专题02数轴多动点问题中的分类讨论

专题02数轴多动点问题中的分类讨论解题思路：第一步：分析题目，作出图形，将动点在数轴上呈现出来（化动为静）.第二步：用含时间的代数式表示出动点表示的数.第三步：寻找等量关系，列方程求解问题.第四步：检查，重点关注分类讨论是否完备.【典例解析】例1．（2021·重庆市綦江区期中）数轴上两点之间的距离可以用这两个点表示的两个数的差的绝对值来表示；例如点A表示7、点B表示5，AB之间的距离AB==12；已知数轴上两点，M，N对应的数分别为2，4，P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P到点M点N的距离相等，则点P对应的数为：．（2）数轴上是否存在点P到点M点N的距离之和为8，若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由．（3）当点P以每分钟一个单位长度的速度，从O点向左运动时，点M以每分钟5个单位长度向左运动，点N每分钟20个单位长度向左运动，它们同时出发几分钟后P点到点M点N的距离相等．【答案】（1）1；（2）存在，x=5或3；（3）分钟或分钟.【解析】解（1）由题意得：4x=x（2）解得：x=1，则点P对应的数为：1；（2）∵MN=6，∴点P不会在M、N之间①当P在M左侧时，4x2x=8，解得x=3，②当P在N右侧时，x4+x+2=8，解得x=5，综上所述，存在这样的P点，x=3或x=5.（3）解：设出发t分钟后P点到点M点N的距离相等，此时P、N、M三点表示的数分别为t、420t、25t，由题意得：∣t–(25t)∣=∣420t(t)∣，所以t+2+5t=420t+t，或t+2+5t=4+20tt解得t=，或t=，综上所述，分钟或分钟后P点到点M点N的距离相等．例2．（2021·吉林长春市期中）如图，点A、C、B在数轴上表示的数分别是3、1、5．动点P、Q同时出发，动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度沿匀速运动回到点A停止运动．动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿向终点B匀速运动，设点P的运动时间为．（1）当点P到达点B时，点Q表示的数为____________．（2）当时，求点P、Q之间的距离．（3）当点P在上运动时，用含t的代数式表示点P、Q之间的距离．（4）当点P、Q到点C的距离相等时，直接写出t的值．【答案】（1）3；（2）1；（3）PQ=|3t4|；（4），或，或，或4．【解析】解：（1）P到达点B时，t=2，则Q点运动距离为2，Q表示的数为3.（2）当t=1时，P点表示的数为1，Q点表示的数为2，∴P、Q之间的距离为1．（3）P点表示的数为3+4t，Q点表示的数为1+t，则PQ=|3+4t1t|=|3t4|（4）由题意知，PC=CQP点从A→B时，则|3+4t1|=|1+t1|解得：t=或t=P点从B→A时，P点表示的数为54（t2）=124t，则|124t|=|1+t1|解得：t=或t=4综上所述，t的值为，或，或，或4．例3．（2021·吉林长春外国语期中）如图，点A，B在数轴上表示的数分别是，．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，动点Q同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向终点A运动．设点P的运动时间为t（）秒．（1）点P到达点B用时____________秒，点Q到达点A用时___________秒；（2）点B与点Q之间的距离为_____________，点Q表示的数为_____________；（用含t的代数式表示）（3）当点P与点Q之间的距离为15个单位长度时，求t的值．【答案】（1）9；6；（2）3t；103t；（3）或．【解析】解：（1）∵点A，B在数轴上表示的数分别是8，10，∴AB=10(8)=18，点P到达点B用时18÷2=9（秒），点Q到达点A用时18÷3=6（秒）（2）点B与点Q之间的距离为3t，点Q表示的数为103t；（3）由题意得：P点表示的数为8+2t，Q表示的数为103t|8+2t10+3t|=15解得：t=或t=.综上所述，t的值为或．例4．（2021·江苏江阴期中）数轴上有A、B、C三个小球，分别对应的数是a、b、c，且满足a是绝对值最小的正整数，B球在原点的左侧且到原点的距离是5，C球在A球的右侧，且到B球的距离是到A球距离的4倍，三个球都在数轴上同时开始运动，A球向左运动，运动速度为每秒2个单位长度，B、C两球向右运动，运动速度分别为每秒4个单位长度和1个单位长度.（1）a=；b=；c=．（2）小球A碰到B后按原来的速度立刻返回，B球仍按原速原方向继续前行，请问：小球A在何时何地遇到小球B；当B追上C时停止运动，此时A球所在的位置在哪里？（要有解答过程）（3）在（2）的条件下，整个运动过程中何时三个球中的一个球到另外两个球的距离相等．（直接写出结果）．【答案】（1）1，5，3；（2）小球A在1秒后在数轴上表示的点遇到小球B；当B追上C时，A球所在的位置在单位长度处；（3），，，，．【解析】解：（1）∵a是绝对值最小的正整数，∴a=1∵B球在原点的左侧且到原点的距离是5，∴b=5∵C球在A球的右侧，且到B球的距离是到A球距离的4倍，∴c（5）=4（c1），解得c=3故答案为：1、5、3.（2）A、B相遇时间：t=1（秒）A、B相遇点：5+1×4=1，即小球A在1秒后在数轴上表示1的点遇到小球BB追上C时间：8÷（41）=（秒）A的位置：1+2×（1）=即当B追上C时，A球所在的位置在数轴上表示单位长度处；（3）设运动时间为t，①t<1时，A在B、C中间时，12t=（5+4t+3+t）解得：t=②当t=1时，A、B相遇，符合题意.③当t>1时，当B在A、C中间时，1+4（t1）=[1+2(t1)+4+t1]解得t=2④当B、C相遇时，符合题意，4+t1=1+4（t1）解得：⑤当A、C相遇时，符合题意即4+t1=1+2（t1）解得：t=6故答案为：，1，2，，6．例5．（2021·吉林长春期中）如图，在数轴上点A表示数a，点B示数b，点C表示数c，b是最小的正整数，且a、b满足|a+2|+（c﹣6）2＝0．（1）a＝，b＝，c＝．（2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则数轴上折痕所表示的数为，点B与数表示的点重合，原点与数表示的点重合．（3）动点P、Q同时从原点出发，点P向负半轴运动，点Q向正半轴运动，点Q的速度是点P速度的3倍，2秒钟后，点P到达点A．①点P的速度是每秒个单位，则点Q的速度是每秒个单位．②点Q到达点C后，改变方向，按原速度向负半轴方向运动，求再经过几秒钟，点P与点Q能相遇．③在②的条件下，点Q改变方向后，直接写出又经过几秒钟点P与点Q相距3个单位．【答案】（1），，；（2），，；（3）①，；②4秒；③秒或秒【解析】解：（1），，.（2）折痕表示的数为：；所以点B与表示数3的点重合；原点到折痕的距离为2个单位长度，则原点与表示数4的点重合；（3）①点P走过的路程为2，时间为2，其速度为1个单位长度/秒，∵点Q的速度是点P的速度的3倍，∴点Q的速度为3个单位长度每秒；②设再经过t秒钟，点P与点Q能相遇，则3tt=8，解得t=4，即再经过4秒钟，点P与点Q能相遇；③设经过x秒后二者相距3个单位长度，则：3xx=83，或3xx=8+3，解得：x=或x=，故经过或秒后，相距3个单位长度．例6．（2021·重庆一中月考）如图，数轴上有三点A，B，C，表示的数分别是，，3，请回答：（1）若使C，B两点的距离等于A，B两点的距离，即，则需将点C向左移动_______个单位长度；（2）点P是数轴上的一个动点，其表示的数为x，则的最小值是_______；（3）点P，Q，R同时分别从A，B，C出发，点P以每秒5个单位长度向数轴正方向运动，点Q以每秒4个单位长度向数轴正方向运动，点R以每秒2个单位长度向数轴负方向运动，当时，求点R对应的数．【答案】（1）3或7；（2）7；（3）或或.【解析】解：（1）∵A，B，C，表示的数分别是4，2，3，∴AB=2，BC=5，∵BC=AB，移动后点C表示的数为0或4，则需将点C向左移动3或7个单位长度；故答案为：3或7；（2）由数轴可知，点P在A，C，之间时，的最小，；故答案为：7；（3）设运动时间为t秒，点P，Q，R表示的数分别为：，，；，，∵∴，当时，，解得，；此时点R对应的数为；当时，，解得，；此时点R对应的数为；当时，，解得，；此时点R对应的数为.例7．（2021·福建古田县月考）如图，在一条数轴上从左至右取A，B，C三点，使得A，B到原点O的距离相等，且A到B的距离为4个单位长度，C到B的距离为8个单位长度．（1）在数轴上点C表示的数是__________．（2）在数轴上，甲从点A出发以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，同时乙从点B出发也向右做匀速运动．①若甲恰好在点C追上乙，求乙的运动速度．②若丙从点C出发以每秒1个单位长度的速度向左做匀速运动，甲乙丙同时开始运动，甲与丙相遇后1秒，乙与丙的距离为1个单位长度，求乙的运动速度．【答案】（1）10；（2）①2单位长度秒；②或个单位长度秒.【解析】解：（1）答案为10；（2）①甲从A运动到C所用的时间为：12÷3=4（秒，所以乙的速度为：8÷4=2（单位长度秒）；②甲与丙相遇的时间为：12÷4=3（秒，因为甲与丙相遇后1秒，乙与丙的距离为1个单位长度，所以此时乙与丙的运动时间为：4（秒，设乙的运动速度为x个单位长度秒．当乙与丙未相遇时，由题意得4x+4=81，解得；当乙与丙相遇后，由题意得4x+4=8+1，解得．综上所述，乙的运动速度为或个单位长度秒．例8．（2021·四川成都月考）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2．已知点A，B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题：（1）如果点A表示数﹣5，将点A向右移动6个单位长度，那么终点B表示的数是，A、B两点间的距离是；（2）如果点A表示数a，将A点向左移动10个单位长度，再向右移动70个单位长度，终点B表示的数是50，那么a＝，到A、B两点距离相等的点表示的数为；（3）在（2）的条件下，若电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为10个单位长度？【答案】（1）1，6；（2）10，20；（3）25秒或35秒或5秒或7秒.【解析】解：（1）B表示的数是5+6=1，A、B两点间的距离是1（5）=6；

（2）由题意得：a10+70=50，解得a=10；A、B两点中间的点表示的数为（10+50）÷2=20；（3）设当它们运动x秒时间时，两只蚂蚁间的距离为10个单位长度，电子蚂蚁Q向左运动，由题意得：|（104t）（506t）|=10，解得t=35或t=25；电子蚂蚁Q向右运动，由题意得：|（10+4t）（506t）|=10，解得t=7或t=5．当它们运动25秒或35秒或5秒或7秒时间时，两只蚂蚁间的距离为10个单位长度.例9．（2021·辽宁和平月考）已知，点A、B、0在数轴上对应的数为a、b、0，且满足|a+3|+（b﹣1）2＝0，A、B之间的距离定义为：AB＝|a﹣b|．（1）直接写出点A表示的数为，点B表示的数为，并在数轴上将A，B表示出来；（2）点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．①如果点P到点A、点B的距离相等，那么x＝；②当x＝时，点P到点A、点B的距离之和是6；③若点P以每秒3个单位长度的速度从点0沿着数轴的负方向运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A沿着数轴的负方向运动，点F以每秒4个单位长度的速度从点B沿着数轴的负方向运动，且三个点同时出发，那么运动秒时，点P到点E、点F的距离相等．【答案】（1）﹣3；1；（2）①﹣1；②﹣4或2；③或2.【解析】解：（1）∵|a+3|+（b﹣1）2＝0，|a+3|≥0，（b﹣1）2≥0，∴a+3＝0，b﹣1＝0，解得：a＝﹣3，b＝1，∴点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1，故答案为：﹣3；1；数轴如下图：（2）①由题意得，|x﹣（﹣3）|＝|x﹣1|，解得x＝﹣1；故答案为：﹣1；②∵AB＝|1﹣（﹣3）|＝4，点P到点A，点B的距离之和是6，∴点P在点A的左边或者在点B的右边，当点P在点A的左边时，﹣3﹣x+1﹣x＝6，解得：x＝﹣4，当点P在点B的右边时，x﹣1+x﹣（﹣3）＝6，解得：x＝2，综上所述，x＝﹣4或2；故答案为：﹣4或2；③设运动t秒时，点P到点E、点F的距离相等，点P表示的数为﹣3t，点E表示的数为﹣3﹣t，点F表示的数为1﹣4t，∴点P到点E的距离为|﹣3t﹣(﹣3﹣t)|＝|3﹣2t|，点P到点F的距离为|﹣3t﹣(1﹣4t)|＝|t﹣1|，∵点P到点E、点F的距离相等，∴|3﹣2t|＝|t﹣1|，∴3﹣2t＝±(t﹣1)，当3﹣2t＝t﹣1时，解得：t＝，当3﹣2t＝﹣(t﹣1)时，解得：t＝2，综上所述，当t＝或2时，点P到点E、点F的距离相等，故答案为：或2．例10．（2021·广东佛山月考）如图，有两条线段，（单位长度），（单位长度）在数轴上，点在数轴上表示的数是12，点在数轴上表示的数是15．（1）点在数轴上表示的数是______，点在数轴上表示的数是______，线段的长=______；（2）若线段以1个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度秒的速度向左匀速运动．当点与重合时，点与点在数轴上表示的数是多少？（3）若线段以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为1个单位长度？【答案】10，14，24；(2)2；(3)t=23或25.【解析】解：（1）∵AB=2，点A在数轴上表示的数是12，

∴点B在数轴上表示的数是12+2=10；

∵CD=1，点D在数轴上表示的数是15，

∴点C在数轴上表示的数是151=14．

∴BC=14（10）=24．

故答案为：10，14，24；

（2）设运动时间为a秒时B、C相遇，此时点B在数轴上表示的数为10+a，点C在数轴上表示的数为142a∵B、C重合∴10+a=142a解得：a=8点B与点C在数轴上表示的数是10+a=10+8=2；故答案为：2.(3)当运动时间为t秒时，点B在数轴上表示的数为10t，点C在数轴上表示的数为142t∴BC==∵BC=1∴=1∴t=23，或t=25综上所述：当BC=1时，t=23或25.例11．（2021·江苏射阳月考）