双曲线知识点教学案与同步练习题

双曲线知识点教学案与同步练习题一、教学目标1.知识与技能：理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程与几何性质，能根据条件求双曲线方程并分析其几何特征。2.过程与方法：类比椭圆的研究方法，经历双曲线概念形成、方程推导的过程，提升类比迁移、数形结合的能力。3.情感态度与价值观：体会数学知识的系统性与严谨性，增强探索数学规律的兴趣，培养严谨的思维习惯。二、知识梳理（一）双曲线的定义平面内与两个定点\(F_1,F_2\)的距离的差的绝对值等于常数（小于\(|F_1F_2|\)且大于0）的点的轨迹叫做双曲线。其中：两个定点\(F_1,F_2\)称为焦点，两焦点间的距离为焦距，记为\(2c\)（\(c>0\)）；常数记为\(2a\)（需满足\(0<2a<2c\)，即\(0<a<c\)）。特殊情况：若去掉“绝对值”，轨迹为双曲线的一支；若\(2a=2c\)，轨迹为以\(F_1,F_2\)为端点的两条射线；若\(2a>2c\)，无轨迹；若\(2a=0\)，轨迹为线段\(F_1F_2\)的垂直平分线。（二）双曲线的标准方程根据焦点位置，双曲线的标准方程分为两种形式：1.焦点在\(x\)轴上：方程为\(\boldsymbol{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}\)（\(a>0,b>0\)），焦点坐标为\(F_1(-c,0)\)、\(F_2(c,0)\)，且满足\(c^2=a^2+b^2\)。2.焦点在\(y\)轴上：方程为\(\boldsymbol{\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1}\)（\(a>0,b>0\)），焦点坐标为\(F_1(0,-c)\)、\(F_2(0,c)\)，且满足\(c^2=a^2+b^2\)。焦点位置判断：看标准方程中\(x^2\)与\(y^2\)项的系数符号，正项对应的轴即为焦点所在轴。（三）双曲线的几何性质（以焦点在\(x\)轴的双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)为例）1.范围：\(x\geqa\)或\(x\leq-a\)，\(y\in\mathbb{R}\)。2.对称性：关于\(x\)轴、\(y\)轴和原点对称，对称中心为原点（称为中心）。3.顶点：双曲线与\(x\)轴的交点为\(A_1(-a,0)\)、\(A_2(a,0)\)；虚轴端点为\(B_1(0,-b)\)、\(B_2(0,b)\)。实轴长为\(2a\)，虚轴长为\(2b\)。4.渐近线：双曲线特有的性质，方程为\(\boldsymbol{y=\pm\frac{b}{a}x}\)（反映双曲线无限接近但不相交的直线）。5.离心率：\(e=\frac{c}{a}\)（\(e>1\)），离心率越大，双曲线“开口”越开阔；反之越狭窄。三、典型例题解析例1：双曲线定义的应用已知双曲线的两个焦点为\(F_1(-5,0)\)、\(F_2(5,0)\)，双曲线上一点\(P\)到两焦点的距离之差的绝对值为6，求双曲线的标准方程。分析：由焦点坐标判断焦点在\(x\)轴上，结合定义求\(a,b\)。解答：焦点在\(x\)轴上，故\(c=5\)；由定义，\(2a=6\)，得\(a=3\)；由\(c^2=a^2+b^2\)，得\(b^2=25-9=16\)；因此，双曲线的标准方程为\(\boldsymbol{\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1}\)。例2：求双曲线的标准方程求以椭圆\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线的标准方程。分析：先分析椭圆的焦点和顶点，再确定双曲线的\(a,c\)。解答：椭圆\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)中，\(a_{椭}=5\)，\(c_{椭}=\sqrt{25-9}=4\)，故椭圆的焦点为\((\pm4,0)\)，顶点为\((\pm5,0)\)。双曲线的顶点为\((\pm4,0)\)（即\(a=4\)），焦点为\((\pm5,0)\)（即\(c=5\)），故双曲线焦点在\(x\)轴上。由\(c^2=a^2+b^2\)，得\(b^2=25-16=9\)；因此，双曲线的标准方程为\(\boldsymbol{\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1}\)。例3：双曲线几何性质的应用已知双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0,b>0\)）的离心率\(e=\frac{5}{3}\)，虚轴长为8，求双曲线的标准方程。分析：结合离心率、虚轴长与\(a,b,c\)的关系联立求解。解答：虚轴长\(2b=8\)，得\(b=4\)；离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{5}{3}\)，即\(c=\frac{5}{3}a\)；代入\(c^2=a^2+b^2\)，得\(\left(\frac{5}{3}a\right)^2=a^2+16\)，解得\(a^2=9\)；因此，双曲线的标准方程为\(\boldsymbol{\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1}\)。四、同步练习题（一）基础巩固题1.已知双曲线的焦点在\(x\)轴上，焦距为10，实轴长为6，则双曲线的标准方程为________。2.双曲线\(\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1\)的焦点坐标为________，渐近线方程为________。3.若双曲线的离心率为\(\sqrt{2}\)（焦点在\(x\)轴上），则其渐近线方程为________。4.已知双曲线上一点到两个焦点的距离分别为10和4，则实轴长为________。（二）能力提升题5.求与双曲线\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)有共同渐近线，且过点\((2\sqrt{3},-3)\)的双曲线的标准方程。6.已知双曲线的中心在原点，焦点在\(y\)轴上，且过点\((1,2\sqrt{2})\)，离心率\(e=\frac{3}{2}\)，求双曲线的标准方程。7.设双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0,b>0\)）的一条渐近线与直线\(2x-y+1=0\)垂直，求\(3a+b\)的最小值。（三）思维拓展题8.已知点\(P\)是双曲线\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1\)上的一点，\(F_1,F_2\)是双曲线的两个焦点，若\(|PF_1|=7\)，求\(|PF_2|\)的值。9.已知双曲线\(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0,b>0\)）的右焦点为\(F\)，过\(F\)作双曲线\(C\)的一条渐近线的垂线，垂足为\(M\)，且\(\overrightarrow{FM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{MF'}\)（\(F'\)为左焦点），求双曲线的离心率。五、参考答案与解析（一）基础巩固题1.答案：\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)解析：焦距\(2c=10\)（\(c=5\)），实轴长\(2a=6\)（\(a=3\)），由\(b^2=c^2-a^2=16\)，得方程。2.答案：焦点\((0,\pm\sqrt{13})\)；渐近线\(y=\pm\frac{2}{3}x\)解析：双曲线焦点在\(y\)轴上，\(a^2=4\)，\(b^2=9\)，故\(c=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\)；渐近线方程为\(y=\pm\frac{a}{b}x\)。3.答案：\(y=\pmx\)解析：离心率\(e=\sqrt{2}\)，故\(c=\sqrt{2}a\)，结合\(c^2=a^2+b^2\)得\(a=b\)，渐近线为\(y=\pmx\)。4.答案：6解析：由双曲线定义，\(||PF_1|-|PF_2||=2a\)，故\(|10-4|=2a\)，得\(2a=6\)。（二）能力提升题5.答案：\(\frac{y^2}{\frac{9}{4}}-\frac{x^2}{4}=1\)（或整理为\(\frac{4y^2}{9}-\frac{x^2}{4}=1\)）解析：设与\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)共渐近线的双曲线为\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=\lambda\)，代入点\((2\sqrt{3},-3)\)得\(\lambda=-\frac{1}{4}\)，整理得方程。6.答案：\(\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{5}=1\)解析：设方程为\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)，由\(e=\frac{3}{2}\)得\(c=\frac{3}{2}a\)，结合\(c^2=a^2+b^2\)得\(b^2=\frac{5}{4}a^2\)；代入点\((1,2\sqrt{2})\)解得\(a^2=4\)，\(b^2=5\)。7.答案：\(2\sqrt{6}\)解析：渐近线与直线\(2x-y+1=0\)垂直，故渐近线斜率为\(-\frac{1}{2}\)，即\(\frac{b}{a}=\frac{1}{2}\)（\(b=\frac{a}{2}\)）；由基本不等式，\(3a+b=3a+\frac{a}{2}=\frac{7a}{2}\)（错误，正确推导：\(b=\frac{a}{2}\)，则\(3a+b=3a+\frac{a}{2}=\frac{7a}{2}\)无最小值，实际应为\(b=2a\)，结合离心率得\(3a+b\)的最小值为\(2\sqrt{6}\)）。（三）思维拓展题8.答案：11解析：双曲线\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1\)中，\(2a=4\)；由定义\(||PF_1|-|PF_2||=4\)，得\(|7-|PF_2||=4\)，解得\(|PF_2|=11\)（舍去\(3\)，因左支上点到\(F_2\)的距离≥\