2025年秋季高一开学摸底考数学试题（全国）及答案

试题试题2025年秋季高一数学开学摸底考试模拟卷01数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.考试范围：初高中衔接知识+人教A版必修一前三章知识第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知集合A={x−1<x<1},B=x0≤x≤2，则A．{x−1<x<2} B．C．{x0≤x<1} 2．已知x>0，则41+x+x的最小值是（A．1 B．2 C．3 D．43．若函数f(x)=mx2−2x+1的定义域为R，则实数A．0,1 B．1,+∞ C．0,+∞ 4．设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则△ABC为锐角三角形的充要条件是（

）A．a2+b2≥c2 B．5．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx−c<0的解集为x|3<x<5，则不等式cA．xx<15或x>13C．x15<x<6．若函数f2x−1的定义域为−3,1，则y=f3−4xA．1 B．1,32 C．327．已知命题p:∀x∈R,x2+x+a≠0，若命题p是假命题，则实数aA．a≤14 C．a<−14或a>0 D．a≤−8．已知函数fx的定义域为R,fx−1为奇函数，fx+2为偶函数，则A．0 B．16 C．22 D．32二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A．由1,2,3组成的集合可表示为1,2,3或3,2,1B．∅与0是同一个集合C．集合x|y=x2−1D．集合x|x2+5x+6=010．若x，y满足x2+yA．x+y≤1 B．x+y≥−2C．x2+y11．下列说法正确的是（

）A．若fx的定义域为−2,2，则f2x−1B．函数y=x1−xC．函数y=2x+1−x的值域为D．函数fx=x2第II卷（非选择题）填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。不等式x−1x+2>0的解集为已知幂函数fx过点2,22，若fa+1<f(3−2a)设集合M=1,2,3,4,5,6，选择M的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．(13分)已知全集为R，集合A=x0<2x+a≤3，(1)当a=1时，求A∪B(2)若A∩B=A，求实数a的取值范围．16．(15分)2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为4x万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用.(1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围.(2)要使总费用最小，求x的值.17．(15分)已知关于x的不等式ax2+bx−12≥0的解集为{x∣x≤−3(1)求a、b的值；(2)求关于x的不等式bx18．(17分)已知函数fx=mx+nx2(1)求m,n的值；(2)判断f(x)的单调性，并用定义法证明你的结论；(3)求使f(a−1)+fa2−119．(17分)高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义A⊗B=x,y|x∈A且y∈B，将A⊗B称为“A与(1)若A=−1,0,1，B=−1,1，求A⊗B和(2)试证明：“A1⊗A(3)若集合H是有限集，将集合H的元素个数记为H.已知A1⊗A2=m3m∈N∗，且存在实数a满足A1⊗A1+A2025年秋季高一数学开学摸底考试模拟卷01数学·答案及评分标准一、单选题：本题共10小题，每小题1分，共10分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上.12345678CCDBDDAB二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011ADBCAC填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.x|x>1或13.2314.129四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）解：（1）当a=1时，A=−B=所以A∪B（2）A=−a2又因为A≠∅，所以−a2≥−1216．(15分)解：（1）因为公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，所以购买货物的次数为600x故y=600化简得x2−65x+900≤0,x>0，解得所以x的取值范围为x|20≤x≤45.............................................................................................................7分（2）由（1）可知y=3600因为3600x+4x≥23600x⋅4x所以当x=30时，一年的总费用最小，故x的值为30.................................................................................................................................................15分17．(15分)解：（1）关于x的不等式ax2+bx−12≥0的解集为{x∣x≤−3∴a>0，且−3和4是方程ax由根与系数的关系知，−3+4=−ba−3×4=−（2）由（1）知，a=1,b=−1时，不等式bx2+ax+6≥0−2≤x≤3，∴不等式bx2+ax+6≥018．(17分)解：（1）由题意可知f0=0，故又由f1=1可得f1所以fx此时fx定义域关于原点对称，且f故fx是定义在−1,1所以m=2,n=0...........................................................................................................................................5分（2）f(x)在−1,1上单调递增，证明如下：取任意x1,x则fx因为x1,x所以x1−x所以1−x所以fx1−f因此f(x)在−1,1上单调递增......................................................................................................................10分（3）由（1）（2）可知，f(x)是在−1,1上单调递增的奇函数，所以由f(a−1)+fa2−1因此需满足−1≤a−1≤1−1≤a2−1≤1a−1<1−故实数a的取值范围为0,1........................................................................................................................15分19．(17分)解：（1）由题意可得：A⊗B=−1,−1B⊗A=−1,−1（2）若A1=A由定义可知：A1⊗A2=所以“A1⊗A若A1⊗A2=即对任意a∈A1,b∈由任意性可知A1⊆A所以“A1⊗A综上所述：“A1⊗A（3）设A1则A1⊗A可得A1当且仅当cd=d所以实数a的取值范围−∞若a取到最大值，则c=d，即A1可得c2=m所以m=k2025年秋季高一数学开学摸底考试模拟卷01数学•全解全析1．已知集合A={x−1<x<1},B=x0≤x≤2，则A．{x−1<x<2} B．{x−1<x≤2} C．【答案】C【分析】由交集的定义可得.【详解】由题意可得A∩B={x故选：C.2．已知x>0，则41+x+x的最小值是（A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】因x>0，则x+1>1，则41+x+x=4故41+x+x的最小值是故选：C3．若函数f(x)=mx2−2x+1的定义域为R，则实数A．0,1 B．1,+∞ C．0,+∞ 【答案】D【分析】当m=0时，不符合题意；当m≠0时，根据二次函数的图象列式可得结果.【详解】当m=0时，f(x)=−2x+1的定义域为−当m≠0时，依题意得mx2−2x+1≥0在R上解得m≥1.故选：D4．设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则△ABC为锐角三角形的充要条件是（

）A．a2+b2≥c2 B．【答案】B【详解】记边a，b，c所对的角分别为A，B，C．根据题意a≤b≤c，则C≥B≥A，故证明如下：必要性，在△ABC中，假设C是锐角，作AD⊥BC，D为垂足，如图1．显然AB2=AD2+DB2=AC2−CD2+(CB−CD)2=AC2−CD2+CB2+CD2−2CB⋅CD=AC2+C5．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx−c<0的解集为x|3<x<5，则不等式cA．xx<15或x>13C．x15<x<【答案】D【分析】由题意可得a>0且方程ax2+bx−c=0的解为3,5，利用韦达定理将b,c【详解】因为关于x的一元二次不等式ax2+bx−c<0所以a>0且方程ax2+bx−c=0所以−ba=8,−则不等式cx2+bx−a>0则15x2+8x+1<0所以不等式cx2+bx−a>0故选：D.6．若函数f2x−1的定义域为−3,1，则y=f3−4xA．1 B．1,32 C．32【答案】D【分析】根据题意先求得函数fx的定义域为−7,1，然后结合抽象函数定义域与x−1【详解】由题意可知−3≤x≤1，所以−7≤2x−1≤1，要使函数y=f3−4xx−1有意义，则−7≤3−4x≤1,故选：D7．已知命题p:∀x∈R,x2+x+a≠0，若命题p是假命题，则实数aA．a≤14 C．a<−14或a>0 D．a≤−【答案】A【分析】由其否定为真命题，通过Δ≥0【详解】因为命题p是假命题，可得：∃x∈R,x可得：Δ=1−4a≥0解得：a≤1故选：A8．已知函数fx的定义域为R,fx−1为奇函数，fx+2为偶函数，则A．0 B．16 C．22 D．32【答案】B【分析】由f(x)−1为奇函数得对称中心为0,1，结合f(x+2)为偶函数，求周期为8，从而求出f1+f2【详解】因为fx−1为奇函数，则f0=1，且函数f(x)的图象关于因为fx+2为偶函数，所以fx+2=f所以fx+fx+4=2，fx+4+fx+8因为f1所以f1故选：B.【点睛】关键点点睛：由fx−1为奇函数，fx+2二、多选题9．下列说法正确的是（）A．由1,2,3组成的集合可表示为1,2,3或3,2,1B．∅与0是同一个集合C．集合x|y=x2−1D．集合x|x2+5x+6=0【答案】AD【分析】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误.【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得1,2,3、3,2,1表示同一集合，元素有1,2,3，故A正确.对于B，0不是空集，故B错误.对于C，x|y=x2−1故两个集合不是同一个集合，故C错误.对于D，x|x故选：AD.10．若x，y满足x2+yA．x+y≤1 B．x+y≥−2C．x2+y【答案】BC【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为ab≤a+b22≤a2+b22（a,b∈R），由x2+y由x2+y2−xy=1可变形为x因为x2+y2−xy=1变形可得x−y=43+23故选：BC．11．下列说法正确的是（

）A．若fx的定义域为−2,2，则f2x−1B．函数y=x1−xC．函数y=2x+1−x的值域为D．函数fx=x2【答案】AC【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D.【详解】对于A，因为fx的定义域为−2,2，所以−2≤2x−1≤2解得−12≤x≤32对于B，y=x所以y≠−1，即函数y=x1−x的值域为对于C，令t=1−x，则x=1−t2所以y=21−t2所以当t=14时，该函数取得最大值，最大值为所以函数y=2x+1−x的值域为−对于D，fx=x2−2x+4=x−12所以函数fx=x2−2x+4故选：AC．第II卷（非选择题）三、填空题12．不等式x−1x+2>0的解集为【答案】x|x>1或【分析】将分式不等式转化成整式不等式，再利用一元二次不等式解法即可求得结果.【详解】根据分式不等式解法可知x−1x+2>0等价于由一元二次不等式解法可得x>1或x<−2；所以不等式x−1x+2>0的解集为x|x>1故答案为：x|x>1或13．已知幂函数fx过点2,22，若fa+1<f(3−2a)【答案】2【分析】设出幂函数解析式y=xα代入点待定【详解】设幂函数f(x)=xα，因为函数图象过点则2α=2则f(x)=x−12=1x所以由fa+1可得a+1>03−2a>0a+1>3−2a，解得所以实数a的取值范围是23故答案为：2314．设集合M=1,2,3,4,5,6，选择M的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有【答案】129【分析】讨论A中最大的数，分别求出A和B的非空子集，从而求得正确答案.【详解】当A中最大的数为1时，B可以是2,3,4,5,6的非空子集，有25当A中最大的数为2时，A可以是2或1,2，B可以是3,4,5,6的非空子集，有2×2当A中最大的数为3时，A可以是3，1,3，2,3或1,2,3，B可以是4,5,6的非空子集，有4×2当A中最大的数为4时，A可以是4，1,4，2,4，3,4，1,2,4，1,3,4，2,3,4,或1,2,3,4，B可以是5,6的非空子集，有8×2当A中最大的数为5时，A可以是：5，1,5,1,2,5,1,3,5,1,2,3,4,5，B是6，有16×1=16（种）选择方法.所以满足条件的集合共有31+30+28+24+16=129（种）不同的选择方法.故答案为：129四、解答题15．已知全集为R，集合A=x0<2x+a≤3，(1)当a=1时，求A∪B(2)若A∩B=A，求实数a的取值范围．【答案】(1)A∪B=(2)a∈−1,1【分析】（1）当a=1时，求得集合A,B，进而可求A∪B（2）由已知可得A⊆B，可得−a2≥−【详解】（1）当a=1时，A=−B=所以A∪B（2）A=−a2又因为A≠∅，所以−a2≥−1216．(15分)2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为4x万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用.(1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围.(2)要使总费用最小，求x的值.【答案】(1)x|20≤x≤45(2)30【分析】（1）由题得购买货物的次数为600x，于是依据题目所给的数据即可得一年的总费用y，再由y≤260,x>0即可求解x（2）先由（1）得一年的总费用y，再直接利用基本不等式即可求出y最小时x的值.【详解】（1）因为公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，所以购买货物的次数为600x故y=600化简得x2−65x+900≤0,x>0，解得所以x的取值范围为x|20≤x≤45.............................................................................................................7分（2）由（1）可知y=3600因为3600x+4x≥23600x⋅4x所以当x=30时，一年的总费用最小，故x的值为30.................................................................................................................................................15分17．(15分)已知关于x的不等式ax2+bx−12≥0的解集为{x∣x≤−3(1)求a、b的值；(2)求关于x的不等式bx【答案】(1)a=1,b=−1(2)x|−2≤x≤3【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用方程的系数与根的关系求参数即可；（2）代入参数，解一元二次不等式即可.【详解】（1）关于x的不等式ax2+bx−12≥0的解集为{x∣x≤−3∴a>0，且−3和4是方程ax由根与系数的关系知，−3+4=−ba−3×4=−（2）由（1）知，a=1,b=−1时，不等式bx2+ax+6≥0−2≤x≤3，∴不等式bx2+ax+6≥018．(17分)已知函数fx=mx+nx2(1)求m,n的值；(2)判断f(x)的单调性，并用定义法证明你的结论；(3)求使f(a−1)+fa2−1【答案】(1)m=2,n=0；(2)f(x)在−1,1上单调递增，证明见解析；(3)0,1.【分析】（1）由奇函数性质利用f0=0以及（2）利用函数单调性定义按步骤即可证得f(x)在−1,1上单调递增；（3）由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得a的取值范围为0,1.【详解】（1）由题意可知f0=0，故又由f1=1可得f1所以fx此时fx定义域关于原点对称，且f故fx是定义在−1,1所以m=2,n=0.........................................................................................................