湖南省涟源市中考数学真题分类（勾股定理）汇编综合测试试卷（附答案详解）

湖南省涟源市中考数学真题分类（勾股定理）汇编综合测试考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题14分）一、单选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（

）A．如果a2=b2−c2，那么△ABC是直角三角形且∠A=90°B．如果∠A:∠B:∠C=1:2:3，那么△ABC是直角三角形C．如果，那么△ABC是直角三角形D．如果，那么△ABC是直角三角形2、在△ABC中，，那么△ABC是（

）A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形3、下列各组数：①3、4、5

②4、5、6

③2.5、6、6.5

④8、15、17，其中是勾股数的有(

)A．4组 B．3组 C．2组 D．1组4、如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是（

）A． B． C． D．5、若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，下列选项中不能用来证明勾股定理的是（

）A． B．C． D．6、观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（

）A． B．C． D．7、如图，△ABC中，，以其三边分别向外侧作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，若要求图中两个阴影部分面积之和，则只需知道（

）A．以BC为边的正方形面积 B．以AC为边的正方形面积C．以AB为边的正方形面积 D．△ABC的面积第Ⅱ卷（非选择题86分）二、填空题（8小题，每小题2分，共计16分）1、如图，该图形是由直角三角形和正方形构成，其中最大正方形的边长为7，则正方形A、B、C、D的面积之和为__________．2、如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为2m，宽为1.5m，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为________．3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上．若AB=10，BC=8，则△ACE的面积为________．4、图，在菱形ABCD中，，是锐角，于点E，M是AB的中点，连接MD，若，则的值为______．5、把一根长12厘米的木棒，从一端起顺次截下3厘米和5厘米的两段，用得到的三根木棒首尾依次相接，摆成的三角形形状是______．6、小聪准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为__________．7、如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E是格点，则∠ABD＋∠CBE的度数为_____________．

8、已知，在中，，，，则的面积为__．三、解答题（7小题，每小题10分，共计70分）1、阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务．若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”．通过观察常见勾股数“3，4，5”；“5，12，13”；“7，24，25”……猜想当一组勾股数中（），最小数为奇数时，另两个正整数和满足比且，解得，．任务：(1)请证明猜想成立，即证明，，构成勾股数．(2)若一组勾股数中，最小数为9，则另两个数分别是________和________．2、如图所示，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，AC=BC．(1)求证：△ADC≌△BEC．(2)若CD=1，BE=2，求线段AC的长.3、如图，将RtABC纸片沿AD折叠，使直角顶点C与AB边上的点E重合，若AB＝10cm，AC＝6cm，求线段BD的长．4、如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要通过大门．他把竹竿竖放，发现竹竿比大门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长．已知大门宽4尺，请求出竹竿的长．5、如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c．请你运用此图形证明勾股定理：a2+b2＝c2．6、如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部落在离树根8米处，即，求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC的长度）？7、勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止已有多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图所示摆放，其中，点在线段上，点在边两侧，试证明：．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．【详解】解：A、如果

a2=b2-c2，即b2=a2+c2，那么△ABC

是直角三角形且∠B=90°，选项错误，符合题意；B、如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=90°，那么△ABC

是直角三角形，选项正确，不符合题意；C、如果

a2：b2：c2=9：16：25，满足a2+b2=c2，那么△ABC

是直角三角形，选项正确，不符合题意；D、如果∠A-∠B=∠C，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=90°，那么△ABC

是直角三角形，选项正确，不符合题意；故选：A．【考点】本题考查的是直角三角形的判定和勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．2、D【解析】【分析】根据等腰三角形的判定和勾股定理逆定理得出三角形的形状即可．【详解】∵a：b：c=1：1：，∴三角形ABC是等腰三角形．设三边长为a,a,∵，∴三角形ABC是直角三角形．综上所述：△ABC是等腰直角三角形．故选D．【考点】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理逆定理．此题关键是利用勾股定理的逆定理解答．3、C【解析】【详解】解：∵32+42=52，①符合勾股数的定义；∵42+52≠62，②不符合勾股数的定义；∵2.5和6.5不是正整数，③不符合勾股数的定义；∵82+152=172，④符合勾股数的定义，是勾股数的有：①④，共2组，故选：C．4、A【解析】【详解】先用勾股定理耱出三角形的三边，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，最后设BC边上的高为h，利用三角形面积公式建立方程即可得出答案.解：由勾股定理得：，，，，即∴△ABC是直角三角形，设BC边上的高为h，则，∴.故选A.点睛：本题主要考查勾股理及其逆定理.借助网格利用勾股定理求边长，并用勾股定理的逆定理来判断三角形是否是直角三角形是解题的关键.5、A【解析】【分析】由题意根据图形的面积得出的关系，即可证明勾股定理，分别分析即可得出答案【详解】解：A、不能利用图形面积证明勾股定理；B、根据面积得到；C、根据面积得到，整理得；D、根据面积得到，整理得.故选：A.【考点】本题考查勾股定理的证明，熟练掌握利用图形的面积得出的关系，即可证明勾股定理.6、C【解析】【分析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个直角三角形的面积可得问题的答案．【详解】标记如下：∵，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣4＝a2﹣2ab+b2．故选：C．【考点】此题考查的是利用勾股定理的证明，可以完全平方公式进行证明，掌握面积差得算式是解决此题关键．7、D【解析】【分析】如图所示，过点C作CN⊥AB于N，延长AB、BA分别交正方形两边于H、E，证明△ADE≌△CAN得到，AE=CN同理可证△BGH≌△CBN，得到，BH=CN，则，即可推出由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点C作CN⊥AB于N，延长AB、BA分别交正方形两边于H、E，∴∠CNA=∠DEA=∠DAC=90°，∴∠DAE+∠EDA=∠DAE+∠CAN=90°，∴∠ADE=∠CAN，又∵AD=CA，∴△ADE≌△CAN（AAS），∴，AE=CN同理可证△BGH≌△CBN，∴，BH=CN∴，∴，∴只需要知道△ABC的面积的面积即可求出阴影部分的面积，故选D【考点】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造全等三角形．二、填空题1、49【解析】【分析】根据正方形A，B，C，D的面积和等于最大的正方形的面积，求解即可求出答案．【详解】如图对所给图形进行标注：因为所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，所以正方形A的面积，正方形B的面积，正方形C的面积，正方形D的面积．因为，，所以正方形A，B，C，D的面积和．故答案为：49．【考点】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质，面积的计算，掌握勾股定理是解本题的关键．2、2.5m【解析】【详解】设木棒的长为xm，根据勾股定理可得：x2=22+1.52，解得x=2.5．故木棒的长为2.5m．故答案为2.5m．3、【解析】【分析】求出AC=6，面积法求出CD=，在Rt△BCD中，用勾股定理得BD=，即可得B'D=B'C-CD=，设BE=B'E=x，则DE=BD-BE=-x，在Rt△B'DE中，用勾股定理可得BE=4，即可得到答案．【详解】解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=8，∴AC==6，∵CD⊥AB，∴2S△ABC=AB•CD=AC•BC，∴CD==，在Rt△BCD中，BD=，∵将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上，∴B'C=BC=8，BE=B'E，∴B'D=B'C-CD=8-=，设BE=B'E=x，则DE=BD-BE=-x，在Rt△B'DE中，B'D2+DE2=B'E2，∴（）2+（-x）2=x2，解得x=4，∴BE=4，∴AE=AB-BE=6，∴△ACE的面积为AE•CD=×6×=，故答案为：．【考点】本题考查直角三角形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练运用勾股定理．4、【解析】【分析】延长DM交CB的延长线于点首先证明，设，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．【详解】延长DM交CB的延长线于点H，四边形ABCD是菱形，，，，，，≌，，，，设，，，，，，或舍弃，，故答案为．【考点】本题考查了菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题是解决本题的关键．5、直角三角形【解析】【分析】首先计算出第三条铁丝的长度，再利用勾股定理的逆定理可证明摆成的三角形是直角三角形．【详解】解：12-3-5=4（cm），∵32+42=52，∴这三条铁丝摆成的三角形是直角三角形，故答案为：直角三角形．【考点】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．6、2【解析】【分析】根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算即可．【详解】根据题意画出示意图，如图，则AC=0.5m，，，所以BC即为河水深度，，∵，∴是直角三角形，∴，∴，解得：BC=2（m），故答案为：2．【考点】本题考查了勾股定理，根据题意画示意图找出与所求边长相关线段所构成直角三角形是解题关键．7、45°【解析】【分析】取网格点M、N、F，连接AM、AN、BM、MF、BN，根据网格线可得到∠ABD+∠CBE=∠MAB，再根据勾股定理的逆定理证明△ABM是直角三角形，且AM=BM，即可得解．【详解】取网格点M、N、F，连接AM、AN、BM、MF、BN，如图，根据网格线可知NB=1=MF，AN=3，AF=2，由网格图可知∠CBE=∠FAM，∠ABD=∠NAB，则∠ABD+∠CBE=∠MAB，在Rt△ANB中，有，同理可求得：，∵，∴△ABM是直角三角形，且AM=BM，∴∠MAB=45°，即：∠ABD+∠CBE=45°，故答案为：45°．【考点】本题考查了勾股定理即勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知识，求得∠ABD+∠CBE=∠MAB是解答本题的关键．8、2或14#14或2【解析】【分析】过点B作AC边的高BD，Rt△ABD中，∠A=45°，AB=4，得BD=AD=4，在Rt△BDC中，BC=4，得CD==5，①△ABC是钝角三角形时，②△ABC是锐角三角形时，分别求出AC的长，即可求解．【详解】解：过点作边的高，中，，，，在中，，，①是钝角三角形时，，；②是锐角三角形时，，，故答案为：2或14．【考点】本题考查了勾股定理，三角形面积求法，解题关键是分类讨论思想．三、解答题1、(1)见解析(2)40；41【解析】【分析】(1)利用勾股定理的逆定理证明即可．(2)利用勾股数的公式代入求值即可．(1)证明：，∴，，构成勾股数.(2)根据最小数为奇数时，另两个正整数为，，当a=9时，，，故答案为：40,41．【考点】本题考查了勾股定理逆定理，勾股数的探索，代入求值，熟练掌握勾股数是解题的关键．2、(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）由AD⊥BC，BE⊥AC得∠BEC=∠ADC=90°，可证∠DAC=∠CBE，根据AAS可证△ADC≌△BEC；（2）由△ADC≌△BEC，得CD=CE=1，根据勾股定理可求．(1)证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BEC=∠ADC=90°∴∠C+∠DAC=90°=∠C+∠CBE，∴∠DAC=∠CBE在△ADC和△BEC中，∴△ADC≌△BEC(AAS)；(2)解：∵△ADC≌△BEC，∴CD=CE=1，∴BC===，∴AC=BC=【考点】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．3、5【解析】【分析】利用勾股定理先求出的值，根据折叠的性质可得出，，，设，列方程求解即可．【详解】解：由题意可知：，，则，，，设，则，∴解方程得：因此，的长为所以，【考点】本题考查的知识点是勾股定理的应用，根据题意构造直角三角形是解此题的关键．4、尺【解析】【分析】