高三数学新课标模拟考卷与解答

一、模拟卷设计说明本模拟卷严格遵循《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》要求，以“立德树人、服务选才、引导教学”为核心，全面考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模、数据分析六大核心素养。试卷覆盖函数与导数、立体几何、解析几何、数列、概率统计、三角函数、平面向量等核心模块，题型结构与新高考新课标卷一致（8道单选、4道多选、4道填空、6道解答，其中解答题第22、23题为选做题），难度梯度合理，既注重基础概念的辨析，又强化综合能力的应用，助力高三学生熟悉命题规律、提升应试能力。二、模拟考卷（含详细解答）（一）选择题（本题共12小题，其中1~8题为单选题，9~12题为多选题，每小题5分，共60分）1.集合与常用逻辑用语A.\((1,2)\)B.\((1,2]\)C.\((2,+\infty)\)D.\(\varnothing\)解答：解集合\(A\)：\(x^2-3x+2<0\)即\((x-1)(x-2)<0\)，得\(1<x<2\)，故\(A=(1,2)\)。解集合\(B\)：\(2^x>4=2^2\)，由指数函数单调性得\(x>2\)，故\(B=(2,+\infty)\)。答案：A考点分析：考查集合的交、补运算，及一元二次不等式、指数不等式的解法，核心是“数学运算”素养，需熟练掌握不等式解法与集合运算规则。2.复数的概念与运算题目：若复数\(z\)满足\((1+i)z=2i\)，则\(|z|=\)（）A.\(\sqrt{2}\)B.\(2\)C.\(\sqrt{3}\)D.\(3\)解答：由\((1+i)z=2i\)，得\(z=\frac{2i}{1+i}\)。分母实数化（乘以\(\frac{1-i}{1-i}\)）：\[z=\frac{2i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2i-2i^2}{1-i^2}=\frac{2i+2}{2}=1+i\quad(\text{因}i^2=-1)\]复数的模\(|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\)。答案：A考点分析：考查复数的除法运算与模的计算，需掌握复数的代数形式运算及模的定义，体现“数学运算”素养。3.三角函数的图像与性质题目：函数\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的对称轴方程为（）A.\(x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\)B.\(x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\)C.\(x=\frac{\pi}{12}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\)D.\(x=\frac{\pi}{6}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\)解答：正弦函数\(y=\sinx\)的对称轴方程为\(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\(k\in\mathbb{Z})\)。对\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，令\(2x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi\(k\in\mathbb{Z})\)，解得：\[2x=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}+k\pi=\frac{\pi}{6}+k\pi\impliesx=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\(k\in\mathbb{Z})\]答案：A考点分析：考查三角函数的对称轴求解，核心是利用正弦函数的对称性，通过“整体代换”思想求解，体现“逻辑推理”与“数学运算”素养。4.立体几何（三视图与体积）题目：某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）（三视图描述：主视图为长4、高2的矩形；左视图为长2、高2的矩形；俯视图为长4、宽2的矩形，内部有一个直径为2的半圆，半圆沿长度方向分布。）解答：该几何体为长方体挖去一个半圆柱：长方体体积：\(V_{\text{长}}=长\times宽\times高=4\times2\times2=16\,\text{cm}^3\)。半圆柱体积：圆柱体积公式为\(V_{\text{圆柱}}=\pir^2h\)，半圆柱体积为\(\frac{1}{2}\pir^2h\)。由三视图知，半圆柱底面半径\(r=1\,\text{cm}\)，高\(h=4\,\text{cm}\)（与长方体的长一致），故：\[V_{\text{半圆柱}}=\frac{1}{2}\pi\times1^2\times4=2\pi\,\text{cm}^3\]几何体体积：\(V=V_{\text{长}}-V_{\text{半圆柱}}=16-2\pi\,\text{cm}^3\)（若\(\pi\approx3.14\)，则\(V\approx9.72\,\text{cm}^3\)）。答案：\(16-2\pi\)（或近似值\(9.72\)）考点分析：考查三视图的还原与几何体体积计算，核心是“直观想象”素养，需掌握常见几何体的三视图特征及体积公式（组合体体积=整体体积-挖去部分体积）。5.线性规划题目：若\(x,y\)满足约束条件\(\begin{cases}x-y+1\geq0\\x+y-3\leq0\\x-3y+3\geq0\end{cases}\)，则\(z=2x-y\)的最大值为（）A.4B.5C.6D.7解答：步骤1：画可行域（三条直线的交集区域）：\(x-y+1\geq0\impliesy\leqx+1\)（直线斜率1，截距1，取下方区域）。\(x+y-3\leq0\impliesy\leq-x+3\)（直线斜率-1，截距3，取下方区域）。\(x-3y+3\geq0\impliesy\leq\frac{x+3}{3}\)（直线斜率\(\frac{1}{3}\)，截距1，取下方区域）。步骤2：求可行域顶点（三条直线的交点）：\(x-y+1=0\)与\(x+y-3=0\)的交点：\((1,2)\)。\(x+y-3=0\)与\(x-3y+3=0\)的交点：\(\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)\)。\(x-y+1=0\)与\(x-3y+3=0\)的交点：\((0,1)\)。\(x+y-3=0\)与\(x\)轴的交点：\((3,0)\)（验证：\(3-0+1\geq0\)、\(3-0+3\geq0\)均成立）。步骤3：代入目标函数求最值：目标函数\(z=2x-y\)，斜率为2（截距越小，\(z\)越大）。代入顶点：\((3,0)\)：\(z=2\times3-0=6\)；\((1,2)\)：\(z=2\times1-2=0\)；\(\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)\)：\(z=2\times\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)；\((0,1)\)：\(z=2\times0-1=-1\)。故\(z\)的最大值为\(6\)。答案：C考点分析：考查线性规划的最优解，核心是“数学运算”与“直观想象”素养，需掌握可行域的绘制（截距法）与目标函数的几何意义。（二）多选题（9~12题，每题5分，共20分）9.函数的性质与图像题目：已知函数\(f(x)=\frac{\ln|x|}{x}\)，则下列说法正确的有（）A.\(f(x)\)是奇函数B.\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递减C.\(f(x)\)有两个零点D.\(f(x)\)的值域为\(\left[-\frac{1}{e},\frac{1}{e}\right]\)解答：选项A：定义域为\(\{x\midx\neq0\}\)，关于原点对称。\(f(-x)=\frac{\ln|-x|}{-x}=-\frac{\ln|x|}{x}=-f(x)\)，故\(f(x)\)是奇函数，A正确。选项B：当\(x>0\)时，\(f(x)=\frac{\lnx}{x}\)，求导得\(f'(x)=\frac{1-\lnx}{x^2}\)。令\(f'(x)>0\)，得\(1-\lnx>0\implies0<x<e\)；令\(f'(x)<0\)，得\(x>e\)。故\(f(x)\)在\((0,e)\)上单调递增，在\((e,+\infty)\)上单调递减，B错误。选项C：令\(f(x)=0\)，即\(\ln|x|=0\implies|x|=1\impliesx=\pm1\)，故有两个零点，C正确。选项D：当\(x>0\)时，\(f(x)\)在\(x=e\)处取得极大值\(f(e)=\frac{1}{e}\)；当\(x\to0^+\)时，\(\lnx\to-\infty\)，\(f(x)\to-\infty\)；当\(x\to+\infty\)时，\(f(x)\to0\)。结合奇函数性质，值域为\((-\infty,\frac{1}{e}]\cup[-\frac{1}{e},+\infty)\)？不，奇函数图像关于原点对称，当\(x>0\)时，\(f(x)\in(-\infty,\frac{1}{e}]\)，故\(x<0\)时，\(f(x)\in[-\frac{1}{e},+\infty)\)，整体值域为\(\mathbb{R}\)？之前分析错误，正确值域应为\(\left[-\frac{1}{e},\frac{1}{e}\right]\)吗？重新计算：当\(x>0\)，\(f(x)=\frac{\lnx}{x}\)，导数\(f'(x)=\frac{1-\lnx}{x^2}\)，极大值在\(x=e\)处为\(\frac{1}{e}\)；当\(x\to0^+\)，\(\lnx\to-\infty\)，\(f(x)\to-\infty\)？不对，\(x\to0^+\)时，\(\lnx\to-\infty\)，\(x\to0^+\)，故\(\frac{\lnx}{x}\to-\infty\)（因为分子→-∞，分母→0+，整体→-∞）；当\(x\to+\infty\)，\(\lnx\)增长慢于\(x\)，故\(f(x)\to0\)。因此\(x>0\)时，\(f(x)\in(-\infty,\frac{1}{e}]\)；由奇函数性质，\(x<0\)时，\(f(x)\in[-\frac{1}{e},+\infty)\)，故值域为\(\mathbb{R}\)，D错误。答案：AC考点分析：考查函数的奇偶性、单调性、零点与值域，核心是“数学抽象”与“逻辑推理”素养，需结合导数分析单调性，利用奇偶性拓展值域。（三）填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.平面向量的数量积题目：已知向量\(\boldsymbol{a}=(1,2)\)，\(\boldsymbol{b}=(m,-1)\)，若\(\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\)，则\(m=\)____