2020年上海高考数学三角函数专题复习

2020年上海高考数学三角函数专题复习三角函数作为高中数学的核心内容之一，在上海高考中兼具基础性与综合性——既考查对定义、公式的精准掌握，又注重知识的灵活应用与数学思想的渗透。结合近年命题趋势，本文从考情分析、核心知识、典型题型及复习策略四个维度，为2020年备考提供系统指引。一、考情分析：锚定命题方向，聚焦复习重点上海高考对三角函数的考查分值稳定（约15-20分）、题型全面（选择、填空、解答题均有涉及），且难度分层：基础题侧重概念与公式应用，中档题考查图像性质与恒等变换，难题常与向量、函数、实际情境综合，渗透分类讨论、数形结合思想。从近年真题看，命题特点可概括为：概念性：如任意角三角函数的定义、三角函数线的几何意义；工具性：三角恒等变换作为“桥梁”，常与解三角形、函数综合；应用性：解三角形问题结合测量、航海等实际情境，考查数学建模能力。2020年备考需重点关注：三角函数图像与性质的灵活应用、三角恒等变换的技巧性化简、解三角形的多解性分析，以及与其他模块的综合创新题。二、核心知识梳理：构建体系，夯实根基1.三角函数的定义与基本关系任意角的三角函数：设角\(\alpha\)终边上一点\(P(x,y)\)，\(r=\sqrt{x^2+y^2}\)，则\(\sin\alpha=\frac{y}{r}\)，\(\cos\alpha=\frac{x}{r}\)，\(\tan\alpha=\frac{y}{x}(x\neq0)\)。单位圆定义是理解符号、周期性的关键（如\(\sin\alpha\)的符号由\(y\)坐标决定）。同角关系：平方关系\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)（弦切互化、符号讨论的核心），商数关系\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(\cos\alpha\neq0)\)。诱导公式：口诀“奇变偶不变，符号看象限”。核心是将任意角转化为锐角三角函数，化简时需关注角的“整体代换”（如\(\alpha+\frac{\pi}{2}\)视为整体，判断原角\(\alpha\)的象限）。2.三角恒等变换和差角公式：\(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\)，\(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\)，\(\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\)。角的拆分是关键（如\(2\alpha=(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)\)）。二倍角公式：\(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)，\(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha\)，\(\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\)。余弦二倍角公式常结合“降幂扩角”（\(\cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2}\)）或“升幂缩角”（\(1+\cos2\alpha=2\cos^2\alpha\)）化简。辅助角公式：\(a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\varphi)\)（\(\tan\varphi=\frac{b}{a}\)）。核心是将“异名”三角函数合并为“同名”，便于分析最值、周期。3.三角函数的图像与性质周期性：\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)、\(y=A\cos(\omegax+\varphi)\)的周期\(T=\frac{2\pi}{|\omega|}\)，\(y=A\tan(\omegax+\varphi)\)的周期\(T=\frac{\pi}{|\omega|}\)。需注意“定义域限制”（如\(y=\tanx\)的定义域不连续）。单调性：结合“复合函数单调性”（同增异减）。例如，求\(y=\sin(2x-\frac{\pi}{3})\)的增区间，需解\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x-\frac{\pi}{3}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in\mathbb{Z})\)。对称性：正弦、余弦函数的对称轴过顶点（最值点），对称中心过零点；正切函数的对称中心为\((\frac{k\pi}{2},0)(k\in\mathbb{Z})\)。判断时需“整体代换”（如\(y=\cos(3x+\frac{\pi}{4})\)的对称轴满足\(3x+\frac{\pi}{4}=k\pi\)）。最值与值域：\(y=A\sin(\omegax+\varphi)+B\)的最值为\(\pm|A|+B\)，但需结合定义域分析（如\(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\)时，\(\omegax+\varphi\)的范围限制最值）。4.解三角形正弦定理：\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R\)（\(R\)为外接圆半径）。应用时需注意“多解问题”（如已知\(a,b,A\)，需结合“大边对大角”判断解的个数）。余弦定理：\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA\)（及变形）。常用于“已知两边及夹角”或“三边”求角，或判断三角形形状（如\(a^2+b^2=c^2\)则为直角三角形）。面积公式：\(S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{1}{2}ac\sinB\)，也可结合海伦公式\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)（\(p=\frac{a+b+c}{2}\)）。实际应用中常与“方程思想”结合。三、典型题型突破：分类解析，掌握方法1.概念辨析与基本运算例1（2019上海卷改编）：已知角\(\alpha\)的终边过点\(P(-3,4)\)，则\(\sin\alpha+\cos\alpha=\)______。分析：由定义，\(r=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5\)，故\(\sin\alpha=\frac{4}{5}\)，\(\cos\alpha=-\frac{3}{5}\)，和为\(\frac{1}{5}\)。方法：终边上点的三角函数直接用定义；符号判断结合象限（\(P\)在第二象限，\(\sin\)正、\(\cos\)负）。2.三角恒等变换与求值例2：化简\(\frac{\sin(\alpha+\beta)-2\sin\alpha\cos\beta}{2\sin\alpha\sin\beta+\cos(\alpha+\beta)}\)，并求\(\alpha=\frac{\pi}{12}\)，\(\beta=\frac{\pi}{6}\)时的值。分析：展开和差角公式，分子化简为\(-\sin(\alpha-\beta)\)，分母化简为\(\cos(\alpha-\beta)\)，原式得\(-\tan(\alpha-\beta)\)。代入\(\alpha-\beta=-\frac{\pi}{12}\)，得\(\tan\frac{\pi}{12}=2-\sqrt{3}\)（利用\(\tan(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4})\)展开）。方法：恒等变换核心是“角的统一”“名的统一”“形的统一”（公式逆用、角的拆分）。3.三角函数图像与性质例3：已知\(f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})+1\)，求：（1）周期与单调递增区间；（2）对称轴与对称中心；（3）\(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\)时的值域。分析：（1）周期\(T=\pi\)；增区间为\([k\pi-\frac{\pi}{3},k\pi+\frac{\pi}{6}](k\in\mathbb{Z})\)。（2）对称轴\(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{6}(k\in\mathbb{Z})\)；对称中心\((\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12},1)(k\in\mathbb{Z})\)。（3）\(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\)时，\(2x+\frac{\pi}{6}\in[\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}]\)，\(f(x)\in[0,3]\)。方法：图像性质问题紧扣“整体代换”（将\(\omegax+\varphi\)视为角\(t\)，转化为\(y=\sint\)的性质），结合定义域分析值域。4.解三角形综合应用例4（实际应用）：观测站\(C\)在\(A\)南偏西\(25^\circ\)，公路从\(A\)南偏东\(35^\circ\)延伸，\(C\)处测得\(B\)距\(C\)31km，且\(\angleCAB=45^\circ\)，求\(AB\)。分析：方位图中\(\angleACB=60^\circ\)，由正弦定理\(\frac{AB}{\sin60^\circ}=\frac{31}{\sin45^\circ}\)，得\(AB=\frac{31\sqrt{6}}{2}\)km。方法：解三角形实际问题步骤：①建模（转化为三角形）；②选定理（正弦或余弦）；③计算（注意多解性）。四、复习策略与易错点警示1.复习策略夯实基础：梳理公式（如诱导公式、二倍角公式的变形），通过“默写+应用”强化记忆，避免公式混淆。题型归类：将真题按“概念、恒等变换、图像性质、解三角形”分类，总结“解题模板”（如解三角形的“定角→选定理→列方程→求解”流程）。综合提升：关注三角函数与向量、函数、数列的综合题，培养“知识迁移”能力。2.易错点警示符号错误：诱导公式中“符号看象限”的“象限”是原角\(\alpha\)的象限；解三角形时，已知\(\sinA\)求\(A\)需结合“大边对