第八章 课时4 直线和圆、圆和圆的位置关系

课时4直线与圆、圆与圆的位置关系一、课标要求1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想.二、知识梳理1．直线与圆的位置关系相离相切相交图形量化方程观点Δ0Δ0Δ0几何观点drdrdr2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2＞0)．位置关系几何观点：圆心距d与r1，r2的关系方程观点：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离外切相交内切内含3．（1）过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为；（2）过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为；（3）过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为；（4）过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线（切点弦）方程为．【拓展知识】1．（1）过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的切线MP，则切线长MP＝；（2）过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点M(x0，y0)作圆的切线MP，则切线长MP＝．2．直线被圆截得的弦长弦心距d、弦长l的一半eq\f(1,2)l及圆的半径r构成一直角三角形，则有l＝．3．两圆相交时公共弦的方程设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0①.圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0②.由①－②，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0．（1）若两圆相交，则有一条公共弦，此直线方程为其公共弦所在直线方程；（2）若两圆相外切（内切），则有一条公切线，此直线方程为其内公切线（外公切线）所在直线方程；（3）若两圆相离，此直线垂直于圆心连线．统一性质：无论两圆什么位置关系，此直线上任一点到两圆的切线长相等．三、基础回顾1．判断正误.(正确的打“√”，错误的打“×”)（1）若一条直线与圆只有一个公共点，则直线与圆相切．()（2）若两圆没有公共点，则两圆相离．()（3）从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()（4）过圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则C，A，P，B四点共圆，且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2．()2．已知过点A(1，1)作圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为()．A．3x－4y＋1＝0B．3x＋4y－7＝0C．3x－4y＋1＝0或x＝1D．3x＋4y－7＝0或y＝13．（多选题）下列说法正确的有()A．与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx＋Ay＋λ＝0(λ为参数)B．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线方程可设为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数)C．若直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交，则过直线l与圆C交点的圆方程可设为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0D．若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过圆C1与圆C2交点的圆方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)4．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为.四、考点扫描考点一直线与圆的位置关系例1（1）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不能确定（2）设M(x0，y0)为圆x2＋y2＝1内异于圆心的一点，则直线x0x＋y0y＝1与该圆的位置关系为()A．相切 B．相交C．相离 D．相切或相交规律方法：对点训练(1)(2024·广东深圳市质检)已知直线l：xcosα＋ysinα＝1(α∈R)与圆C：x2＋y2＝r2(r＞0)相离，则r的取值范围是()A.{r|0＜r≤1} B.{r|0＜r＜1}C.{r|r≥1} D.{r|r＞1}(2)若集合A＝{(x，y)|y＝1＋eq\r(4－x2)}，B＝{(x，y)|y＝k(x－2)＋4}．则当A∩B有4个子集时，实数k的取值范围是．考点二圆的弦长问题例2（1）直线l：2tx－y－2t＋1＝0(t∈R)与圆C：x2＋y2＝4交于A，B两点，则AB的最小值为()A.eq\r(2)B．2C．2eq\r(2)D．4（2）（2023·新高考Ⅱ卷）已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为eq\f(8,5)”的m的一个值为________．规律方法：对点训练（1）如图是一个圆曲隧道的截面，若路面AB宽为10，净高CD为7，则此隧道圆的半径是()A．5B．eq\f(37,7)C．eq\f(37,5)D．7（2）（2024·浙江金丽衢十二校联考）在平面直角坐标系中，圆，直线与圆交于两点，，则当△ABC的面积最大时，（

）A． B． C． D．考点三圆的切线问题例3（1）过点（1，2）作圆x2+y2＝5的切线，则切线方程为（）A．x＝1 B．3x﹣4y+5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x＝1或x+2y﹣5＝0（2）（2023·新高考Ⅰ卷）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（）A.1 B. C. D.已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点是A，B，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．规律方法：对点训练（1）（多选题）(2024·山东淄博市模拟)已知A，B为圆上的两点，P为直线上一动点，则（

）A．直线与圆相离B．当A，B为两定点时，满足的点有2个C．当时，的最大值是D．当PA，PB为圆的两条切线时，直线AB过定点（2）(2024·湖南长沙市联考)在平面直角坐标系中，已知直线l：y＝kx＋6上存在点P，过点P作圆O：x2＋y2＝4的切线，切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2＋y1y2＝－2，则实数k的取值范围是_______________．考点四圆与圆的位置关系例4（1）(2024·黑龙江齐齐哈尔市模拟)已知圆M：x2＋y2－4y＝0与圆N：x2＋y2－2x－3＝0，则圆M与圆N的位置关系为()A．内含B．相交C．外切D．外离（2）（2024·辽宁鞍山市统考）若圆x2＋y2＋4x－4y＝0和圆x2＋y2＋2x－8＝0交于M，N两点，则线段MN的长度为()A．4B.eq\f(3\r(5),5)C.eq\