第八章 课时7 抛物线的方程与性质((基础练习))

课时7抛物线的方程与性质课标要求1．了解抛物线的实际背景，掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质．2．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．知识梳理1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：（1）在平面内；（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；（2）定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点对称轴焦点离心率e＝准线方程范围开口方向焦半径(其中P(x0，y0))【拓展知识】与焦点弦有关的常用结论：(以图为依据)

设A(x1，y1)，B(x2，y2)．（1）y1y2＝，x1x2＝．（2）AB＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)，AF＝，BF＝．（3）为定值．（4）以AB为直径的圆与准线．（5）以AF或BF为直径的圆与y轴．（6）过焦点且垂直于对称轴的弦长等于(通径)．基础回顾1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)（1）平面内到一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()（2）若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()（3）若一抛物线过点P(－2，3)，则其标准方程可写为y2＝2px(p＞0)．()（4）方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线为焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－eq\f(a,4)．()2．若F是抛物线的焦点，P是抛物线上任意一点，PF长的最小值为1，且是抛物线上两点，AF+BF=6，则线段AB的中点到y轴的距离为（

）A． B． C． D．3．（多选题）顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程可以是()A．y2＝－xB．x2＝－8yC．x2＝－yD．y2＝－8x(2024·江西南昌市模拟)设圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)，过点B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为.

考点扫描考点一抛物线的定义及其应用例1（1）是抛物线的一条焦点弦，且，则中点的横坐标是A．2B．C．D．（2）（2024·河北唐山市模拟）已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且AF＋BF＝3，则线段AB的中点到准线的距离为()A．eq\f(5,2)B．eq\f(3,2)C．1D．3（3）（2024·天津卷）的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则坐标原点到直线的距离为______．规律方法：对点训练（1）（2023·江苏南通市模拟）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，若的面积为，则（

）A．2 B．4 C． D．（2023·江苏南京市模拟）已知圆C过点，且与直线相切，则其圆心到直线距离的最小值为（

）A．3 B．2 C． D．（3）已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，PM＋PF的最小值为41，则p的值为________．考点二抛物线的标准方程及性质例2（1）（2023·广东珠海市三模）已知抛物线的焦点为，准线与坐标轴交于点是抛物线上一点，若FN=FM，则△FMN的面积为（

）A．4 B． C． D．2（2）（2024•安徽芜湖市模拟）已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，点A，B在抛物线上，且直线AB过点D，F为C的焦点，若FA＝2FB＝6，则抛物线C的标准方程为________．规律方法：对点训练(1)(2024·湖南长沙市雅礼中学月考)抛物线C的焦点F关于其准线对称的点为(0，－9)，则抛物线C的方程为()A．x2＝6y B．x2＝12yC．x2＝18y D．x2＝36y（2）（2024·福建泉州市三模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为A，B，且满足，E为线段AB的中点，则点E到抛物线准线的距离为()A．eq\f(11,4)B．eq\f(9,4)C．eq\f(5,2)D．eq\f(5,4)考点三抛物线的几何性质应用例3（1）（2023·广东广州市一模）已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在x轴上，过点（2，0）的直线交C于P，Q两点，且，线段PQ的中点为M，则直线MF的斜率的最大值为（

）A． B． C． D．1（2）（2024·广东实验中学期中）已知直线：和直线：，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（

）A． B． C． D．例4已知为抛物线的弦，点在抛物线的准线上.当过抛物线焦点且长度为时，中点到轴的距离为.(1)求抛物线的方程；(2)若为直角，求证：直线过定点.规律方法：对点训练（1）（2024·山东德州市统考）曲线上有两个不同动点，动点到的最小距离为，点与和的距离之和的最小值为，则的值为（

）A． B． C． D．（2）（2024·湖南岳阳市期末）设抛物线的焦点为，准线为，过第一象限内的抛物线上一点A作的垂线，垂足为B.设，直线AF与相交于点.若，且△ACD的面积为，则直线的斜率___________，抛物线的方程为___________.拓展与延伸17阿基米德三角形知识梳理抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫作阿基米德三角形，如图．性质1阿基米德三角形的底边AB的中线MQ平行于抛物线的对称轴．性质2若阿基米德三角形的底边AB过抛物线内的定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线，该直线与以点C为中点的弦平行．性质3若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边AB过定点（若直线l方程为ax＋by＋c＝0，则定点的坐标为C）.性质4底边AB长为a的阿基米德三角形的面积最大值为eq\f(a3,8p).性质5若阿基米德三角形的底边AB过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小，最小值为p2.例1（1）已知点P−3,2在抛物线C:y2=2pxp>0的准线上，过点A.1B.2C.3D.3（2）(多选题)(2024·江苏如皋中学模拟)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2，l1，l2交于点P.下面关于△PAB的描述正确的有()A．点P必在抛物线的准线上B．AP⊥PBC．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则△PAB的面积S的最小值为eq\f(p2,2)D．PF⊥AB例2已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.(1)求p的值；(2)若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线，切点是A，B，求△PAB面积的最大值．对点训练（1）直线l经过点（0,2）且与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则满足这样条件的直线l有___条.（2）点M（2,1）是抛物线x2＝2py上的点，则以点M为切点的抛物线的切线方程为___.（3）已知抛物线P：x2＝2py(p>0).①若抛物线上点M（m，2）到焦点F的距离为3,求抛物线P的方程;②设抛物线P的准线与y轴的交点为E,过E作抛物线P的切线,求此切线方程;巩固提升1．已知抛物线C：x2＝4y，直线y＝kx＋b与抛物线交于A，B两点，AB＝8，且抛物线在A，B处的切线相交于点P，则△PAB面积的最大值为()A．8B．16C．16eq\r(2)D．322．(多选题)(2024·河北廊坊市模拟)如图，△PAB为阿基米德三角形．抛物线x2＝2py(p>0)上有两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，以A，B为切点的抛物线的切线PA，PB交于点P.则下列结论正确的有()A．若弦AB过焦点，则△PAB为直角三角形，且∠APB＝90°B．点P的坐标是C．弦AB所在的直线的方程为(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0D．△PAB的边AB的中线与y轴平行(或重合)3．已知抛物线P：x2＝4y的准线与y轴的交点为E，则过E作抛物线P的切线方程为