初中数学期末测试题及解析

初中数学期末综合测试题及详细解析（八年级上册）测试说明本测试题聚焦代数（分式、一次函数、因式分解）、几何（全等三角形、等腰三角形判定）、统计（数据分析）等八年级上册核心知识点，共25道题（选择10道、填空8道、解答7道），满分120分，建议答题时间90分钟。通过练习可巩固知识体系，明确易错点，为期末复习提供参考。一、选择题（每题3分，共30分）1.分式有意义的条件若分式$\boldsymbol{\frac{x-2}{x+3}}$有意义，则$x$的取值范围是（）A.$x\neq2$B.$x\neq-3$C.$x>-3$D.$x<2$解析：分式的定义要求分母不为0（分子可正可负可零，但分母为0时分式无意义）。因此需满足$x+3\neq0$，解得$x\neq-3$。答案：$\boldsymbol{B}$。2.全等三角形的判定如图，$\triangleABC$和$\triangleDEF$中，$AB=DE$，$\angleB=\angleE$，添加下列哪个条件不能判定$\triangleABC\cong\triangleDEF$？（）A.$BC=EF$B.$\angleA=\angleD$C.$AC=DF$D.$\angleC=\angleF$解析：全等三角形的判定定理有$\boldsymbol{SAS}$（两边夹一角）、$\boldsymbol{ASA}$（两角夹一边）、$\boldsymbol{AAS}$（两角及一角对边）、$\boldsymbol{SSS}$（三边），直角三角形还有$\boldsymbol{HL}$。选项A：$BC=EF$，结合$AB=DE$、$\angleB=\angleE$，满足$\boldsymbol{SAS}$，可判定；选项B：$\angleA=\angleD$，结合$AB=DE$、$\angleB=\angleE$，满足$\boldsymbol{ASA}$，可判定；选项C：$AC=DF$，属于“两边及其中一边的对角”（$AB=DE$，$\angleB=\angleE$，$AC=DF$），即$\boldsymbol{SSA}$，不能判定全等（反例：两边及对角相等的三角形可能不全等）；选项D：$\angleC=\angleF$，结合$AB=DE$、$\angleB=\angleE$，满足$\boldsymbol{AAS}$，可判定。答案：$\boldsymbol{C}$。3.一次函数的性质一次函数$y=kx+b$（$k\neq0$）的图象过点$(0,-2)$和$(1,0)$，则它的解析式为（）A.$y=2x-2$B.$y=-2x-2$C.$y=2x+2$D.$y=-2x+2$解析：一次函数解析式需确定$k$和$b$。图象过$(0,-2)$，代入得$b=-2$（因为$x=0$时，$y=b$）；再代入$(1,0)$，得$0=k\cdot1+(-2)$，解得$k=2$；因此解析式为$y=2x-2$。答案：$\boldsymbol{A}$。4.勾股定理的逆定理下列各组数中，能作为直角三角形三边的是（）A.$3,4,5$B.$1,2,3$C.$4,5,6$D.$5,7,9$解析：直角三角形满足“较小两边的平方和等于最大边的平方”（勾股定理逆定理）。选项A：$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，符合；选项B：$1^2+2^2=1+4=5\neq3^2$，不符合；选项C：$4^2+5^2=16+25=41\neq6^2$，不符合；选项D：$5^2+7^2=25+49=74\neq9^2$，不符合。答案：$\boldsymbol{A}$。5.数据的中位数与众数某班10名学生的数学成绩（分）为：$80,82,85,85,85,87,88,90,92,95$，则这组数据的众数和中位数分别是（）A.$85,85$B.$85,86$C.$88,85$D.$88,86$解析：众数：出现次数最多的数，$85$出现3次，次数最多，故众数为$85$；中位数：将数据从小到大排列后，中间两个数的平均值（数据个数为偶数时）。第5、6个数分别为$85$和$87$，中位数为$\frac{85+87}{2}=86$。答案：$\boldsymbol{B}$。二、填空题（每题3分，共24分）1.因式分解分解因式：$\boldsymbol{x^2-4y^2}=$________。解析：观察式子，符合平方差公式：$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$。其中$a=x$，$b=2y$（因为$4y^2=(2y)^2$），因此分解为$(x-2y)(x+2y)$。答案：$\boldsymbol{(x-2y)(x+2y)}$。2.一次函数的参数求解已知一次函数$y=kx+b$的图象过点$(1,3)$和$(2,5)$，则$k=$____，$b=$____。解析：将两点坐标代入解析式，得到方程组：$$\begin{cases}k+b=3\\2k+b=5\end{cases}$$用消元法，第二个方程减第一个方程，得$k=2$；代入第一个方程，$2+b=3$，解得$b=1$。答案：$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{1}$。3.勾股定理的应用若直角三角形的两条直角边分别为$3$和$4$，则斜边的高为________。解析：先由勾股定理求斜边：$c=\sqrt{3^2+4^2}=5$。直角三角形面积有两种表示：$\frac{1}{2}\times直角边_1\times直角边_2=\frac{1}{2}\times斜边\times斜边上的高$。代入得：$\frac{1}{2}\times3\times4=\frac{1}{2}\times5\timesh$，解得$h=\frac{12}{5}$（或$2.4$）。答案：$\boldsymbol{\frac{12}{5}}$（或$2.4$）。4.分式方程的解若分式方程$\frac{x}{x-2}=2+\frac{a}{x-2}$无解，则$a=$________。解析：分式方程无解的情况：①整式方程无解；②整式方程的解使原分母为0。步骤1：去分母（乘$x-2$，$x\neq2$），得$x=2(x-2)+a$；步骤2：化简整式方程：$x=2x-4+a$，即$x=4-a$；步骤3：若原方程无解，需$x=4-a$使分母$x-2=0$，即$4-a=2$，解得$a=2$。此时整式方程的解$x=2$使原分母为0，方程无解。答案：$\boldsymbol{2}$。三、解答题（共66分，按步骤给分）1.解分式方程解方程：$\boldsymbol{\frac{2}{x-1}+1=\frac{x}{x+1}}$解析：解分式方程的核心是去分母转化为整式方程，但需注意检验分母不为0。步骤1：确定分母不为0的条件：$x-1\neq0$且$x+1\neq0$，即$x\neq1$且$x\neq-1$。步骤2：两边同乘最简公分母$(x-1)(x+1)$，消去分母：$$2(x+1)+(x-1)(x+1)=x(x-1)$$步骤3：展开并化简：左边：$2x+2+x^2-1=x^2+2x+1$右边：$x^2-x$因此方程变为：$x^2+2x+1=x^2-x$两边减$x^2$，得：$2x+1=-x$移项得：$3x=-1$，解得$x=-\frac{1}{3}$。步骤4：检验：将$x=-\frac{1}{3}$代入$(x-1)(x+1)$，得$\left(-\frac{4}{3}\right)\times\left(\frac{2}{3}\right)\neq0$，因此$x=-\frac{1}{3}$是原方程的解。2.几何证明：等腰三角形判定如图，在$\triangleABC$中，$D$是$BC$中点（$BD=CD$），$DE\perpAB$于$E$，$DF\perpAC$于$F$，且$DE=DF$。求证：$\triangleABC$是等腰三角形（即$AB=AC$或$\angleB=\angleC$）。解析：要证等腰，需证$\angleB=\angleC$（等角对等边）。由$DE\perpAB$、$DF\perpAC$，得$\angleDEB=\angleDFC=90^\circ$（垂直的定义）；已知$D$是$BC$中点，故$BD=CD$；又$DE=DF$，因此$\boldsymbol{Rt\triangleDEB\congRt\triangleDFC}$（$\boldsymbol{HL}$定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）；由全等三角形的性质，对应角相等，得$\angleB=\angleC$；由等角对等边，得$AB=AC$，故$\triangleABC$是等腰三角形。3.一次函数的实际应用某快递公司收费标准：首重（1千克内）10元，续重（超过1千克的部分）每千克2元（不足1千克按1千克算）。设寄件重量为$x$千克（$x>0$），运费为$y$元。（1）写出$y$与$x$的函数关系式（分情况讨论）；（2）若寄件重量为$3.2$千克，运费是多少？解析：（1）分两种情况：当$0<x\leq1$时，$y=10$；当$x>1$时，首重10元，续重为$(x-1)$千克（不足1千克按1千克算，即续重重量为$\lceilx-1\rceil$，但题目简化为“超过1千克的部分”按实际重量的整数处理，故直接用$x-1$的整数部分？不，题目说“不足1千克按1千克算”，因此续重重量为$\lceilx-1\rceil$，但通常初中题简化为：若$x$为小数，续重按“进一法”取整。不过更简单的处理是，当$x>1$时，$y=10+2\times\lceilx-1\rceil$，但初中阶段常简化为“$x$为实数，续重按$x-1$的整数部分”，或直接写分段函数：当$0<x\leq1$时，$y=10$；当$x>1$时，$y=10+2(x-1)$（若题目默认“不足1千克按1千克算”，则$x$取整数？不，题目说“不足1千克按1千克算”，因此当$x=1.2$时，续重按1千克（因为$1.2-1=0.2$，不足1千克按1千克算），所以正确的分段是：当$0<x\leq1$时，$y=10$；当$x>1$时，$y=10+2\times\lceilx-1\rceil$，但初中题常简化为“$x$为正实数，续重按$x-1$的整数部分”，或直接写：$y=\begin{cases}10&(0<x\leq1)\\10+2(x-1)&(x>1)\end{cases}$（此时默认$x$为整数或小数按实际计算，不足1千克时，比如$x=1.2$，$x-1=0.2$，续重按0.2千克？但题目说“不足1千克按1千克算”，所以正确的函数应为：当$0<x\leq1$时，$y=10$；当$1<x\leq2$时，$y=10+2\times1=12$；当$2<x\leq3$时，$y=10+2\times2=14$；……但初中阶段通常简化为分段函数（不考虑“进一法”，直接按$x$的实际值计算，不足1千克时续重按实际重量，这可能与题目描述冲突，需结合题意。题目说“不足1千克按1千克算”，因此续重重量为$\lceilx-1\rceil$，即向上取整。不过更简单的处理是，题目可能希望用“$x$为正实数，续重按$x-1$的整数部分”，因此：（1）函数关系式：