《材料力学简明教程》课件-第十章 压杆稳定

材料力学简明教程第十章压杆稳定主要内容：

压杆稳定的概念及失稳分析临界力和临界应力欧拉公式的适用范围中、小柔度杆的临界应力压杆的稳定性计算提高压杆稳定性的措施§10－1压杆稳定的概念及失稳分析

压杆稳定的概念

压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称为压杆的稳定性；反之，压杆丧失其原有直线平衡状态而破坏的现象，称为压杆的失稳。条形钢板的失稳

机械中的细长压杆

压杆失稳分析

对于细长压杆,其直线平衡状态是否稳定,与轴向压力F的大小有关。当压力为某一数值时,压杆处于稳定的直线平衡状态和不稳定的直线平衡状态之间，这一状态称为临界状态压杆处于临界状态的压力值，称为压杆的临界压力，简称临界力，用符号Fcr表示压杆的临界力越大，稳定性越强压杆的失稳过程

§10－2临界力和临界应力

由于临界力也认为是压杆处于微弯平衡状态，当挠度趋向于零时承受的压力。因此，对一般截面形状、载荷及支座情况不复杂的细长压杆，可根据压杆处于微弯平衡状态下的挠曲线近似微分方程式进行求解，这一方法称为静力法。

理想压杆的临界力1.两端铰支压杆的临界力

EI——压杆的抗弯刚度。

l——压杆的长度，单位为mm。欧拉公式表明：1）压杆的临界力与其抗弯刚度成正比2）压杆的临界力与压杆长度的平方成正比3）压杆的临界力与压杆的支承情况有关，压杆两端的支承越牢固，压杆抵抗弯曲变形的能力越强,临界力越大。2.其他约束情况下压杆的临界力μ——压杆的长度因数柱形铰约束

焊接或铆接螺母和丝杠连接对于与坚实的基础固结成一体的柱脚，可简化为固定端。

杆端约束情况的简化§10－3欧拉公式的适用范围中、小柔度杆的临界应力临界应力的欧拉公式

i——压杆横截面的惯性半径，单位为mm；λ——压杆的柔度,无量纲，柔度越大,则临界应力越小,压杆越容易失稳。

压杆越细长、支承情况越不牢固、横截面尺寸越小则柔度越大,临界应力越小

欧拉公式的适用范围

对于Q235钢制成的压杆,当其柔度λ≥100时，才能应用欧拉公式。λ

≥λp的压杆称为大柔度杆或细长杆,其临界力或临界应力可用欧拉公式计算。

λp为临界应力等于材料比例极限时的柔度，是允许应用欧拉公式的最小柔度值例如：Q235钢，其弹性模量E=200GPa，比例极限σp=200MPa，则λp值为

中、小柔度杆临界应力的计算

λ

≤

λp的压杆称为小柔度杆或短粗杆小柔度杆的临界应力按其制作材料不同分为两种情况：

λs

≤λ

≤

λp的压杆称为中柔度杆中柔度杆临界应力的计算，通常采用建立在实验基础上的经验公式

对塑性材料

对脆性材料

归纳：（1）对于大柔度杆（λ≥λp

），用欧拉公式计算（3）对于小柔度杆（λ≤λp

），材料为塑性材料时，σcr=σs

材料为脆性材料时，σcr=σby

例如图所示,用Q235钢制成的三根压杆,两端均为铰链支承,横截面为圆形，直径d=50mm，长度分别为l1=2m，l2=1m，l3=0.5m，材料的弹性模量E=200GPa，屈服点σs=235MPa，求三根压杆的临界应力和临界力。

解(1)计算各压杆的柔度因压杆两端为铰链支承,查表得长度系数μ=1。圆形截面对y轴和z轴的惯性矩相等,均为故圆形截面的惯性半径为

各压杆的柔度分别为

(2)计算各压杆的临界应力和临界力对于Q235钢λ

p=100，λ

s=60。对于压杆1,其柔度λ

1=160>λ

p，所以压杆1为大柔度杆，临界应力用欧拉公式计算。

压杆2为中柔度杆，对于Q235钢，a=310MPa,b=1.24MPa，临界应力为

压杆3为小柔度杆，因为Q235钢为塑性材料，故其临界应力为

临界力为σcr临界力为σcr临界力为

例如图所示,一长度l=750mm的压杆,两端固定,横截面为矩形,尺寸如图。压杆的材料为Q235钢,其弹性模量E=200GPa，计算压杆的临界应力和临界力解(1)计算压杆的柔度压杆两端固定，查表得长度系数μ=0.5。矩形截面对y轴和z轴的惯性矩分别为Iy<Iz,所以压杆的横截面必定绕着y轴转动而失稳截面对y轴的惯性半径为得压杆的柔度为(2)计算临界应力和临界力对于Q235钢λ

p=100，则λ

>λ

p，故临界应力用欧拉公式计算。

临界力为

σcr§10－4压杆的稳定性计算

压杆稳定计算，通常采用安全系数法。为了保证压杆不失稳，并具有一定的稳定储备，压杆的稳定条件可表示为

n=Fcr/F=σcr/σ≥[nW]Fcr—压杆的临界压力F—压杆的工作压力N—压杆工作安全系数σcr—压杆的临界应力σ—压杆的工作压应力[nW]—规定的稳定安全系数,它表示要求受压杆件必须达到的稳定储备程度。几种常用零件稳定安全系数的参考值压杆的临界压力取决于整个杆件的弯曲刚度。但在工程实际中,压杆局部有截面削弱的情况,在确定临界压力或临界应力时，此时可以不考虑杆件局部截面削弱的影响,仍按未削弱的截面面积、最小惯性矩和惯性半径等进行计算。但对这类杆件,还需对削弱的截面进行强度校核。

例空气压缩机的活塞杆由45钢制成σs=350MPa，σs=280MPa，E=210GPa。长度l=-703mm，直径d=45mm。最大压力Fmax=41.6kN，规定的安全系数为[nW]=8～10。试校核其稳定性解(1)确定压杆类型。活塞杆可简化为两端铰支压杆，μ=1。截面为圆形，i=d/4，柔度为

λ=μli=62.5λ

<λp所以，此压杆为中柔度杆，使用经验公式算临界应力。活塞杆属于中柔度杆

(2)计算临界载荷并校核。

用直线公式计算临界应力

临界载荷活塞的工作安全系数为

压杆满足稳定要求

n=Fcr/Fmax=493/41.6=11.85>nst§10－5提高压杆稳定性的措施

合理选择材料对于大柔度杆，宜选用普通钢材。对于中柔度杆，选用高强度钢。合理选择截面形状应该选择