辽宁省普通高中2025-2026学年高二上学期期初开学考试模拟（2）数学试卷（含解析）

辽宁省普通高中2025~2026学年上学期期初考试调研试题（2）高二数学命题范围：三角函数、向量、三角恒等变换、解三角形、复数、立体几何初步一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知命题，命题:复数为纯虚数，则命题是的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是A．，，B．，，C．，，D．，，且3．已知函数（,,）的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称轴可能为A． B． C． D．4．如图，在中，是的中点，在边上，，与交于点．若，则的值是A． B． C． D．5．如图所示的扇形是某个圆锥的侧面展开图，已知扇形所在圆的半径，扇形弧长，则该圆锥的表面积为A． B． C． D．（第3题图）（第4题图）（第5题图）6．已知向量，，，，，则一定共线的三点是A． B． C． D．7．已知，，，，则A． B． C． D．或8．在中，角为锐角，的面积为，且，则周长的最小值为A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下列说法正确的是A．复数的共轭复数的虚部为1B．已知复数为纯虚数，则C．若复数在复平面内对应的点在第四象限，则D．若，则10．已知函数，则下列正确的是A．的最大值是B．若是偶函数，则C．在上单调递增D．若在区间上恰有2个零点，则11．在棱长为的正方体中，已知为线段的中点，点和点分别满足，，其中，则下列说法正确的是A．当时，三棱锥的体积为定值B．当时，四棱锥的外接球的表面积是C．的最小值为D．不存在实数对，使得平面EFP三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知，则．13．已知点O为的外心（各边中垂线的交点），，则．14．已知函数，对任意的，总存在，使，则实数的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本小题满分13分）如图，四边形与都是边长为的正方形，点是的中点，平面（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．16．（本小题满分15分）在中，，，分别为，，所对的边，已知．（1）求的大小；（2）若且，求的长．17．（本小题满分15分）已知函数，．（1）求函数在区间上的最大值和最小值；（2）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，若，求．18．（本小题满分17分）已知函数．（1）证明：的图像关于直线对称．（2）求的单调递减区间．（3）若，求的值．19．（本小题满分17分）如图，在三棱台中，，，，为线段上一点，．（1）求证：点为线段的中点；（2）若直线与直线所成角的正切值为5，，求证：平面平面．（3）设二面角的大小为，直线与平面所成角的大小为，求关于的函数表达式，并求的取值范围．

题号12345678答案CBDABABA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ABDADABD1．C【详解】因为是纯虚数，所以，所以．故命题是命题的充要条件故选：C．2．B【详解】对于A，有可能m，n异面，故A错误；对于B，如下图所示，满足，，，则，所以，即．故B正确；对于C，如下图所示，满足，，，但不满足，故C错误；对于D，若，，，则n有可能在或内，故D错误．故选：B．3．D【详解】解：由函数（，，）的部分图象，可得，，．再结合图象可得，求得．．则函数．令，求得，，当时，．故函数的一条对称轴为．故选：D．4．A【详解】由已知得：，设，所以，又点C、O、E三点共线，所以，解得，所以，又，所以，所以，即，所以．故选：A．5．B【详解】设圆锥底面圆半径为，则，解得，∴圆锥的表面积，故选：B．6．A【详解】因为，故三点共线,A正确；因为，，故不存在任何的使得，所以不共线，B错误；因为，，故不存在任何的使得，所以不共线，C错误；因为，，故不存在任何的使得，所以不共线，D错误；故选：A7．B【详解】因为，所以，所以，因为，，所以，所以，又由知又因为，所以．故选：B．8．A本题的解答关键在于得知C为90°，进而求出最值，与2025年全国一卷11题所用二级结论相同。【详解】第一步：证明∠C为90°，[法一]：依题意，，由得，即，，由于是锐角，所以，与一正一负，或，若，即，由于，所以，所以，，此不等式组无解，所以不成立．同理可得不成立．所以，所以，所以，．[法二]：第二步：求出最值，【证明】（1）第一步：检验必要性．如果是直角，那么．此时，等式可变为，这是成立的，因此，如果是直角，等式成立；第二步：验证充分性．若，构造函数,其中．则,记以,,则，因为,所以,,令,得,令,解得,列表如下：0减增减增,,,当时，，故存在使得，而，且，从而函数在上有3个零点，每个零点都可以作为角的值，所以的值有三个，存在不是直角的情况，即存在角不是直角的情况，所以充分性不成立．综上所述，“”是“为直角”必要不充分条件．故选：B．9．ABD根据复数的分类以及复数的几何意义逐一判断即可.【详解】复数的共轭复数为，其虚部为1，所以A正确；由且，得，所以B正确；由且，得，所以C错误；设，则，所以z在复平面内对应的点到点的距离为3，所以z在复平面内对应的点到点的距离范围为，D正确．故选：ABD10．AD【详解】对于A，因为，所以由二倍角公式得，结合辅助角公式可得，由正弦函数性质得，得到，即的最大值是，故A正确，对于B，由题意得，若是偶函数，则，解得，故B错误；对于C，因为，所以，则，令，由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减，故不可能在上单调递增，故C错误，对于D，由题意得，因为，所以，由正弦函数性质得，解得，故D正确．故选：AD．11．ABD【详解】对于A，当时，为中点，又为中点，，平面，平面，平面，则当在线段上移动时，其到平面的距离不变，三棱锥的体积为定值，A正确；对于B，当时，取交点，连接，则四棱锥为正四棱锥，平面，设四棱锥的外接球的球心为，半径为，则在直线上，，，，即，解得：，四棱锥的外接球的表面积，B正确；对于C，将问题转化为在平面内求解的最小值，作关于线段的对称点，过作，交于，如下图所示，，（当且仅当与重合时取等号），，，，，即的最小值为，C错误；对于D，连接交于点，连接，如下所示：因为面面，故，又，又面，故面；又平面与平面是同一个平面，且过点作平面的垂线只有一条，故只有当点重合时，才有面，而显然不可能与点重合，故D错误．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．【详解】因为，则．故答案为：．13．【详解】如图所示，设的中点为，连接，则，所以．故答案为：．14．先对的解析式化简变形，再求出其值域，求出的值域，由题意可得函数的值域是函数的值域的子集，从而可求出实数的取值范围【详解】，因为，所以，令，则，因为，所以在上单调递增，所以，即所以函数的值域为，因为在上为增函数，所以的值域为根据题意可得函数的值域是函数的值域的子集，即，所以，解得，所以有实数的取值范围是．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）（1）见解析； （2）见解析（1）可以通过中位线找到线线平行，再进一步证明线面平行．（2）要证明平面平面平面．可以通过平面来进行转化，即可求证．【详解】证明：（1）设交于，连接．∵为正方形，所以为中点，又∵为的中点∴为的中位线∴又∵平面，平面BDE∴平面；…7分（2）∵为正方形∴∵平面,平面∴．又，平面,

平面∴平面，∵平面∴平面平面．…13分16．（本小题满分15分）（1）； （2）（1）运用正弦定理边角互化即可；（2）用余弦定理，结合已知式子求出，再结合面积公式，可以求出,最后代入已知的式子可以求出．【详解】（1）由和正弦定理得，，则，即，则，即，由于，则，则．…7分（2）由余弦定理得，．又，则，求的．由，即，即，则．代入得，，解得．…8分17．（本小题满分15分）（1），； （2）．（1）利用辅助角公式将函数化简可得，利用正弦函数的单调性得到在递增，在递减，进而求出最值；（2）根据题意得到，然后利用正弦定理得到，再结合余弦定理和三角形面积公式即可求解．【详解】（1），由，，得的单调递减区间为，，故在递增，在递减，故，．…7分（2），则，，，所以，所以，，…10分因为，所以由正弦定理得，①由余弦定理得，即，②由①②解得：，．故．…15分18．（本小题满分17分）（1）证明见详解； （2）； （3）（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用三角函数的性质即可求解；（2）令解析式中的三角函数的角属于正弦函数的单调递减区间，解出自变量的取值范围即为函数单调递减区间；（3）代入函数解析式求得的值，通过判断的取值范围结合“平方和为1”求得的值，利用正弦函数的和差角公式求得的值．【详解】（1），，，…4分令，解得，令，则，即的图像关于直线对称．…7分（2）令，解得，的单调递减区间：…10分（3）由题意知，∵，∴∴，∴∴…17分19．（本小题满分17分）（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）【详解】（1）过作交于点，连接．，，平面，．，为的中点．在梯形中，，∴梯形为等腰梯形．又，为线段的中点．…4分（2）由（1）知，为二面角的平面角，过作交于点，则，连接．在等腰梯形中，，．．又，∴四边形为平行四边形，．为直线与所成角（或补角），，．在中，，．由余弦定理得：，得：，解得，或（舍），在中，，，，．．二面角为直二面角，即平面与平面所成二面角为直二面角，平面平面．