2025年高三《第五单元 三角函数与解三角形》测试卷（含解析）

第=page33页，共=sectionpages1616页2025年高三《第五单元三角函数与解三角形》测试卷一、单选题1.已知角α的终边经过点(-4,-3)，则cos(π2A.-2425 B.-1225 C.2.“角α是第一象限的角”是“角α2是第一象限的角”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.伊丽莎白塔，俗称“大本钟”是英国伦敦的标志性建筑，其上面镶嵌着世界上最大的“钟”，且其分针长约为4米，则经过25分钟，其分针的端点所转过的长为(

)A.7π6米 B.4π3米 C.10π3米 4.将函数f(x)=2tan(ωx+π6)(ω>0)的图象向左平移π3个单位，得到函数g(x)的图象，若g(x)A.12 B.1 C.2 D.5.已知sin(α+β)=35，tanα=2tanA.-15 B.15 C.26.若函数y=sin(2x-π6)的图象向右平移φ(φ>0)个单位后为一个奇函数的图象，则A.π12 B.π6 C.π37.设函数f(x)=sin(ωx+π3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则A.[53,136) B.[8.已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2=a(a+c)，则asinAA.(0,22) B.(0,39.如图所示，为测量河对岸的塔高AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得tan∠ACB=34，CD=50m，cos∠BCD=55，cos∠BDC=A.153m B.203m10.已知sin(α+β)=13，tanα=3A.-16 B.-23 C.11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=π10，(3A.c<b<2c B.2c<b<12.ΔABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，M在边AB上，且AM=13AB，b=2，CM=273A.334 B.3 C.二、多选题13.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，P(-3,4)为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y=-x对称，则(

)A.cos(π+α)=35 B.β=2kπ+π2+2α(k∈Z)

C.14.已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，cos2A2=A.tanBtanC=2 B.tanA=tanB+tanC15.设函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x=-π3对称，它的最小正周期是π，则以下结论正确的是(

)A.f(x)的图象过点(0,-A2) B.f(x)在[π6,2π3]上是减函数

C.16.关于函数f(x)=4sin(2x+π3)(x∈R)有下列命题，其中正确的是A.y=f(x)的图象关于点(-π6,0)对称

B.y=f(x)在区间(π12,π3)上是单调递减函数

C.若y=f(ωx)(ω>0)在区间[0,π17.已知fx=sin2x，gA.fx的图象向左平移π2个单位长度，即可得到gx的图象

B.当x=π8时，函数fx-gx取得最大值2

C.y=fx三、填空题18.sin50∘(1+3tan19.在△ABC中，BC=2，∠ABC=π6，△ABC的面积为233，则AC=20.把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体(图1)，若中间层旋转角x(x为锐角，如图2所示)，记表面积增加量为S=f(x)，则f(π6)=

，S的最大值是

四、解答题21.：(1)化简：cos(3π(2)已知α，β均为锐角，cos(α+β)=-725，22.如图，△AOD与△BOC存在对顶角∠AOD=∠BOC=π4，AC=2，BD=22，且BC=AD(1)证明：O为BD中点;(2)若5sin2A+cos23.设f(x)=(1)求f(x)的单调递增区间;(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A2)=3+124.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，bcosA(1)求A;(2)在AB边上存在一点E，使得AE=2EB，连接CE，若△ACE的面积为332，∠BAC的平分线交CE于F点，求25.某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为π3的一块扇形空置地(如图)，现欲从中规划出一块三角形绿地PQR，其中P在BC上，，垂足为Q，，垂足为R，设；(1)求PQ，PR(用α表示)；(2)当P在BC上运动时，求这块三角形绿地的最大面积，以及取到最大面积时α的值．

答案和解析1.【答案】A

【解析】由题意可得x=-4，y=-3，r=5，

∴cosα=xr=-45，sinα=yr2.【答案】D

【解析】当角α是第一象限的角时，则α∈2kπ,2kπ+π2∴α当角α2是第一象限的角，则α2∈∴α∈4kπ,4kπ+π∴“角α是第一象限的角”是“角α2故选：D．3.【答案】C

【解析】分针每60分钟转一周，故每分钟转过的弧度数是2π60故经过25分钟，分针的端点所转过的弧度数为：2π60故弧长为5π6×4=故选：C．4.【答案】B

【解析函数f(x)=2tan(ωx+π6)(ω>0)的图象向左平移π3个单位长度后，

得到函数g(x)的图象，由题意，g(x)=2tan[(ω(x+π3)+π6]=2tan(ωx+π6+ωπ35.【答案】B

【解析】∵tanα=2tanβ，∴sin αcos∵sin∴2cos αsin∴sin∴sin故选：B．6.【答案】D

【解析】函数y=sin(2x-π6)向右平移φ个单位后，解析式为y=sin[2(x-φ)-π6]=sin(2x-2φ-π6)，

奇函数满足f(0)=0，故代入x=0，sin(-2φ-π6)=0⇒-2φ-π6=kπ(k∈Z)，

整理方程7.【答案】C

【解析】当ω<0时，不能满足在区间(0,π)极值点比零点多，所以ω>0；

函数f(x)=sin(ωx+π3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，

ωx+π3∈(π3,ωπ+π8.【答案】C

【解析】由b2=a(a+c)及余弦定理b2=a2+c2-2accosB，可得c-a=2acosB，

由正弦定理边化角，得sinC-sinA=2sinAcosB，

∵A+B+C=π，

∴sin(B+A)-sinA=2sinAcosB，即sinAcosB+cosAsinB-sinA=2sinAcosB，

∴sin(B-A)=sinA．

∵ABC是锐角三角形，∴B-A=A，即B=2A．

9.【答案】C

【解析】因为cos∠BCD=55，cos∠BDC=35，

所以sin∠BCD=1-552=255，sin∠BDC=1-352=45．

10.【答案】C

【解析】解：由tanα=3sinβcosβ，得sinαcosα=3sinβcosβ，

所以sinαcosβ=3cos11.【答案】A

【解析】由题意，(3(=sin即sinB=(3cosA-∴c<b<2c．

12.【答案】B

【解析】△ABC中，2sinA-sinBsin2B=cb，

∴2sinA-sinBsin2B=sinCsinB，

∴2sinCcosB=2sinA-sinB，

∴2sinCcosB=2(sinBcosC+cosBsinC)-sinB，

∴cosC=12，

又C∈(0°,180°)，

∴C=60°；

又AM=13AB，

∴CM=CA+AM=CA+13AB

=CA+113.【答案】ACD

【解析】由题意可知，cosα=-35，sinα=45，

所以sin2α=2sinαcosα=-2425，cos2α=2cos2α-1=-725，

所以点A(-7,-24)是2α终边上一点，所以点B(24,7)是β终边上一点，即cosβ=2425，sinβ=725．

A项：cos(π+α)=-cosα=14.【答案】ABD

【解析】选项A:cos2A2=12cosBcosC+12，

所以1+cosA2=12cosBcosC+12，

所以1+cosA=cosBcosC+1，

所以cos[π-(B+C)]=cosBcosC，

所以-cos(B+C)=cosBcosC，

所以-cosBcosC+sinBsinC=cosBcosC，

所以sinBsinC=2cosBcosC，

即tanBtanC=2，故A正确；

选项B15.【答案】ACD

【解析】函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω>0,0<φ<π)的最小正周期是π，

故ω=2，

由于函数的图象关于直线x=-π3对称，所以2×(-π3)+φ=kπ(k∈Z)，整理得φ=kπ+2π3(k∈Z)，

而0<φ<π，当k=0时，φ=2π3；

故f(x)=Acos(2x+2π3)，

对于A：当x=0时，f(0)=-A2，故A正确；

对于B：由于x∈[π6,2π3]，故2x+2π3∈[π,2π]，

函数y=cos(2x+2π3)上单调递增，当A>0时，函数f(x)在该区间上单调递增，当A<0时，函数f(x)16.【答案】ABC

【解析】对于A，由于f(-π6)=0，所以y=f(x)的图象关于点(-π6,0)对称，A正确，

对于B，由x∈(π12,π3)，则2x+π3∈(π2,π)⊆(π2,3π2)，故y=f(x)在区间(π12,π3)上是单调递减，B正确，

对于C，f(ωx)=4sin(2ωx+π3)，由x∈[0,π3]【解析】由fx的图象向左平移π2个单位长度得，，故A错误；

由，

，故B错误；

由，

令2x+π4=kπ,k∈Z，解得x=kπ2-π8，k∈Z，

∴y=fx+gx图象的对称中心是kπ2-π8,0,k∈Z，故C正确；

由，

令-π2+2kπ<4x<2kπ+π2，k∈Z，

解得，k∈Z，

∴y=f(x)⋅g(x)=12sin4x的单调递增区间为，k∈Z18.【答案】1

【解析】

sin50°(1+3tan10°)

=

sin50∘(cos10∘+3sin10∘)cos1019.【答案】2【解析】因为S△ABC=12AB⋅BC⋅sinπ6=233，BC=2，

所以AB=20.【答案】833【解析】设三角形的斜边长为a，则acosx+asinx+a=1，①

所以S=f(x)=12⋅acosx⋅asinx⋅16=4a2sin2x,

当x=π6时，由①式得，a=1-33，

所以S=f(π6)=4×(1-33)2×32=833-4；

S=8a2sin xcos x，

因为sinxcosx≤(sinx+cosx)2421.【解析】(1)原式=sinα⋅(-cosα)(-tanα)-2(1-cos2α)=sinα⋅sinα-2⋅sin2α=-12

(2)∵α，β均为锐角，∴α+β∈(0,π)，α+π6∈(22.【解析】(1)设BO=x，CO=y，则DO=22-x，AO=2-y，

在△BOC和△AOD中，BC=AD，

由余弦定理可得：x2+y2-2xycosπ4=(22-x)2+(2-y)2-2(22-x)(2-y)cosπ4，

整理得：x=2，所以BO=12BD，即O为BD中点；

(2)由正弦定理：BOsinC=BCsinπ4=23.【解析】(1)f(x)=3sin2x+2cos2x

，

由-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z，

得-π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z．

∴f(x)的单调增区间为[-π3+kπ,π6+kπ]，k∈Z．

(2)因为，

可得，

由题意知A为锐角，则A=π6，

由正弦定理可得asinA=bsinB=csinC，24.【解析