中点公式）170

于是，得

向前差商向后差商

171将上两式作算术平均，得

因此中点公式

172

取4位小数，计算结果见下表。

解计算公式为10.36600.0500.35300.00100.35000.50.35640.0100.35000.00050.30000.10.35350.0050.35000.00010.3000表1中点公式计算结果173

6.5.2

插值型求导公式

如此建立的数值微分公式称为插值型求导公式。

174

所以有

175考察节点处的导数值。假定所给的节点是等距的。（1）两点公式

176于是可得两点公式两点公式的截断误差为

截断误差

向前差商向后差商177（2）三点公式

对上式两端求导，得

178于是可得三点公式截断误差

中点公式1796.5.3

三次样条求导

于是，可得数值微分公式

180与插值型求导公式不同，样条数值微分公式不仅可以用来计算节点处的导数值，而且可以用来计算插值范围内任意一点处的导数值。误差估计如下

式中,

181利用样条数值微分公式计算节点处的导数值。

边界条件内部节点边界条件

其中182于是，有写成矩阵形式为

1836.5.4

数值微分的外推法

理查森(Richardson)外推算法（数值积分）：

将二分前、后的两个公式作线性组合，得

184数值微分中点公式

截断误差为

将上两式作线性组合，得

记为

185于是，有这里

如此进行下去，即得到数值微分的外推算法

186

187例2用外推法计算

188

这里

6.6数值积分的应用—圆周率曲绍波189190（1）圆周率是圆的周长与直径之比

一、发现与认识（2）无理数（H.Lambert,1767），超越数（F.vonLindermann,1882）（4）巴比伦人（公元前20