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函数、极限与连续高等数学(上)-第1章高等数学-第1章函数、极限和连续高等数学-第2章

导数与微分-课件高等数学-第3章

导数的应用与中值定理高等数学-第4章不定积分高等数学-第5章定积分高等数学-第6章

微分方程全套可编辑PPT课件

目录函数与性质数列的极限函数的极限两个重要极限无穷小和无穷大函数的连续性PartContents1.1函数与性质引例曲边梯形的面积

高等数学的研究对象是函数，而极限是研究函数的重要方法.本章主要介绍了函数的概念和性质，极限的定义和运算法则，以及在微积分运算中起重要作用的无穷小量，并运用极限的概念引入了函数的连续性问题.

极限理论是高等数学的基石，指引我们透过现象看本质，为后续学习导数、微分、积分等知识提供了必要的理论基础，被广泛应用于物理、工程、经济等领域，为描述变量间的依赖关系、分析变化规律、构建数学模型提供了必不可少的工具。PartContents1.1.1集合、区间与邻域

集合一般来说，具有某种确定性质的对象的全体称为集合,

构成集合的对象，称为集合的元素。

集合

集合集合

BU

A图1-1高等数学中常用数集包括：(1)自然数集：全体非负整数组成的集合称为非负整数集或者自然数集，记为N；(2)整数集：全体整数构成的集合称为整数集，记为Z；如果是全体正整数构成的集合称为正整数集，记为Z+；全体负整数构成的集合称为负整数集，记为Z-；(3)有理数集：全体有理数构成的集合称为有理数集，记为Q；(4)实数集：全体实数构成的集合称为实数集，记为R.集合

区

间区间区间分有限区间和无限区间，有限区间分为开区间、闭区间和半开区间.

邻

域邻域的定义

邻

域

邻

域

PartContents1.1.2函数的概念函数的定义函数的定义

函数的三个基本要素是定义域、对应法则和值域.定积分的定义

函数的定义由函数的三个基本要素可知,一个函数由定义域D,对应法则f和值域R唯一确定。163

在实际问题中，函数的定义域是根据问题的实际意义确定的，而在数学中，有时抽去函数的实际意义，单纯地讨论用算式表达的函数，此时函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的数集，这种定义域称为函数的自然定义域。函数的定义域

函数的定义域函数的定义域的判定例题

PartContents1.1.3函数的特性函数的特性函数的特性PartContents1.1.4函数的表示法函数的表示法图形法表格法解析法（公式法）表示法显函数隐函数参数方程复合函数反函数y=f(u),u=g(x),且Df∩Ru≠⌀,则称y是x的复合函数,其中u为中间变量.例题

解：

反函数函数的表示法

PartContents1.1.5常用的函数基本初等函数幂函数

指数函数

基本初等函数对数函数

基本初等函数三角函数

基本初等函数三角函数

基本初等函数反三角函数

图像性质基本初等函数反三角函数

图像性质基本初等函数定义初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的复合，并用一个式子表示的函数称为初等函数.例如：

分段函数分段函数是一个函数由两个或两个以上不同的解析式表示。不能将分段函数当做几个函数。求分段函数的函数值时，要先判断自变量所属的范围.例题

例题

例3：符号函数例题

提升训练营【例1】求函数解:这个函数的定义域为：的定义域.提升训练营

提升训练营

提升训练营

PartContents1.2数列的极限PartContents1.2.1.数列极限的定义引例数列的极限

数列极限的定义数列的定义

例如：

数列极限的定义

极限的定义1

数列极限的定义

极限的定义1

数列极限的定义

思考：“无限增大”和“无限接近”如何来进行度量呢？

数列极限的定义

极限的定义2数列极限的定义

极限的定义3

数列极限的定义例题

解：

数列极限的定义

解：

数列极限的定义

解：

数列极限的定义结论：数列的极限

公式1-1例题

例题

解：PartContents1.2.2.数列极限的计算数列极限的运算法则

例题

解：数列极限的运算

解：数列极限的运算

PartContents1.2.3.数列极限的性质数列极限的性质定积分的定义

提升训练营

解：数列极限的运算

解：数列极限的运算

PartContents1.3函数的极限

导引PartContents1.3.1函数极限的定义引例

函数极限的定义定义1函数极限的定义定义1

函数极限的定义定义1

函数极限的定义定理

引例

函数极限的定义定义2函数极限的定义定义2

函数极限的定义定义2

注意：

函数极限的定义定积分的定义

函数极限的定义

例题【例3】函数

例题

解：…-1010-1…10-101

例题该函数的图形如下图所示：

例题【例3】函数

PartContents1.3.2函数极限的计算方法导引

函数极限的运算法则定积分的定义

函数极限的运算法则定积分的定义

例题

解：

例题

解：

函数极限的运算定积分的定义

下面我们重点讨论不定型：例题

例题解：

例题解：

例题解：

函数极限的运算定积分的定义

我们得出更常用的公式函数极限的运算定积分的定义

例题

例题

函数极限的运算定积分的定义

例题

函数极限的性质提升训练营

提升训练营

PartContents1.4两个重要极限夹逼准则

下面介绍判断极限存在的准则——夹逼准则.夹逼准则分为数列极限和函数极限两种情况，我们重点讨论如何使用夹逼准则求极限.定理1夹逼准则定理2：

函数极限的夹逼准则：

(或x>M)内有定义，且满足条件：定理2夹逼准则夹逼准则不仅告诉我们怎么判断一个函数（数列）极限是否存在，同时也给了我们一种新的求极限的方法，即为了求得某一个困难函数（数列）的极限，可找两个极限相同且易求出极限的函数（数列），将其夹在中间，那么这个函数（数列）的极限必存在，且等于这个共同的极限.例题

例题

例题

第一重要极限

1xyO1

第一重要极限

注意例题【例2】求下列极限

例题【例2】求下列极限

例题【例2】求下列极限

例题【例3】求下列极限

例题【例3】求下列极限

例题【例3】求下列极限

单调有界收敛准则

定义1前面讲过，有极限的数列一定有界，但反过来，有界数列不一定有极限，单调有界原理告诉我们，单调有界的数列极限一定存在.单调有界收敛准则如果详细的说，则有下列性质：定理3（单调有界原理）:单调有界数列必有极限.

例题

例题

第二重要极限定义2

第二重要极限

Oxy1e单调有界收敛准则

例题【例4】求下列极限

例题【例4】求下列极限

例题【例4】求下列极限

提升训练营

提升训练营

解（1）（2）

提升训练营解（3）

提升训练营（4）

提升训练营【例2】设有本金1000元，若用连续复利(在无限短的时间内按照复利计息)计算，年利率为8%，则5年末可得本利和为多少？提升训练营解：如果每年结算一次，则一年末本利和为

PartContents1.5无穷小与无穷大引

PartContents1.5.1无穷小无穷小

定义1

无穷小(1)无穷小与一个很小的确定的常数不能混为一谈，这是因为无穷小是个变量（函数），是自变量在某一个变化趋势下，函数的绝对值趋近于0的变量.(2)常数0可以看成任何一个变化过程中的无穷小.零是无穷小中唯一的常数.(3)一个变量是否为无穷小，除了与变量本身有关，还与自变量的变化趋势有关.注意：

无穷小定理1

对于自变量的同一变化过程中的无穷小，有下列性质：性质1:有限个无穷小的代数和是无穷小.性质2:有限个无穷小的乘积是无穷小.性质3:有界函数与无穷小的乘积是无穷小.性质4:常数与无穷小的乘积是无穷小.无穷小注意：

例题

PartContents1.5.2无穷大无穷大

定义2

无穷大注意：

无穷大的性质：性质1：有限个同号的无穷大的和，仍为无穷大；性质2：有限个无穷大的积，仍为无穷大；性质3：非零常数乘以无穷大，仍为无穷大.无穷大PartContents1.5.3无穷大和无穷小的关系无穷大和无穷小的关系定理1

例题

PartContents1.5.4无穷小的阶的比较

引无穷小的阶

定义3无穷小的阶

定义3

无穷小的阶

PartContents1.5.5等价无穷小的代换等价无穷小的代换定理2

等价无穷小的代换定理3

注：定理中求商或积中的极限过程，可以把无穷小用与之等价的无穷小代换，从而达到简化运算的目的，但是在加减法运算中，一般不能使用等价无穷小代换.

等价无穷小的代换

此外，等价无穷小的代换例题【例3】利用等价无穷小代换求下列极限

例题【例3】利用等价无穷小代换求下列极限

提升训练营

提升训练营

解：

PartContents1.6函数的连续性PartContents1.6.1连续性连续性

连续性的定义1

连续性连续性

连续性的定义2

连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.连续性

(2)有极限，即存在；(3)相等，即

连续性

PartContents1.6.2函数的间断点及分类间断点

间断点的定义

间断点

间断点的分类间断点第一类间断点可去间断点跳跃间断点第二类间断点无穷间断点振荡间断点f(x0-),f(x0+)都存在f(x0-)=f(x0+)f(x0-)

f(x0+)f(x0-),f(x0+)中至少有一个不存在f(x0-),f(x0+)中有一个是无穷大f(x0-),f(x0+)中有一个是振荡间断点的分类例题

例题

例题

PartContents1.6.3连续函数的性质

连续函数的性质综上所述，由于基本初等函数在其各自定义域内每点处的极限都存在，且等于该点处的函数值，基本初等函数在其定义域内都是连续的.初等函数在其定义区间内都是连续的.所谓定义区间是指包含在定义域内的区间.连续函数的性质注：分段函数不作为初等函数处理，它在分界点的连续性一般需按定义来讨论.

PartContents1.6.4闭区间上连续函数的性质

闭区间连续函数的性质定理1（最值定理）

推论（有界性定理）：闭区间上的连续函数在该区间一定有界.闭区间连续函数的性质定理2（介值定理)

闭区间连续函数的性质推理（零点定理）例题

例题

提升训练营提升训练营

提升训练营提升训练营

谢谢！导数及微分高等数学(上)-第二章目录导数的概念函数的求导法则隐函数及参数方程所确定的函数的导数函数的微分PartContents2.1导数的概念引例1.直线运动的速度引例1.直线运动的速度引例1.直线运动的速度引例2.割线与切线引例2.割线与切线引例2.割线与切线PartContents导数的定义导数的定义1.函数在某一点处可导导数的定义导数的定义例题导数的定义2.函数在某区间内可导导数的定义导数的定义3.简单函数的可导例题例题例题例题例题例题导数的定义4.左右导数的定义导数的定义导数的定义例题PartContents导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义例题PartContents导数的可导性与连续性的关系可导性与连续性的关系可导性与连续性的关系定积分的定义例题例题提升训练营提升训练营PartContents2.2导数的求导法则引例PartContents导数的和、差、积、商的求导法则和、差、积、商的求导法则和、差、积、商的求导法则例题例题例题例题PartContents反函数的求导法则反函数的求导法则反函数的求导法则例题例题1.直线运动的速度反函数的求导法则1.直线运动的速度反函数的求导法则PartContents复合函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则例题例题例题例题例题例题PartContents高阶导数高阶导数高阶导数高阶导数例题例题例题例题例题例题例题提升训练营提升训练营PartContents2.3隐函数及参数方程

所确定函数的导数PartContents隐函数的导数隐函数的导数例题例题例题PartContents对数求导法对数求导法例题对数求导法例题PartContents由参数方程所确定的函数的的导数由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数例题隐函数的导数例题提升训练营PartContents2.4函数的微分引例图

2-4引例PartContents微分的定义微分的定义微分的定义例题PartContents微分的几何意义微分的几何意义微分的几何意义PartContents基本初等函数的微分公式与微分运算法则微分公式微分公式微分公式微分公式微分公式微分公式例题例题PartContents近似计算近似计算例题近似计算例题提升训练营提升训练营谢谢！微分中值定理与导数的应用高等数学(上)-第三章目录3.1微分中值定理3.2洛必达法则3.3泰勒公式3.5曲线的凹凸性、拐点及函数作图3.4函数的单调性、极值和最值3.6曲率PartContents3.1微分中值定理PartContents罗尔定理3.1.1罗尔定理1.定理1(费马引理)图3-1注：通常称导数等于零的点为函数的驻点（或称为稳定点、临界点）3.1.1罗尔定理2.定理2(罗尔引理)1.直线运动的速度3.1.1罗尔定理1.直线运动的速度3.1.1罗尔定理1.直线运动的速度3.1.1罗尔定理例题图3-3例题图3-4例题图3-5例题图3-6例题PartContents拉格朗日中值定理1.直线运动的速度3.1.2拉格朗日中值定理1.定理3(拉格朗日中值定理)1.直线运动的速度3.1.2拉格朗日中值定理2.定理4(拉格朗日中值定理的其它形式)1.直线运动的速度3.1.2拉格朗日中值定理推论11.直线运动的速度3.1.2拉格朗日中值定理推论2例题例题例题PartContents柯西中值定理3.1.3柯西中值定理1.定理5(柯西中值定理)图3-83.1.3柯西中值定理1.定理5(柯西中值定理)例题例题提升训练营提升训练营PartContents3.2洛必达法则PartContents1.定理1例题例题例题PartContents1.定理2例题例题例题例题PartContents其他类型未定式例题例题例题例题例题例题例题例题例题3.2.4小结提升训练营PartContents3.3泰勒公式PartContents泰勒中值定理3.3.1泰勒中值定理1.多项式逼近函数3.3.1泰勒中值定理2.定理1（泰勒中值定理）3.3.1泰勒中值定理PartContents麦克劳林公式3.3.2麦克劳林公式例题3.3.2麦克劳林公式PartContents泰勒公式的应用3.3.3泰勒公式的应用例题例题例题提升训练营PartContents3.4函数的单调性、极值和最值PartContents函数单调性的判定法3.4.1函数单调性的判定法3.4.1函数单调性的判定法1.定理1（函数单调性的判别法）3.4.1函数单调性的判定法例题例题例题3.4.1函数单调性的判定法3.4.1函数单调性的判定法例题x(

1)(1

2)(2

)f

(x)

f(x)↗↘↗例题PartContents函数的极值及其求法3.4.2函数的极值及其求法1.定义13.4.2函数的极值及其求法1.定义1图3-93.4.2函数的极值及其求法1.定义13.4.2函数的极值及其求法2.定理2（极值的必要条件）3.4.2函数的极值及其求法2.定理2（极值的必要条件）3.4.2函数的极值及其求法3.定理3(极值的第一充分条件)图3-103.4.2函数的极值及其求法3.定理3(极值的第一充分条件)图3-113.4.2函数的极值及其求法3.定理3(极值的第一充分条件)3.4.2函数的极值及其求法3.定理3(极值的第一充分条件)3.4.2函数的极值及其求法4.定理4(极值的第二充分条件)3.4.2函数的极值及其求法4.定理4(极值的第二充分条件)例题x(

1)

1(

1

1)1(1

)f

(x)

不可导

0

f(x)↗0↘↗例题PartContents函数的最值3.4.3函数的最值3.4.3函数的最值3.4.3函数的最值例题例题例题提升训练营提升训练营PartContents3.5曲线的凹凸性、拐点及函数作图PartContents函数的凹凸性、拐点3.5.1函数的凹凸性、拐点图3-133.5.1函数的凹凸性、拐点1.定义1图3-143.5.1函数的凹凸性、拐点1.定义1图3-153.5.1函数的凹凸性、拐点2.定理1（凹凸性判定定理）例题例题3.5.1函数的凹凸性、拐点例题x(

0)0(0

)(

)f

(x)

0

0

f(x)凹弧拐点(0,1)凸弧拐点(

)凹弧PartContents函数的渐近线3.5.2曲线的渐近线3.5.2曲线的渐近线1.定义3例题例题例题例题3.5.2曲线的渐近线例题PartContents函数作图3.5.3函数作图3.5.3函数作图例题x(

,)(,)(

1)1(1，+

)f

(x)+0-

-0+f

(x)-

-

+f(x)极大值

拐点(

)极小值0图3-16提升训练营PartContents3.6曲率PartContents弧微分3.6.1弧微分1.定义13.6.1弧微分1.定义1图3-17PartContents曲率及其计算公式3.6.2曲率及其计算公式1.定义13.6.2曲率及其计算公式1.定义11.定义23.6.2曲率及其计算公式1.定义12.曲率的计算公式图3-18例题图3-19例题例题PartContents曲率半径与曲率圆3.6.3曲率半径与曲率圆1.定义11.定义3图3-203.6.3曲率半径与曲率圆1.定义11.定义3例题提升训练营对于砂轮磨削一般工件的内表面时，也有类似的结论，即选用的砂轮的半径不应超过这工件的内表面的截线上各点曲率半径中的最小值.提升训练营谢谢！不定积分高等数学(上)-第四章目录不定积分的概念与性质换元积分法分部积分法本章导引曲边梯形的面积

微分和积分是对立统一的，从运算的角度看，微分的逆运算就是不定积分.不定积分作为微积分的另一基石，是求解原函数和解决微分方程的关键工具.本章从不定积分的基本概念和性质入手，探索其背后的数学原理,重点介绍求解不定积分的方法：直接积分法、换元积分法、分部积分法.不定积分不仅是数学分析中的一个重要概念，也是物理学、工程学等领域中不可或缺的数学语言.PartContents4.1不定积分的概念与性质PartContents原函数与不定积分原函数原函数定义原函数定义原函数

思考：问题1：函数满足什么条件，它有原函数？问题2：如果函数的原函数存在，它是否唯一？问题3：如果函数的原函数不唯一，它们之间存在什么样的关系？原函数简单说：连续函数一定有原函数.原函数存在定理原函数也就是：若函数具有原函数，则其具有无穷多个原函数.原函数存在定理原函数原函数存在定理因此，函数的任意两个原函数之间只差一个常数.不定积分不定积分的定义积分符号

被积函数被积表达式积分变量积分常数不定积分不定积分的定义

积分号“”是一种运算语言，它表示对已给函数求其全体原函数.注

求不定积分，只须求出被积函数的一个原函数再加上积分常数即可.例题不定积分不定积分的几何意义PartContents基本积分表基本积分表定积分的定义由于积分运算是微分运算的逆运算，那么可以自然得到如下公式：基本积分表定积分的定义由于积分运算是微分运算的逆运算，那么可以自然得到如下公式：PartContents不定积分的运算性质不定积分的运算性质定积分的定义性质1线性运算的不定积分等于不定积分的线性运算，即性质2，或，或

直接利用基本积分公式和不定积分的运算性质(有时需先对被积函数进行恒等变形)，便可求得不定积分的方法，称为直接积分法.例题提升训练营PartContents4.2换元积分法本节导引曲边梯形的面积上节课介绍的不定积分的运算性质和基本积分公式表,所能计算的不定积分是很有限的.本节课介绍一种求不定积分的方法，即换元积分法，一种方法是把复合函数的微分法反过来用于求不定积分的积分法，另一种方法是引入另一个变量去替代被积函数中的一部分，将被积函数改写成容易求得积分的形式.PartContents第一换元法第一换元法原函数定义定理如果被积函数可写成，积分形式可改写为：上述求不定积分的方法称为第一换元积分法，又称为凑微分法.例题计算下列不定积分：例题计算下列不定积分：提升训练营PartContents第二换元法第二换元法原函数定义定理第二换元法原函数定义定理注：换元积分法在进行换元后，都需要还原为原变量的函数；

第二换元积分法经常用于被积函数中出现根式，且无法用直接积分法和第一换元法计算的题目.例题计算下列不定积分：基本积分表（续）定积分的定义例题中部分积分是后续经常遇到的，常作为公式直接使用，现补充如下：提升训练营PartContents4.3分部积分法分部积分法原函数定义定理分部积分法注意例题计算下列不定积分：分部积分法—方法总结提升训练营谢谢！定积分及其应用高等数学(上)-第五章目录定积分的概念与性质微积分基本定理定积分的换元法与分部积分法反常积分定积分的应用本章导引

定积分是积分学的另一个分支，它通过极限思想将无限分割与求和结合，用于计算面积、体积及累积量.本章主要介绍定积分的定义、性质和计算方法，以及如何利用微元分析法建立各种实际问题的定积分模型，解决几何学、物理学及工程学中的相关累积求和问题.定积分的思想和微积分基本定理的诞生为微积分的发展奠定了坚实基础，并体现了数学的深刻性与统一性.PartContents5.1定积分的概念与性质引例曲边梯形的面积引例曲边梯形的面积引例曲边梯形的面积引例曲边梯形的面积引例曲边梯形的面积引例变速直线运动的路程引例变速直线运动的路程引例

总结所求问题均为分布率不均匀的量的总量问题；解决类似实际问题的时的思路：

分割—近似—求和—取极限。PartContents定积分的定义定积分的定义定义定积分的定义定义定积分的定义定积分的定义注定积分的定义函数可积条件例题PartContents定积分的几何意义定积分的几何意义定积分的定义定积分的几何意义定积分的定义例题PartContents定积分的性质定积分的性质定积分的定义

利用定义计算定积分是十分困难的，这里我们先介绍一些定积分的基本性质有助于计算定积分.定积分的性质定积分的定义在下面的讨论中假设函数均在给定区间内可积，且各性质中积分上下限的大小，如不特别说明，均不加以限制.线性性质此性质可以推广至有限个函数的情况，即定积分的性质区间的有限可加性定积分的性质定积分的定义保序性定积分的性质估值性质积分中值定理定积分的性质积分中值定理例题提升训练营PartContents5.2微积分基本定理本节导引曲边梯形的面积上一节中，我们举过利用定积分的定义来计算定积分的例子,从例题中可以看出按定义计算定积分是十分困难的.因此寻求一种计算定积分的有效方法便成为积分学发展的关键.本节课我们将不定积分作为原函数的概念与定积分作为积分和的极限的概念结合起来，从而提出求解定积分值的方法.引例变速直线运动引例

总结PartContents积分上限函数积分上限函数定义积分上限函数定义积分上限函数定理定理积分上限函数积分上限函数例题PartContents微积分基本定理微积分基本定理微积分基本定理微积分基本定理例题提升训练营PartContents5.3定积分的换元法与分部积分法本节导引曲边梯形的面积根据上节课的内容可知，计算定积分的方法就是求被积函数原函数增量，在上一章中我们介绍了求原函数的两种常用方法，即换元法和分部法，下面我们就利用这两种方法来计算定积分.PartContents定积分的换元法定积分的换元法定积分的定义定理定理定积分的换元法定积分的定义定理注例题例题PartContents定积分的分部积分法定积分的分部积分法定积分的定义定理定理例题提升训练营PartContents5.4反常积分本节导引曲边梯形的面积本节导引曲边梯形的面积PartContents无限区间上的反常积分引例定积分无限区间上的反常积分定义定理定义1无限区间上的反常积分定义定理定义2无限区间上的反常积分定义定理定义3无限区间上的反常积分例题PartContents无界函数的反常积分无界函数的反常积分定积分的定义定义定理定义4无界函数的反常积分定积分的定义定义定理定义5无界函数的反常积分例题PartContents5.5定积分的应用PartContents微元法微元法定积分的定义微元法定积分的定义微元法微元法PartContents定积分在几何学上的应用平面图形的面积直角坐标系的情形平面图形的面积直角坐标系的情形平面图形的面积直角坐标系的情形例题平面图形的面积定积分的定义直角坐标系的情形平面图形的面积定积分的定义直角坐标系的情形例题平面图形的面积参数方程的情形例题平面图形的面积极坐标知识回顾平面图形的面积极坐标知识回顾平面图形的面积极坐标的情形平面图形的面积极坐标的情形平面图形的面积极坐标的情形平面图形的面积极坐标的情形例题空间立体的体积定积分的定义旋转体的体积旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体.这条直线叫做旋转轴.空间立体的体积定积分的定义旋转体的体积空间立体的体积定积分的定义旋转体的体积例题空间立体的体积定积分的定义旋转体的体积例题空间立体的体积定积分的定义平行截面面积已知的立体体积例题曲线的弧长曲线的弧长定积分的定义直角坐标系的情形曲线的弧长定积分的定义直角坐标系的情形曲线的弧长定积分的定义参数方程的情形曲线的弧长定积分的定义极坐标的情形例