第18章第01讲 分式（3个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）（解析版）

第01讲分式课程标准学习目标①分式的概念②分式有（无）意义的条件③分式值为0的条件掌握分式的概念，能够熟练的判断分式。掌握分式有意义的条件，并能熟练应用其解决相应问题。掌握分式值为0的条件，并能够根据条件熟练求值。知识点01分式的概念分式的概念：一般地，若A与B均是整式且B中含有字母，那么式子叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。分式满足的三个条件：①式子一定是的形式；②A与B一定是整式；③B中一定含有字母。简单理解：分母中含有字母的式子就是分式。【即学即练1】1．在代数式中，分式的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，据此进行判断即可．【解答】解：代数式，是分式，共2个，故选：B．知识点02分式有（无）意义的条件分式有意义的条件：即要求分式的分母不能为0。即中，B不为0。若分母能够进行因式分解，现将分母进行因式分解，让每一个因式都不为0。【即学即练1】2．若分式有意义，则a的取值范围是（）A．a≠0 B．a≠3 C．a＜3 D．a≥3【分析】根据分式有意义条件（分式分母不为零）建立不等式求解，即可解题．【解答】解：∵分式有意义，∴a﹣3≠0，解得a≠3，故选：B．【即学即练2】3．若使分式有意义，则字母x应满足的条件是（）A．x＝3或x＝﹣3 B．x≠3且x≠﹣3 C．x＝3 D．x＝﹣3【分析】根据分式有意义分母不为零可得x2﹣9≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：x2﹣9≠0，解得：x≠±3，故选：B．知识点03分式值为0的条件分式的值为0的条件：分式的值为0的条件为要求分子必须为0，同时要求分母不为0。即中，A＝0，B≠0。对能分解因式的分子分母进行因式分解，让分子里面的所有因式的值等于0，让分母里面所有因式的值不等于0。【即学即练1】4．当分式的值为0时，x的值为﹣1．【分析】根据分式值为0的条件求解即可．【解答】解：根据题意，∵分式的值为0，∴根据分式值为零的条件得，x+1＝0且2x﹣3≠0，解得：x＝﹣1．所以x的值为﹣1，故答案为：﹣1．【即学即练2】5．若分式的值为零，则x的值为（）A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．0【分析】分式的值为零，分子等于零，且分母不等于零．【解答】解：依题意，得x2﹣4＝0，且x+2≠0，解得，x＝2．故选：B．【即学即练3】6．已知分式的值为0，则x＝（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0【分析】根据分式的值为0的条件列式求解即可．【解答】解：根据题意得，|x|﹣1＝0且1﹣x≠0，解得x＝﹣1．故选：B．【即学即练4】7．已知x＝2y，则分式的值为（）A． B． C． D．【分析】把x＝2y代入分式，化简得结论．【解答】解：当x＝2y时，＝＝＝．故选：D．【即学即练5】8．若分式的值为负数，则x的取值范围是（）A．x为任意数 B．x＜ C．x＞ D．x＜﹣【分析】两数相除，异号得负，而分母恒为正，只需分子是负数即可，列出不等式求解即可．【解答】解：∵x2+4＞0，分式的值为负数，∴2x﹣5＜0，∴x＜．故选：B．题型01判断分式【典例1】下列代数式中，是分式的是（）A． B．2x C．2+x D．x﹣2【分析】根据分式的定义进行判断即可．【解答】解：A．是分式，符合题意；B．是整式，不符合题意；C．是整式，不符合题意；D．是整式，不符合题意；故选：A．【变式1】在，，，x2+5x，，中，分式的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】π是常数，所以不是分式，是整式．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：在，，，x2+5x，，中，分式有，共2个，，，x2+5x，是整式，故选：A．【变式2】在，，，，，中，分式的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：在代数式中，分式有，共有3个．故选：B．【变式3】下列各式，，，，，，，中，分式共有（）个．A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据分式的定义，形如，B中含有字母且B≠0，判断即可．【解答】解：在，，，，，，，中，分式有，，，，，共6个，故选：B．题型02根据分式有意义的条件求值【典例1】若分式有意义，则x的取值范围是x≠2．【分析】根据分式有意义得到分母不为0，即可求出x的范围．【解答】解：由题可知，x﹣2≠0，解得x≠2．故答案为：x≠2．【变式1】下列各式中，不论x取何值分式都有意义的是（）A． B． C． D．【分析】根据分式有意义，分母不等于0对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A．无论x取何值，2x2+1＞0，分式都有意义，故本选项符合题意；B．x＝﹣时，2x+1＝0，分式无意义，故本选项不符合题意；C．x＝时，3x﹣1＝0，分式无意义，故本选项不符合题意；D．x＝0时，2x2＝0，分式无意义，故本选项不符合题意．故选：A．【变式2】要使分式无意义，则x的值是（）A．1 B．﹣1 C．﹣1或1 D．0【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．【解答】解：由分式无意义，得x2﹣1＝0，解得x＝±1，故选：C．【变式3】若分式有意义，则x的值为（）A．x≠±3 B．x≠﹣3 C．x≠3 D．x≥﹣3且x≠3【分析】根据分母不为零的条件是解题的关键．【解答】解：由题可知，|x|﹣3≠0，解得x≠±3．故选：A．【变式4】x取何值时，下列分式有意义：（1）（2）（3）．【分析】（1）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案；（2）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案；（3）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案．【解答】解：（1）要使有意义，得2x﹣3≠0．解得x≠，当x≠时，有意义；（2）要使有意义，得|x|﹣12≠0．解得x≠±12，当x≠±12时，有意义；（3）要使有意义，得x2+1≠0．x为任意实数，有意义．题型03根据分式值为0的条件求值【典例1】若分式的值为0，则x的值为（）A．±2 B．0或2 C．0 D．﹣2【分析】根据分式值为零的条件是分子为零，分母不为零进行求解即可．【解答】解：∵分式的值为0，∴，解得x＝0，故选：C．【变式1】若分式的值等于0，则x的值为（）A．6 B．﹣6 C．±6 D．3【分析】根据分式的值为0的条件得出|x﹣6|＝0且x﹣6≠0，即可得出答案．【解答】解：根据题意，|x﹣6|＝0且x﹣6≠0，解得x＝﹣6，故选：B．【变式2】若分式的值为0，则x的值为（）A．3 B．﹣3 C．0 D．﹣3或0【分析】直接利用分式的值为零的条件进而分析得出答案．【解答】解：∵分式的值为0，∴，解得x＝0，故选：C．【变式3】若＝0，则ab的平方根．【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．依据分式的值为0的条件，即可得到a，b的值，进而得出ab的平方根．【解答】解：由题可得，|16﹣a2|+＝0，且a+4≠0，即16﹣a2＝0，a+4b＝0，a≠﹣4，解得a＝4，b＝﹣1，∴ab＝，∴ab的平方根为±．【变式4】当x为何值时，分式的值为零？【分析】分式值为零，按照分子为零且分母不为零求解即可．【解答】解：∵的值为零，∴|x|﹣2＝0且x2+5x+6≠0，解得：x＝±2，当x＝2时，x2+5x+6＝20≠0，当x＝﹣2时，x2+5x+6＝0，故舍去．综上：x＝2．题型04求分式的值【典例1】当x＝﹣2时，分式的值是（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2【分析】利用代入法，代入所求的式子即可．【解答】解：当x＝﹣2时，原式＝＝3．故选：A．【变式1】已知非零有理数x，y满足x﹣3y＝0，则＝（）A． B． C． D．【分析】根据题意得到x＝3y，代入分式化简求解即可．【解答】解：根据条件可知：x＝3y，∴原式＝＝，故选：C．【变式2】若1＜x＜2，则的值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．1【分析】在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号．【解答】解：∵1＜x＜2，∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，x＞0，∴原式＝﹣1﹣（﹣1）+1＝1，故选：D．【变式3】若分式的值是负整数，则m的值可能为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【分析】先化简原分式为m﹣1，再根据分式的值为负整数得到m是m＜1且m≠﹣1的整数，进而根据选项中的数可求解．【解答】解：∵分式的值是负整数，∴m＜1且m≠﹣1的整数，选项B中的数符合题意，选项A、C、D中的数不符合题意，故选：B．【变式4】若的值为正数，则x的值为（）A．x＜﹣2 B．x＜1 C．x＞﹣2且x≠1 D．x＞1【分析】依题意得到关于x的不等式＞0，即＞0，由非负数的性质得到x+2＞0且x﹣1≠0，由此可以求得x的值．【解答】解：依题意，得＞0，即＞0，所以，x+2＞0且x﹣1≠0，解得x＞﹣2且x≠1．故选：C．【变式5】已知a﹣b﹣1＝0，求代数式的值．【分析】先将分式的分子、分母分别分解因式，约分化为最简结果，然后代入求值即可．【解答】解：∵a﹣b﹣1＝0，∴a﹣b＝1，＝＝＝＝＝＝3．1．下列各式：中，是分式的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：是分式，共4个．故选：D．2．已知x＝﹣2时，分式无意义，则□可以是（）A．2﹣x B．x﹣2 C．2x+4 D．x+4【分析】当x＝﹣2时分式无意义，可知分母□的值应为0，再分别求出各选项的值即可得出答案．【解答】解：当x＝﹣2时分式无意义，所以分母□的值应为0，当x＝﹣2时，2﹣x＝2﹣（﹣2）＝2+2＝4≠0，A选项不符合题意；x﹣2＝﹣2﹣2＝﹣4≠0，B选项不符合题意；2x+4＝2×（﹣2）+4＝﹣4+4＝0，C选项符合题意；x+4＝﹣2+4＝2≠0，D选项不符合题意；故选：C．3．若分式的值为零，则x的值是（）A．±1 B．1 C．﹣1 D．0【分析】先根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．【解答】解：∵分式的值为零，∴，解得x＝﹣1．故选：C．4．分式中，当x＝﹣a时，下列结论正确的是（）A．分式的值为零 B．分式无意义 C．若a≠﹣时，分式的值为零 D．若a≠时，分式的值为零【分析】当x＝﹣a时，分式的分子是0即分式的值是0，但前提是只有在保证分式的分母不为0时，分式才有意义．【解答】解：由3x﹣1≠0，得x≠，故把x＝﹣a代入分式中，当x＝﹣a且﹣a≠时，即a≠﹣时，分式的值为零．故选：C．5．根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（）x…﹣2﹣1012…y…0**无意义*…A． B． C． D．【分析】根据分式有意义的条件、分式为0的条件解答．【解答】解：∵当x＝1时，分式无意义，∴分式的分母可能是x﹣1，∵当x＝﹣2时，分式为0，∴分式的分母可能是x+2，∴分式可能是，故选：C．6．要使得分式有意义，则x满足的条件是（）A．x≠﹣1 B．x≠±1 C．x≠0 D．x≠1【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可．【解答】解：由题可知，|x|﹣1≠0，即x≠±1．故选：B．7．无论a取何值，下列分式总有意义的是（）A． B． C． D．【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零进行分析即可．【解答】解：A、当a＝0时，分式无意义，故此选项错误；B、无论a为何值，分式都有意义，故此选项正确；C、当a＝±1时，分式无意义，故此选项错误；D、当a＝﹣1时，分式无意义，故此选项错误；故选：B．8．若分式的值为0，则x的值为（）A．0或1或2 B．0或﹣2或2 C．0或1 D．0或﹣2【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零分母不为零，进而得出答案．【解答】解：∵的值为0，∴x（x﹣1）（x﹣2）＝0且x2﹣4≠0，解得：x＝0或x＝1．故选：C．9．已知5a＝2b＝10，则代数式的值为（）A． B． C．1 D．2【分析】分别将5a＝10和2b＝10的两边b次方、a次方，得5ab＝10b和2ab＝10a，将这两个等式的左边和右边分别相乘，得5ab•2ab＝10ab＝10a+b，从而得到a+b＝ab，计算即可．【解答】解：∵5a＝2b＝10，∴（5a）b＝5ab＝10b，（2b）a＝2ab＝10a，∴5ab•2ab＝10ab＝10a+b，∴a+b＝ab，∴＝1．故选：C．10．若a为正数，且|a|＜1，则的值（）A．等于1 B．大于﹣1，且小于0 C．大于1 D．大于0，且小于1【分析】根据题意求出a的取值范围是0＜x＜1，再分别去|1﹣a|和1+|a|的绝对值，最后计算即可得出结果．【解答】解：∵a为正数，且|a|＜1，∴0＜x＜1，∴|1﹣a|＝1﹣a，1+|a|＝1+a，∴，∵0＜1﹣a＜1，1＜1+a＜2，∴大于0，且小于1，即大于0，且小于1．故选：D．11．使分式有意义的x的取值范围是x＞﹣2．【分析】根据分式、二次根式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．【解答】解：由题意得：x＞﹣2．故答案为：x＞﹣2．12．若分式的值为零，则x2+2x+8的平方根为±4．【分析】分式的值为0，则2x2﹣8＝0且x+2≠0，得到x＝2，进而求解．【解答】解：分式的值为0，则2x2﹣8＝0且x+2≠0，解得：x＝2，则x2+2x+8＝16，则x2+2x+8的平方根为：±4，故答案为：±4．13．一组按规律排列的式子：，，，，…（ab≠0），则第n的个式子是．【分析】根据观察可发现规律：．【解答】解：由，，，，…（ab≠0），得系数是（﹣1）n+1，b的次数是（3n﹣1），a的次数是n，则第n的个式子是，故答案为：．14．已知x为整数，且分式的值也为整数，则满足条件的所有x的值之和为0．【分析】根据x为整数，分式的意义一一分析可能成立的情况，选出x的值再求和即可．【解答】解：＝＝3﹣，∵x为整数，分式的值也为整数，∴当x＝0时，分式＝﹣7，符合题意；当x＝﹣1时，分式值＝8，符合题意；当x＝﹣2时，分式值＝5，符合题意；当x＝3时，分式值＝2，符合题意；∴满足条件的x的值为0、﹣1、﹣2、3，所有满足条件的数的和为0﹣1﹣2+3＝0，故答案为：0．15．若，则的值为﹣1．【分析】先根据，，，，的值为1或﹣1，得出a、b、c、d中有3个正数，1个负数，进而得出abcd为负数，即可得出答案．【解答】解：∵当a、b、c、d为正数时，，，，的值为1，当a、b、c、d为负数时，，，，的值为﹣1，又∵，∴a、b、c、d中有3个正数，1个负数，∴abcd为负数，∴．故答案为：﹣1．16．已知a﹣4b＝0，求分式的值．【分析】由已知得到a＝3b，再将原分式化简为1﹣，然后代入求值即可．【解答】解：∵a﹣4b＝0，∴a＝4b，∴＝＝1﹣＝1﹣＝1﹣＝1﹣＝．17．已知关于x的分式，求下列问题：（1）当x满足什么条件，分式无意义；（2）当x满足什么条件，分式有意义；（3）当x满足什么条件，分式的值等于0．【分析】（1）根据分母为零时，分式无意义解题即可；（2）根据分母不为零时，分式有意义解题即可；（3）根据分式值为0的条件：分子为0，而分母不等于0，解题即可．【解答】解：（1）由题可得（x+1）（x﹣3）＝0，解得：x＝﹣1或x＝3，∴当x＝﹣1或x＝3时，分式无意义；（2）由题可得（x+1）（x﹣3）≠0，解得：x≠﹣1且x≠3，∴当x≠﹣1且x≠3时，分式有意义；（3）由题可得，解得x＝1，∴当x＝1时，分式的值等于0．18．已知当x＝﹣2时，分式无意义；当x＝1时，此分式的值为0．（1）求a，b的值．（2）在（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数x的值．【分析】（1）当x+a＝0时，分式无意义；当x﹣b＝0时，分式无意义；然后进行计算即可解答；（2）利用（1）的结论进行计算，即可解答．【解答】解：（1）当x+a＝0时，分式无意义，∵x＝﹣2，∴﹣2+a＝0，解得：a＝2；当x﹣b＝0时，分式无意义，∵x＝1，∴1﹣b＝0，解得：b＝1；∴a的值为2；b的值为1；（2）当a＝2，b＝1时，分式即为：，∵分式的值为正整数，∴x+1＝1或x+1＝2或x+1＝4，解得：x＝0或x＝1或x＝3，∴整数x的值为0或1或3．19．根据下列材料，回答问题：，，，请根以上各式完成下列题目：（1）＝﹣；（2）＝﹣（n为正整数