高二阶段联考数学理科试题详解

高二阶段联考数学理科试题深度详解——核心考点突破与思维方法提炼一、试题整体概述本次高二阶段联考数学理科试题紧扣《普通高中数学课程标准》要求，全面考查函数与导数、立体几何、解析几何、数列、三角函数与解三角形、概率统计等核心模块。试题既注重基础概念的理解（如集合运算、函数定义域），又强调知识的综合运用（如导数与函数单调性的结合、圆锥曲线与直线的位置关系），同时渗透逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养的考查，对高二学生的知识体系构建和解题能力提升具有较强的导向性。二、题型分类详解（一）选择题：精准定位考点，灵活运用方法例题1（函数性质与不等式结合）题目：已知函数\(f(x)=\ln(1+x^2)+ax\)（\(a\in\mathbb{R}\)）是偶函数，则不等式\(f(x-1)<f(2)\)的解集为（）A.\((-1,3)\)B.\((-2,2)\)C.\((-∞,-1)\cup(3,+∞)\)D.\((-∞,-2)\cup(2,+∞)\)考点分析：考查函数的奇偶性（偶函数定义：\(f(-x)=f(x)\)）与函数单调性（利用奇偶性简化不等式，结合单调性解抽象不等式）。解题思路：1.利用偶函数求参数\(a\)：由\(f(x)\)是偶函数，得\(f(-x)=f(x)\)。代入函数式：\[\ln(1+(-x)^2)-ax=\ln(1+x^2)+ax\]化简得\(-ax=ax\)，即\(2ax=0\)对任意\(x\)成立，故\(a=0\)。因此\(f(x)=\ln(1+x^2)\)。2.分析函数单调性：内层函数\(u=1+x^2\)在\((-∞,0)\)上单调递减，在\((0,+∞)\)上单调递增；外层函数\(y=\lnu\)在\((0,+∞)\)上单调递增。根据复合函数“同增异减”，\(f(x)\)在\((-∞,0)\)上单调递减，在\((0,+∞)\)上单调递增，且图像关于\(y\)轴对称（偶函数）。3.解不等式\(f(x-1)<f(2)\)：由偶函数性质，\(f(x-1)<f(2)\)等价于\(f(|x-1|)<f(2)\)。结合\(x>0\)时的单调性，得\(|x-1|<2\)。解绝对值不等式：\[-2<x-1<2\implies-1<x<3\]故解集为\((-1,3)\)，选A。易错点：忽略“偶函数”的核心性质（\(f(x)=f(|x|)\)），直接用单调性时未考虑定义域对称性；复合函数单调性判断错误（“同增异减”的应用条件：内外层函数单调性均明确）。例题2（立体几何·三视图与体积）题目：某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）（三视图：正视图为直角梯形，上底1、下底2、高2；侧视图为直角三角形，直角边2和1；俯视图为矩形，长2、宽1）考点分析：考查三视图的还原（将三视图转化为直观图）与几何体体积计算（柱体体积公式：\(V_{\text{柱}}=Sh\)，\(S\)为底面积，\(h\)为高）。解题思路：1.还原几何体：由三视图的“长对正、高平齐、宽相等”，该几何体为直棱柱，底面为直角梯形（上底1、下底2、高2），棱柱的高（垂直于底面的长度）为1（由侧视图的水平直角边或俯视图的宽确定）。2.计算体积：直角梯形的面积\(S_{\text{梯形}}=\frac{(1+2)\times2}{2}=3\)，棱柱的高\(h=1\)，因此体积\(V=S_{\text{梯形}}\timesh=3\times1=3\,\text{cm}^3\)。易错点：三视图还原错误，导致几何体形状判断失误（如误判为锥体）；体积公式记错（如混淆棱柱与锥体的体积公式）。（二）填空题：聚焦核心运算，重视细节处理例题3（数列·递推公式求通项）题目：已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+2n\)（\(n\in\mathbb{N}^*\)），则\(a_n=\)________。考点分析：考查递推数列的通项公式（累加法，适用于\(a_{n+1}-a_n=f(n)\)型递推）。解题思路：由递推式\(a_{n+1}-a_n=2n\)，累加得：\[\begin{cases}a_2-a_1=2\times1\\a_3-a_2=2\times2\\\vdots\\a_n-a_{n-1}=2\times(n-1)\end{cases}\]左边消去中间项后得\(a_n-a_1=2(1+2+\cdots+(n-1))\)。右边为等差数列求和，\(1+2+\cdots+(n-1)=\frac{(n-1)n}{2}\)，因此：\[a_n-1=2\times\frac{n(n-1)}{2}=n(n-1)\]故\(a_n=n^2-n+1\)（验证\(n=1\)时，\(a_1=1-1+1=1\)，符合）。易错点：累加时项数错误（如误将项数当成\(n\)，实际为\(n-1\)项）；等差数列求和公式记错（\(S_k=\frac{k(k+1)}{2}\)，此处\(k=n-1\)）；最后忘记加上\(a_1\)或计算错误。例题4（三角函数·三角恒等变换）题目：已知\(\alpha\)为锐角，\(\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{3}{5}\)，则\(\sin\alpha=\)________。考点分析：考查三角恒等变换（两角和的余弦公式、同角三角函数关系、角的拆分：\(\alpha=\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{\pi}{4}\)）。解题思路：1.确定角的范围：\(\alpha\)为锐角（\(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\)），故\(\frac{\pi}{4}<\alpha+\frac{\pi}{4}<\frac{3\pi}{4}\)。2.求\(\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)\)：由同角三角函数关系\(\sin^2x+\cos^2x=1\)，得：\[\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\frac{4}{5}\]（因\(\alpha+\frac{\pi}{4}\)在\(\left(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right)\)，正弦值为正，故取正根）。3.拆分角\(\alpha\)：\(\alpha=\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{\pi}{4}\)，利用两角差的正弦公式：\[\sin\alpha=\sin\left[\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{\pi}{4}\right]=\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)\cos\frac{\pi}{4}-\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)\sin\frac{\pi}{4}\]代入已知值：\[\sin\alpha=\frac{4}{5}\times\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{3}{5}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{10}\]易错点：忽略角的范围，导致\(\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)\)符号错误；两角差的正弦公式记错（应为\(\sin(A-B)=\sinA\cosB-\cosA\sinB\)）；计算时\(\sqrt{2}/2\)的运算错误。（三）解答题：综合知识应用，构建逻辑链条例题5（数列·通项与求和）题目：已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且\(S_n=2a_n-1\)（\(n\in\mathbb{N}^*\)）。（1）求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；（2）若\(b_n=\frac{n}{a_n}\)，求数列\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和\(T_n\)。（1）求\(\{a_n\}\)的通项公式考点分析：考查数列的通项与前\(n\)项和的关系（\(a_n=S_n-S_{n-1}(n\geq2)\)，\(a_1=S_1\)）。解题思路：当\(n=1\)时，\(S_1=a_1=2a_1-1\)，解得\(a_1=1\)。当\(n\geq2\)时，由\(S_n=2a_n-1\)，得\(S_{n-1}=2a_{n-1}-1\)。两式相减：\[a_n=S_n-S_{n-1}=(2a_n-1)-(2a_{n-1}-1)=2a_n-2a_{n-1}\]化简得\(a_n=2a_{n-1}\)，即\(\frac{a_n}{a_{n-1}}=2\)（\(n\geq2\)）。因此，\(\{a_n\}\)是以\(a_1=1\)为首项，公比\(q=2\)的等比数列，通项公式为\(a_n=2^{n-1}\)。（2）求\(T_n=b_1+b_2+\cdots+b_n\)（\(b_n=\frac{n}{2^{n-1}}\)）考点分析：考查错位相减法求和（适用于\(\{b_n\}=\{c_n\cdotd_n\}\)，其中\(\{c_n\}\)是等差数列，\(\{d_n\}\)是等比数列）。解题思路：写出\(T_n\)的表达式：\[T_n=1\times\frac{1}{2^0}+2\times\frac{1}{2^1}+3\times\frac{1}{2^2}+\cdots+n\times\frac{1}{2^{n-1}}\tag{1}\]两边同乘公比\(\frac{1}{2}\)：\[\frac{1}{2}T_n=1\times\frac{1}{2^1}+2\times\frac{1}{2^2}+\cdots+(n-1)\times\frac{1}{2^{n-1}}+n\times\frac{1}{2^n}\tag{2}\]用（1）式减（2）式，消去中间项：\[T_n-\frac{1}{2}T_n=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}\right)-n\times\frac{1}{2^n}\]左边：\(\frac{1}{2}T_n\)；右边：等比数列求和（首项\(1\)，公比\(\frac{1}{2}\)，项数\(n\)）减去\(\frac{n}{2^n}\)。等比数列和为\(\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}}=2\left(1-\frac{1}{2^n}\right)\)。因此：\[\frac{1}{2}T_n=2\left(1-\frac{1}{2^n}\right)-\frac{n}{2^n}=2-\frac{2+n}{2^n}\]两边乘2得：\[T_n=4-\frac{n+2}{2^{n-1}}\]易错点：（1）忽略\(n\geq2\)的条件，直接用\(a_n=S_n-S_{n-1}\)求通项，忘记验证\(n=1\)；（2）错位相减时，项数错误（如最后一项的指数计算错误），或相减后等比数列的项数判断错误；（3）计算时符号错误（如相减时中间