2026高考物理总复习(人教)（粤）教师用教案第九章 第3讲　小专题 电场中的功能关系和图像问题

第3讲小专题:电场中的功能关系和图像问题

考点一电场中的功能关系

如图所示,绝缘粗糙水平面左侧固定一水平放置的绝缘轻质弹簧,空间存在水平向右的匀强电

场,一质量为m、带正电的小物块(视为质点)以初速度v0从A点开始向左运动,并压缩弹簧至

B点。

(1)小物块从A点运动到B点过程中有哪些力对物块做功?分别做正功还是负功?

(2)小物块从A点运动到B点过程中哪些能量减少了?哪些能量增加了?

提示:(1)小物块由A点运动到B点过程中,电场力对物块做负功,摩擦力对物块做负功,弹簧弹

力做负功。

(2)小物块的动能减少了;小物块的电势能增加了,弹簧的弹性势能增加了,内能增加了。

1.常见的功能关系

(1)合外力做功等于动能的变化量,即W合=Ek2-Ek1=ΔEk(动能定理)。

(2)重力做功等于物体重力势能的减少量,即WG=EpG1-EpG2=-ΔEpG。

(3)静电力做功等于电势能的减少量,即W电=Ep电1-Ep电2=-ΔEp电。

(4)弹簧弹力做功等于弹性势能的减少量,即W弹=Ep弹1-Ep弹2=-ΔEp弹。

(5)除了重力和弹簧弹力之外其他力做的总功等于物体机械能的变化,即W其他力=E机2-E机1=

ΔE机。

2.电场中常见的能量关系

(1)若只有电场力做功,则动能和电势能之间相互转化,二者之和保持不变,即ΔEk=-ΔEp。

(2)若只有电场力和重力做功,则机械能和电势能之间相互转化,电势能、重力势能、动能之和

保持不变。

注意:动能定理可以把不同力对物体做的功联系起来;能量守恒定律可以把系统中参与变化

的所有能量联系起来。

[例1]【仅在静电力作用下的功能关系】如图所示,虚线a、b、c、d、e是电场中的一组平

行等差等势面,相邻两等势面间的电势差为3V,其中a等势面的电势为9V,电子以某初速度

从P点平行纸面射入,速度方向与a等势面夹角为45°,已知该电子恰好能运动到e等势面(不

计电子重力)。则()

[A]电子在电场中做匀减速直线运动

[B]电子运动到e等势面时动能为0

[C]电子运动到c等势面时动能为18eV

[D]电子返回a等势面时动能为12eV

【答案】C

【解析】根据题意可知,电子在电场中仅受电场力,电子的初速度方向与电场力方向不在一条

直线上,则电子在电场方向上做匀减速直线运动,在垂直于电场方向上做匀速直线运动,即电

子在电场中做匀变速曲线运动,故A错误;电子运动到e等势面时,沿电场方向的速度为0,垂直

于电场方向的速度不为0,则电子在e等势面时动能不为0,故B错误;设电子的初速度为v0,电

2

子由a等势面到e等势面,由动能定理有-eUae=m(v0sin45°)-m,解得电子的初动能

112

22�0

Eka=m=24eV,电子由a等势面到c等势面,由动能定理有-eUac=Ekc-Eka,解得Ekc=18eV,电

12

20

子返回�a等势面时,电场力做功为0,则电子动能为初动能24eV,故C正确,D错误。

[例2]【重力和静电力作用下的功能关系】(2024·黑吉辽卷,6)在水平方向的匀强电场中,一

带电小球仅在重力和电场力作用下于竖直面(纸面)内运动。如图,若小球的初速度方向沿虚线,

则其运动轨迹为直线,若小球的初速度方向垂直于虚线,则其从O点出发运动到O点等高处的

过程中()

[A]动能减小,电势能增大

[B]动能增大,电势能增大

[C]动能减小,电势能减小

[D]动能增大,电势能减小

【答案】D

【解析】根据题意,若小球的初速度方向沿虚线,则其运动轨迹为直线,可知电场力和重力的

合力沿着虚线方向,又电场强度方向为水平方向,根据力的合成可知,电场力方向水平向右;若

小球的初速度方向垂直于虚线,则其从O点出发运动到O点等高处的过程中重力对小球做功

为零,电场力的方向与小球的位移方向相同,则电场力对小球做正功,小球的动能增大,电势能

减小。

[例3]【重力、弹力和静电力作用下的功能关系】如图所示,在空间中存在竖直向上的匀强

电场,质量为m、电荷量为+q的物块从A点由静止开始下落,加速度大小为g,下落高度H到B

1

3

点后与一轻弹簧接触,又下落2H后到达最低点C,整个过程中不计空气阻力,且弹簧始终在弹

性限度内,重力加速度为g,则带电物块在由A点运动到C点过程中,下列说法正确的是()

[A]该匀强电场的电场强度大小为

𝑚

3�

[B]带电物块和弹簧组成的系统机械能减少量为mgH

[C]带电物块电势能的增加量为3mgH

[D]弹簧的弹性势能的增加量为mgH

【答案】D

【解析】带电物块从静止开始下落到接触弹簧前的加速度为g,对带电物块由牛顿第二定律

1

3

得mg-qE=ma,解得E=,故A错误;从A到C的过程中,除重力和弹簧弹力以外,只有电场力

2𝑚

3�

做功,电场力做功W=-qE·3H=-2mgH,可知物块和弹簧组成系统的机械能减少量为2mgH,物块

电势能增加量为2mgH,故B、C错误;由系统能量守恒得减少的重力势能等于增加的电势能

和弹性势能即得故正确。

,mg·3H=2mgH+Δ弹,Δ弹=mgH,D

����

[变式]在[例3]中弹簧的劲度系数是多少?物块下落过程中的最大速度是多少?

【答案】

𝑚2

2�3

【解析】物块从A2�点�下落到C点的过程中,克服弹簧弹力做功

22

W弹=弹·2H=k(2H),A到C过程由动能定理得mg·3H-qE·3H-k(2H)=0,

11

�22

解得k=。

𝑚

2�

物块下落过程中加速度a=0时,速度最大,设物块速度最大时弹簧的压缩量为x,对物块速度最

大时进行受力分析可得

mg=qE+kx,

解得x=H;

2

3

对物块由A位置下落至速度最大位置过程由动能定理得

mg·H-k(H)2-qE·H=m,

512512

32332��

解得vm=。

2

32��考点二静电场中的图像问题

1.x图像(电场方向与x轴平行)

(1)电场强度的大小等于x图线的切线斜率的绝对值,如果图线是曲线,电场为非匀强电场;

如果图线是倾斜的直线,电场为匀强电场(如图)。切线的斜率为零时沿x轴方向电场强度为零。

(2)在x图像中可以直接判断各点电势的高低,并可根据电势的高低确定电场强度的方向,

进而可以判断电荷在电场中的受力方向。(如图)

2.Ex图像(电场方向与x轴平行)

(1)Ex图像为静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系,若规定x轴正方向为电场强度E

的正方向,则E>0时,电场强度E沿x轴正方向;E<0时,电场强度E沿x轴负方向。

(2)Ex图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示),两点的电势高低根据电场方向判定。

在与粒子运动相结合的题目中,可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。

3.Epx图像、Ekx图像

(1)Epx图像。

由静电力做功与电势能变化关系F电x=Ep1-Ep2=-ΔEp知Epx图像的切线斜率k=,其绝对值

��

等于静电力大小,正负代表静电力的方向。Δ�

(2)Ekx图像。

当只有静电力对带电体做功时,由动能定理F电x=Ek-Ek0=ΔEk知Ekx图像的切线斜率k=,

��

斜率表示静电力。Δ�

[例4]【x图像】(2025·广东深圳阶段练习)(多选)如图甲所示,在绝缘光滑的水平面上相

距为6L的A、B两处分别固定两正点电荷,其电量分别为QA、QB,A、B连线之间的电势与

位置x之间的关系图像如图乙所示,其中,x=L点为图线的最低点。若将带正电的小球(可视为

质点)在x=2L的C点由静止释放,下列说法正确的是()

[A]QA∶QB=4∶1

[B]小球向左运动过程中,电势能先减小后增大

[C]小球向左运动过程中,加速度先增大后减小

[D]小球恰好能到达x=-2L点处

【答案】AB

【解析】根据x图像切线的斜率表示电场强度,可知x=L处电场强度为0,有k=k,

()()

����

22

4�2�

解得QA∶QB=4∶1,故A正确;根据x图像可知,沿电场线方向电势降低,则有x=L右侧电场

方向向左,左侧电场方向向右,将带正电小球在x=2L的C点由静止释放后,先向左加速到x=L

处再向左减速,电场力先做正功后做负功,电势能先减小后增大,B正确;由于x=L处电场强度

为0,小球在该位置的加速度为0,故小球向左运动过程中加速度先减小后增大,C错误;小球从

C点由静止释放向左运动到速度为0的过程,电场力做功为0,即速度为0的位置的电势与C

点位置的电势相等,从图像可以看出,该位置应位于-L～0之间,小球不能到达x=-2L点处,D错

误。

[例5]【Ex图像】空间有一沿x轴对称分布的电场,其电场强度E随x变化的图像如图所

示,以x轴正向为电场强度的正方向。则()

[A]x1、x2两点间和x2、x3两点间的电势差相等

[B]x1、x3两点的电势相等

[C]-x1点的电势高于x2点的电势

[D]从x轴上x1点由静止释放一正电荷,电荷经过x2点时动能最大

【答案】C

【解析】Ex图像中图线与x轴所围面积表示电势差,由题图无法判断x1、x2两点间和x2、

x3两点间的电势差的大小关系,故A错误;在O点右侧场强方向沿x轴正向,由于沿电场线方

向电势逐渐降低,则x1点电势高于x3点电势,故B错误;由于Ex图像中图线与x轴所围面积

表示电势差,故从O点到x2的电势降落大于O点到-x1电势降落,所以-x1的电势高于x2的电

势,故C正确;从x轴上x1点由静止释放一正电荷,电场力一直对电荷做正功,其动能一直增大,

故D错误。

[例6]【Epx图像】(2024·广东茂名一模)(多选)一带负电的微粒(电荷量不变,所受重力不计)

只在电场力作用下沿x轴正方向运动,其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示,其中0～x1

段是曲线,x1～x2段是平行于x轴的直线,x2～x3段是倾斜直线,则()

[A]0～x1段电场强度逐渐增大

[B]0～x1段电势逐渐升高

[C]x1～x2段电场强度为零

[D]x2～x3段微粒做匀加速直线运动

【答案】CD

【解析】Epx图线的斜率的绝对值表示电场力的大小,0～x1段微粒所受电场力减小,故0～

x1段电场强度减小,同理,x1～x2段电场强度为零,故A错误,C正确;0～x1段微粒的电势能逐渐

增大,而微粒带负电荷,所以电势逐渐降低,故B错误;x2～x3段微粒受到的电场力大小不变,电

势能减少,动能增加,则微粒做匀加速直线运动,故D正确。

[例7]【Ekx图像】(多选)如图甲所示,光滑绝缘水平地面上以水平向右为正方向建立Ox

轴,O点右侧两竖直虚线中间区域存在平行x轴方向的电场,电势随x位置的变化情况如图

乙所示。一带电物块以某一初速度向右由O点进入电场区域,物块仅在电场力作用下通过该

电场区域。则该区域中物块的动能Ek随x位置变化的图像可能正确的是()

[A][B]

[C][D]

【答案】BD

【解析】x图像斜率表示电场强度,根据题图乙图像可知,电场强度逐渐减小,物块受到的

电场力逐渐减小,根据Fx=ΔEk得F=,因此Ekx图像的斜率表示合力,而合力逐渐减小,则

��

�

Ekx图像的斜率逐渐减小。故选BD。

(满分:42分)

对点1.电场中的功能关系

1.(4分)(2024·广东广州期中)a、b、c、d四个带电液滴在如图所示的匀强电场中,分别水平向

左、水平向右、竖直向上、竖直向下做匀速直线运动,则()

[A]c的电势能减少,机械能增加

[B]a、b的电势能增加、机械能不变

[C]a、b为同种电荷,c、d为异种电荷

[D]d的电势能减少,机械能减少

【答案】A

【解析】四个带电液滴均做匀速直线运动,则所受电场力均向上且大小等于重力,故带电液滴

均带正电,C错误;电场力对c做正功,电势能减少,重力对c做负功,机械能增加,A正确;在运动

过程中,电场力和重力对a、b都不做功,a、b的电势能、机械能均不变,B错误;电场力对d做

负功,电势能增加,机械能减少,D错误。

2.(6分)(2023·全国乙卷,19)(多选)在O点处固定一个正点电荷,P点在O点右上方。从P点由

静止释放一个带负电的小球,小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动,其一段

轨迹如图所示。M、N是轨迹上的两点,OP>OM,OM=ON,则小球()

[A]在运动过程中,电势能先增加后减少

[B]在P点的电势能大于在N点的电势能

[C]在M点的机械能等于在N点的机械能

[D]从M点运动到N点的过程中,电场力始终不做功

【答案】BC

【解析】由题知,OP>OM,OM=ON,则根据点电荷的电势分布情况可知M=N>P,则带负电

的小球在运动过程中,电势能先减少后增加,且EpP>EpM=EpN,则带负电的小球在M点的机械能

等于在N点的机械能,A错误,B、C正确;从M点运动到N点的过程中,电场力先做正功后做

负功,D错误。

3.(4分)(2025·广东深圳期中)如图所示,水平放置的轻质绝缘弹簧左端固定在竖直墙壁上,右端

连接一放置在光滑绝缘水平面上的带正电小球,水平面上方存在水平向右的匀强电场。初始

时弹簧处于压缩状态,将小球由静止释放,小球运动过程中弹簧始终在弹性限度内,则在小球

向右运动的过程中()

[A]弹簧恢复原长时,小球的速度最大

[B]小球运动到最右端时,小球的加速度为零

[C]小球运动到最右端时,弹簧的弹性势能最大

[D]小球运动到最右端时,弹簧的弹性势能与初始时相等

【答案】C

【解析】当小球在水平方向上受到电场力和弹簧弹力平衡时,加速度为零,小球速度有最大值,

此时弹簧处于伸长状态,故A错误;小球做简谐运动,电场力和弹簧弹力的合力提供回复力,小

球运动到最右端时弹簧的弹性势能最大,此时小球速度为零,小球的加速度最大,故B错误,C

正确;在小球向右运动到最右端的过程,电场力做正功,根据动能定理W电+W弹=0,可知弹簧弹

力做负功,小球运动到最右端时,弹簧的弹性势能比初始时的大,D错误。

对点2.静电场中的图像问题

4.(6分)(多选)如图甲所示,一绝缘带电的竖直圆环上均匀分布着电荷,一光滑绝缘细杆从圆心

垂直于圆环平面穿过圆环,杆上穿一个带负电的小球(图中未画出),现使小球从a点由静止释

放,并开始计时,先后经过b、c两点,其运动过程中的vt图像如图乙所示。下列说法正确的是

()

[A]带电圆环在圆心处产生的电场强度为零

[B]c点场强大于b点场强

[C]a点的电势高于b点的电势

[D]电势差Uab大于Ubc

【答案】AD

【解析】根据电场的叠加原理和对称性可知,带电圆环在圆心处产生的场强为零,故A正

确;vt图像的斜率表示加速度,由题图乙可知,小球在c点的加速度小于在b点的加速度,根据

qE=ma可知,c点场强小于b点场强,故B错误;根据题图乙可知小球在做加速运动,可知小球受

到圆环的斥力作用,圆环带负电,由于沿电场线方向电势降低,则a点的电势低于b点的电势,

故C错误;根据动能定理有qUab=m-0,qUbc=m-m,可得qUab<qUbc,由于小球带负

121212

2��2��2��

电,所以Uab>Ubc,故D正确。

5.(4分)(2025·内蒙古高考适应性考试)如图,一带正电小球甲固定在光滑绝缘斜面上,另一带正

电小球乙在斜面上由静止释放。以释放点为原点,沿斜面向下为正方向建立x轴。在乙沿x

轴加速下滑过程中,其动能Ek和机械能E随位置x变化的图像,可能正确的是()

[A][B][C][D]

【答案】D

甲乙

【解析】设两个带电小球间距为r,对小球乙,由动能定理可知(mgsinθ-k)x=Ek,则Ekx

��

2

甲乙�

图像的斜率表示小球乙所受合外力,则F合=mgsinθ-k,所以在乙沿x轴加速下滑过程中,

��

2

�

两个带电小球间距r逐渐减小,小球乙所受合外力沿斜面向下且逐渐减小,则Ekx图像斜率逐

甲乙

渐减小,故A、B不符合题意;由Ex图像的斜率表示库仑力,则Ex图像斜率k斜=k,所以

��

2

在乙沿x轴加速下滑过程中,库仑力逐渐增大,Ex图像的斜率逐渐增大,故C不符合题�意,D符

合题意。

6.(4分)如图,绝缘粗糙的水平面附近存在一与x轴平行的电场,其在x轴上的电势与坐标x

的关系如图中曲线所示,图中的倾斜虚线为该曲线过点(0.15,3)的切线。质量为0.1kg、电荷

-7

量为1.0×10C的带正电滑块P,从x1=0.1m处由静止释放,滑块与水平面间的动摩擦因数为

0.2。滑块可视为质点,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,g取10m/s2。则滑块()

[A]做匀减速直线运动

[B]经过x2=0.15m处时,速度最大

-2

[C]从释放到经过x2=0.15m处,电场力做功为3.0×10J

[D]可以滑到x3=0.30m处

【答案】B

6

【解析】x2=0.15m处,场强E==N/C=2×10N/C,滑块受到的电场力

.-.5

Δ�4×10

-76Δ�0301

F=qE=1.0×10×2×10N=0.2N,滑动摩擦力Ff=μmg=0.2×0.1×10N=0.2N,此时加速度为零,滑

块的速度最大,故B正确;x图像中,某点切线的斜率绝对值k=||表示该点电场强度的大小,

Δ�

Δ�

由此可知沿x轴正方向,电场强度逐渐减小,根据牛顿第二定律可知刚开始运动时qE-Ff=ma,

滑块在整个过程中先做加速度减小的变加速运动,加速度为零后,有Ff-qE=ma,所以后做加速

度增大的减速运动,故A错误;从释放到经过x2=0.15m处,电场力做功

-755-2

W=q(1-2)=1.0×10×(4.5×10-3×10)J=1.5×10J,故C错误;若滑块能在0.3m处停下,则电

-755-2

场力做功WE=q(1-3)=1.0×10×(4.5×10-1.5×10)J=3×10J,摩擦力做功

-2

Wf=-μmg(x3-x1)=-0.2×0.1×10×(0.3-0.1)J=-4×10J,由于WE+Wf<0,所以滑块不能够滑到

x3=0.30m处,故D错误。

7.(6分)(多选)空间中有水平方向的匀强电场,一质量为m、带电荷量为q的微粒在某平面内运

动,其电势能和重力势能随时间的变化如图所示,则该微粒()

[A]一定带正电

[B]0～3s内静电力做的功为-9J

[C]运动过程中动能不变

[D]0～3s内除静电力和重力外所受其他力对微粒做的功为12J

【答案】BCD

【解析】由于不清楚电场强度的方向,故无法确定微粒的电性,故A错误;由题图可知,0～3s

内电势能增加9J,则0～3s静电力做的功为-9J,故B正确;由题图可知,电势能均匀增加,即静

电力做的功与时间成正比,说明微粒沿静电力方向做匀速直线运动,同理,沿重力方向也做匀

速直线运动,则微粒的合运动为匀速直线运动,所以运动过程中速度不变,动能不变,故C正确;

由功能关系可知,0～3s内重力势能与电势能共增加12J,又微粒的动能不变,故0～3s内除静

电力和重力外所受其他力对微粒做的功为12J,故D正确。

8.(4分)在倾角为θ的光滑固定绝缘足够长的斜面上,有两个用绝缘轻弹簧连接的物块A和B,

它们的质量分别为m和3m,弹簧的劲度系数为k,C为一固定挡板。开始未加电场,系统处于

静止状态,A带正电,B不带电,现加一沿斜面向上的匀强电场,物块A沿斜面向上运动,当B刚

离开C时,A的速度为v,之后两物块运动中,当A的加速度为0时,B的加速度大小为a,方向沿

斜面向上。下列说法正确的是()

[A]未加电场时,挡板C对物块B的作用力大小为3mgsinθ

[B]从加电场到B刚离开C的过程中,A发生的位移大小为

3𝑚sin�

�

[C]从加电场到B刚离开C的过程中,物块A的机械能和电势能之和保持不变

[D]B刚离开C时,电场力对A做功的瞬时功率为(4mgsinθ+3ma)v

【答案】D

【解析】开始未加电场,系统处于静止状态,挡板C对物块B的作用力大小等于A