解析卷-浙江省温岭市中考数学真题分类（勾股定理）汇编同步测评练习题（含答案解析）

浙江省温岭市中考数学真题分类（勾股定理）汇编同步测评考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题14分）一、单选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是（）A．13米 B．12米 C．5米 D．米2、我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是（

）A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺3、已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（）A．m2+2mn+n2=0 B．m2﹣2mn+n2=0 C．m2+2mn﹣n2=0 D．m2﹣2mn﹣n2=04、如图，正方形ABCD中，AB＝12，将△ADE沿AE对折至△AEF，延长EF交BC于点G，G刚好是BC边的中点，则ED的长是（）A．2 B．3 C．4 D．55、在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（

）A．10 B．8 C．6或10 D．8或106、勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（

）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和7、如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（

）A．29 B．32 C．36 D．45第Ⅱ卷（非选择题86分）二、填空题（8小题，每小题2分，共计16分）1、如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了__米．2、如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为__________．3、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为________________．4、如图，将一个长方形纸片沿折叠，使C点与A点重合，若，则线段的长是_________．5、《九章算术》中有“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：有一根竹子原来高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？如图，设折断处距离地面x尺，根据题意，可列方程为______．6、若△ABC中，cm，cm，高cm，则BC的长为________cm．7、如图，在中，，将线段绕点顺时针旋转至，过点作，垂足为，若，，则的长为__．8、《九章算术》中记载着这样一个问题：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/分，乙的速度为3步/分，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：如图，设甲乙两人出发后x分钟相遇．根据勾股定理可列得方程为______．三、解答题（7小题，每小题10分，共计70分）1、如图，在四边形中，，，于，（1）求证：；（2）若，，求四边形的面积．2、阅读理解：课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；……学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，_________，_________；(2)若第一个数用字母（为奇数，且）表示，则后两个数用含的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：，，，……于是他很快表示出了第二个数为，则用含的代数式表示第三个数为_________．(3)用所学知识说明（2）中用表示的三个数是勾股数．3、如图，高速公路上有A，B两点相距10km，C，D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，求BE的长．4、如图是三个全等的直角三角形纸片，且，按如图的三种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为．(1)若，求的值．(2)若，求①单个直角三角形纸片的面积是多少？②此时的值是多少？5、某海上有一小岛，为了测量小岛两端A，B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图，已知B是CD的中点，E是BA延长线上的一点，且∠CED＝90°，测得AE＝16.6海里，DE＝60海里，CE＝80海里．(1)求小岛两端A，B的距离．(2)过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求值．6、拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？7、已知，如图，，C为上一点，与相交于点F，连接．，．（1）求证：；（2）已知，，，求的长度．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】根据题意，画出图形，构造直角三角形，用勾股定理求解即可.【详解】如图所示，过D点作DE⊥AB，垂足为E,∵AB=13，CD=8，又∵BE=CD，DE=BC，∴AE=AB−BE=AB−CD=13−8=5,∴在Rt△ADE中，DE=BC=12,∴∴AD=13（负值舍去）,故小鸟飞行的最短路程为13m,故选A.【考点】考查勾股定理，画出示意图，数形结合是解题的关键.2、D【解析】【分析】依题意，芦苇的长度为直角三角形的斜边，水深为一直角边，另一直角边为5尺，由勾股定理即可列出方程，进而得到答案．【详解】解：设水深x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺，依题意，由勾股定理，得：，解得，所以芦苇的长度为13尺．故选D．【考点】本题考查勾股定理的应用，将题目描述问题转化成直角三角形求边长的问题是解题的关键．3、C【解析】【分析】如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m2+m2=（n-m）2，整理即可求解【详解】m2+m2=（n﹣m）2，2m2=n2﹣2mn+m2，m2+2mn﹣n2=0．故选C.4、C【解析】【分析】连接AG，证明△ABG≌△AFG，得到FG＝BG，△ADE沿AE对折至△AEF，则EF＝DE，设DE＝x，则EF＝x，EC＝12－x，则Rt△EGC中根据勾股定理列方程可求出DE的值．【详解】如图，连接AG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝12．∵△ADE沿AE对折至△AEF，∴EF＝DE，AF＝AD，∵AF＝AD，AB＝AD，∴AF＝AB，又AG是公共边，∴△ABG≌△AFG（HL），∵G刚好是BC边的中点，∴BG＝FG＝，设DE＝x，则EF＝x，EC＝12－x，在Rt△EGC中，根据勾股定理列方程：62＋（12－x）2＝(x＋6)2解得：x＝4．所以ED的长是4，答案选C．【考点】本题考查了正方形和全等三角形的综合知识，根据勾股定理列方程是本题的解题关键．5、C【解析】【详解】分两种情况：在图①中，由勾股定理，得;;∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10.在图②中，由勾股定理，得;;∴BC＝BD―CD＝8―2＝6.故选C.6、C【解析】【分析】根据勾股定理得到c2=a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．【详解】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2=a2+b2，阴影部分的面积=c2-b2-a（c-b）=a2-ac+ab=a（a+b-c），较小两个正方形重叠部分的长=a-（c-b），宽=a，则较小两个正方形重叠部分底面积=a（a+b-c），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选C．【考点】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．7、D【解析】【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2，∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2）＝AC2−AB2＝45．故选：D．【考点】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．二、填空题1、9．【解析】【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长．【详解】在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝＝15（米），∵CD＝10（米），∴AD＝＝6（米），∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸边移动了9米，故答案为：9．【考点】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．2、##【解析】【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．【详解】】解：由勾股定理得：AC=，∵S△ABC=3×4-×1×2-×3×2-×2×4=4，∴AC•BD=4，∴×2BD=4，∴BD=，故答案为：．【考点】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．3、．【解析】【分析】首先根据勾股定理求出BC的长，根据折叠性质，可得=AB=3，=BE，∠B=∠=90°，然后设BE=，根据勾股定理，列出，求解即可．【详解】解：∵∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，在Rt△ABC中，，将△ABC沿AE折叠，∴=AB=3，=BE，∠B=∠=90°，则，设BE=,EC=4-,，在Rt△中，由勾股定理得：，即，解得，∴BE＝．故答案为．【考点】本题主要考查了翻折变换的性质及勾股定理的应用；解题的关键是准确找出图形中隐含的相等关系．4、【解析】【分析】根据折叠的性质和勾股定理即可求得．【详解】解：∵长方形纸片，∴，，根据折叠的性质可得，，，设，，根据勾股定理，即，解得，故答案为：．【考点】本题考查折叠与勾股定理．能正确表示直角三角形的三边是解题关键．5、【解析】【分析】根据勾股定理即可得出结论．【详解】解：设未折断的竹干长为尺，根据题意可列方程为：．故答案为：．【考点】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．6、28或8##8或28【解析】【分析】高的位置不确定，应分情况进行讨论：（1）高在内部；（2）高在外部，依此即可求解．【详解】解：如图（1）cm，cm，，则，，则；如图（2），由（1）得，，则．则的长为或．故答案为或．【考点】此题考查了勾股定理，本题需注意高的位置不确定，应根据三角形的形状分两种情况讨论．7、【解析】【分析】过作，为垂足，通过已知条件可以求得，，从而求得，再根据直角三角形的性质，即可求解．【详解】解：过作，为垂足，，又，，又，，在与中，，，，∴，在中，，设，则由勾股定理可得即解得故答案为．【考点】此题主要考查了三角形全等的证明方法和直角三角形的有关性质，利用已知条件合理构造直角三角形是解决本题的关键．8、【解析】【分析】设甲、乙二人出发后相遇的时间为x，然后利用勾股定理列出方程即可．【详解】解：设经x秒二人在C处相遇，这时乙共行AC=3x，甲共行AB+BC=7x，∵AB=10，∴BC=7x-10，又∵∠A=90°，∴BC2=AC2+AB2，∴(7x-10)2=(3x)2+102，故答案是：(7x-10)2=(3x)2+102．【考点】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．三、解答题1、（1）详见解析；（2）S四边形ABCD=56【解析】【分析】（1）由等角的余角相等可得∠DAC=∠ABE，再根据题意可得Rt△BAE≌Rt△ADC，即可证；（2）根据勾股定理算出AC，由全等可得BE=AC，再算出△ACD的面积和△ABC的面积相加即可．【详解】解：（1）∵BE⊥AC，∴∠ABE+∠BAE=90°，∵BAD=90°，∴∠BAE+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠ABE，又∵AB=AD，∠BEA=∠ACD，∴Rt△BAE≌Rt△ADC(AAS)，∴BE=AC．（2）∵AB=AD=10，CD=6，∠ACD=90°，∴，∵Rt△BAE≌Rt△ADC，∴BE=AC=8，∴．【考点】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形面积，关键在于牢记基础知识并灵活使用．2、(1)60，61(2)(3)见解析【解析】【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61；（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；（3）依据勾股定理的逆定理进行证明即可．(1)解：∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，∴11，60，61；故答案为：60，61；(2)解：第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，第二数为；则用含a的代数式表示第三个数为；故答案为：；(3)解：∵，，∴，又∵a为奇数，且a≥3，∴由a，，三个数组成的数是勾股数．【考点】本题考查的是勾股数之间的关系，属规律型问题，根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可．3、4km【解析】【分析】根据题意设出BE的长为xkm，再由勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：设BE＝xkm，则AE＝（10﹣x）km，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝62+x2，由题意可知：DE＝CE，所以：62+x2＝42+（10﹣x）2，解得：x＝4．所以，EB的长是4km．【考点】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．4、(1)(2)①36；②【解析】【分析】（1）设DE=CE=x，则BE=4-x，依据S△ABE=AB×DE=BE×AC，即可得到x的值，进而得出S1的值．（2）①如图1，依据S△ABE=AB×DE=BE×AC，即可得到DE=x，进而得出S1=x2；如图2，依据S△ABN=AB×HN=AN×BC，即可得到EN=x，进而得出S2=x2，再根据S1+S2=13，即可得到x2=6，进而得出单个直角三角形纸片的面积．②如图3，由折叠可得，AC=CF=3x，所以BF=BC-CF=4x-3x=x，则S3=S△CMF=S△ACM，所以S3=，即可求解．(1)解：∵AC∶BC∶AB＝3∶4∶5，AC＝3，∴BC＝4，AB＝5，由折叠可得，DE＝CE，∠ADE＝∠C＝90°，AD＝AC＝3，设DE＝CE＝x，则BE＝4﹣x，∵S△ABE＝AB×DE＝BE×AC，∴AB×DE＝BE×AC，即5x＝3（4﹣x），解得x＝，∴S1＝BD×DE＝＝．(2)解：由AC：BC：AB=3：4：5，可设AC=3x，BC=4x，AB=5x，①如图1，由折叠可得，AD=AC=3x，BD=5x-3x=2x，DE=CE，∠ADE=∠C=90°，∵S△ABE=AB×DE=BE×AC，∴AB×DE=BE×AC，即5x×DE=（4x-DE）×3x，解得DE=x，∴S1=BD×DE=×2x×x=x2；如图2，由折叠可得，BC=BH=4x，HN=CN，∴AH=x，AN=3x-HN，∵S△ABN=AB×HN=AN×BC，∴AB×HN=AN×BC，即5x×HN=（3x-HN）×4x，解得HN=x，∴S2=AH×HN=×x×x=x2，∵S1+S2=13，∴x2+x2=13，解得x2=6，∴S△ABC=×3x×4x=6x2=36．答：单个直角三角形纸片的面积是36；②如图3，由折叠可得，AC=CF=3x，∴BF=BC-CF=4x-3x=x，∴S3=S△CMF=S△ACM，∴S3==，答：此时S3的值为．【考点】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是利用面积法求得某些线段的长度．5、(1)33.4海里(2)【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出CD，再根据斜边的中线等于斜边的一半求出BE，则AB可求；（2）设BF＝x海里．利用勾股定理先表示出CF2，在Rt△CFE中，∠CFE＝90°，利用勾股定理有CF2＋EF2＝CE2，即，解方程即可得解．(1)在△DCE中，∠CED＝90