（人教A版）选择性必修一高二数学上册 同步学案+同步练习 1.4 空间向量的应用（原卷版）

第页1.4空间向量的应用【知识点梳理】知识点一：直线的方向向量和平面的法向量1.直线的方向向量：点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式.知识点诠释：（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量．（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算．2.平面的法向量定义：直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量．3.平面的法向量确定通常有两种方法：（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；（2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：（i）设出平面的法向量为；（ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，；（iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程；（iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．（1）线线平行设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即．（2）线面平行线面平行的判定方法一般有三种：①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即．②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明．知识点三、用向量方法判定空间的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．（1）线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即．（2）线面垂直①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明．②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．（3）面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．②证明两个平面的法向量互相垂直．知识点四、用向量方法求空间角（1）求异面直线所成的角已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则．知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．（2）求直线和平面所成的角设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有．（3）求二面角如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，.若分别为面的法向量，则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角．①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小．②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小．知识点五、用向量方法求空间距离1.求点面距的一般步骤：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量．2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．3.点线距设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离.【题型归纳目录】题型一：求平面的法向量题型二：利用向量研究平行问题题型三：利用向量研究垂直问题题型四：异面直线所成的角题型五：线面角题型六：二面角题型七：距离问题【典型例题】题型一：求平面的法向量例1．已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1例3．如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：(1)平面ABCD；(2)平面；(3)平面．【方法技巧与总结】求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出．题型二：利用向量研究平行问题例5．在棱长为1的正方体中，E为的中点，P、Q是正方体表面上相异两点．若P、Q均在平面上，满足，．(1)判断PQ与BD的位置关系；(2)求的最小值．例7．如图，正方体中，、分别为、的中点．(1)用向量法证明平面平面；(2)用向量法证明平面．例9．在正方体中，点E，F分别是正方形和正方形的中心．求证：(1)平面；(2)平面；(3)平面平面．【方法技巧与总结】（1）线线平行设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即．（2）线面平行线面平行的判定方法一般有三种：①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即．②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明．题型三：利用向量研究垂直问题例10．如图所示，在棱长为1的正方体，中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且，其中，以O为原点建立空间直角坐标系．(1)求证：；(2)若、E、F、四点共面，求证：．例12．如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，M是的中点．求证：平面MBD．例13．如图所示，在长方体中，，，、分别、的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.例14．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．（1）求证：A1E⊥BD；（2）若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．【方法技巧与总结】（1）线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即．（2）线面垂直①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明．②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．（3）面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．②证明两个平面的法向量互相垂直．题型四：异面直线所成的角例15．如图所示，设有底面半径为的圆锥．已知圆锥的侧面积为，为中点，．(1)求圆锥的体积；(2)求异面直线与所成角．例16．如图所示，在四棱维中，面，且PA=AB=BC==2.(1)求与所成的角；(2)求直线与面所成的角的余弦值.例17．已知正方体的棱长为1，O为中点．(1)证明：平面；(2)求异面直线与OD所成角的大小．例18．如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，，是线段的中点.(1)求证：平面；(2)试在线段上确定一点，使与所成角是60°.【方法技巧与总结】已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则．题型五：线面角例19．平行四边形所在的平面与直角梯形所在的平面垂直，∥，，且为的中点.(1)求证：；(2)求点到平面的距离；(3)若直线上存在点，使得直线所成角的余弦值为，求直线与平面成角的大小.例21．图1是直角梯形，四边形是边长为2的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2.(1)求证：平面平面；(2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值.例23．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，且，平面ABCD，E为BC的中点，F为棱PC上一点．(1)求证：平面平面PAD；(2)若G为PD的中点，，是否存在点F，使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【方法技巧与总结】设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有．题型六：二面角例26．如图，四边形为菱形，，将沿折起，得到三棱锥，点M，N分别为和的重心．(1)证明：∥平面；(2)当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．例27．如图，在多面体ABCDFE中，平面平面ABEF，四边形ABCD是矩形，四边形ABEF为等腰梯形，且，，．(1)求证：；(2)求二面角的余弦值．例28.如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值.【方法技巧与总结】如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，.若分别为面的法向量，，则二面角的平面角或，题型七：距离问题例32．如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且.(1)求证：平面；(2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.例33如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AB，BC，的中点．(1)求证：平面平面EFG；(2)求平面与平面EFG间的距离．例36．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点.（1）求异面直线与间的距离；（2）在侧面PAB内找一点N，使平面，并求出N到AB和AP的距离.【方法技巧与总结】1.求点面距的一般步骤：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量．2.设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离.【同步练习】一、单选题1．在正方体中，E，F分别为棱AD，的中点，则异面直线EF与所成角的余弦值为（

）．A． B． C． D．2．在正方体中，E，F，G分别是，的中点，则（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面3．已知直三棱柱各棱长均相等，点D，E分别是棱，的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．4．已知平面的一个法向量，点在内，则到的距离为（

）A． B． C．4 D．105．有以下命题：①一个平面的单位法向量是唯一的②一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行，则这条直线和这个平面平行③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交④若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直其中真命题的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．已知正三棱柱的所有棱长都为2，N为棱的中点，动点M满足，λ∈[0，1]，当M运动时，下列选项正确的是（

）A．当时，的周长最小B．当λ=0时，三棱锥的体积最大C．不存在λ使得AM⊥MND．设平面与平面所成的角为θ，存在两个不同的λ值，使得7．如图，在正方体中，为棱上的动点，为棱的中点，则下列选项正确的是（

）A．直线与直线相交B．当为棱上的中点时，则点在平面的射影是点C．存在点，使得直线与直线所成角为D．三棱锥的体积为定值8．已知正方体的棱长为.以为坐标原点，以为轴正半轴，为轴正半轴，为轴正半轴建立空间直角坐标系，动点满足直线与所成夹角为的最大值为（

）A． B． C．1 D．2二、多选题9．给定下列命题，其中正确的命题是（

）A．若是平面的法向量，且向量是平面内的直线的方向向量，则B．若，分别是不重合的两平面的法向量，则C．若，分别是不重合的两平面的法向量，则D．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直10．已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（

）A．直线BC1与直线所成的角为90°B．B1D⊥平面ACD1C．点B1到平面ACD1的距离为D．直线B1C与平面所成角的余弦值为11．已知正方体的棱长为，为棱上的动点，平面过点且与平面平行，则（

）A．B．三棱锥的体积为定值C．与平面所成的角可以是D．平面与底面和侧面的交线长之和为三、填空题12．若直线l的一个方向向量为，平面a的一个法向量为，则直线l与平面的位置关系是______．13．已知正方体ABCD—的棱长为4，M在棱上，且1，则直线BM与平面所成角的正弦值为___________．14．空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角大小为________.四、解