2024-2025学年广东省部分高中高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省部分高中2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】由题意得，故在复平面内对应点的坐标为，位于第二象限．故选：B2.在的展开式中，含项的系数为（）A.1512 B.504 C.－504 D.－1512【答案】D【解析】展开式的通项为，则含的项为，故含项的系数为－1512．故选：D3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】，故“”是“”的充要条件.故选：C4.有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的，甲、乙两台车床的正品率分别为．现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为（）A0.955 B.0.954 C.0.94 D.0.945【答案】B【解析】用事件表示“任取一件，取得正品”，事件表示“取到甲车床加工的零件”，事件表示“取到乙车床加工的零件”，则，所以取到正品的概率为．故选：B5.已知向量满足，且，则（）A B. C.2 D.3【答案】D【解析】由，得，即，整理得，解得，或（舍去）．故选：D.6.将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题知，因为函数的图象关于原点对称，所以，，所以，因为，所以的最小值为．故选：A.7.已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，由，得，函数在上单调递增，由，得，不等式化为，则，解得，所以不等式的解集为．故选：B8.高三毕业来临之际，3名教师，4名女同学和2名男同学排成一排拍照，已知3名教师互不相邻，4名女同学相邻且不在最左边也不在最右边，2名男同学互不相邻且不在最左边也不在最右边，则不同的排法种数共有（）A.1152种 B.384种 C.288种 D.144种【答案】A【解析】第一步：先将3名教师全排，共有种排法；第二步：将4名女同学＂捆绑＂在一起，共有种排法；第三步：将＂捆绑＂在一起的4名女同学作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插人，有种排法；第四步：首先将2名男同学之中的一人，插人第三步后相邻的两名教师中间，然后将另一个男同学插入由女同学与教师形成的2个空中的其中1个，共有种排法，所以不同的排法种数有：种．故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.从1，2，3，4，5，6，7，8中任取1个数．事件：取出的数是偶数；事件：取出的数是奇数；事件：取出的数小于7．则（）A.事件，是互斥事件 B.事件，是对立事件C. D.【答案】AC【解析】从1，2，3，4，5，6，7，8中任取1个数，取出数要么是奇数要么是偶数，不可能既是奇数又是偶数，也不可能既不是奇数也不是偶数，所以事件，是互斥事件，A正确.当取出的数字为3时，事件与事件，同时发生，事件，不是对立事件，B错误．，，D错误.，C正确．故选：AC10.在空间直角坐标系中，，则（）A. B.C.异面直线与所成角的余弦值为 D.点到直线的距离是【答案】ABD【解析】，A正确；，B正确；设异面直线与所成角为，则，C错误；到直线的距离为，D正确．故选：ABD11.已知过点的直线l与动圆相切，切点为M，记点M的轨迹为曲线Γ，则（）A.曲线Γ经过原点 B.曲线Γ是轴对称图形C.点在曲线Γ上 D.曲线Γ在第二象限的点的纵坐标有最大值【答案】ABC【解析】圆化为，圆心，半径为.设点，，，由题意可知，，则，整理得①.又因为，所以，展开化简得②.由①②消去，化简得，显然，其图象为：对于A选项，将原点代入中，等式成立，所以A正确.对于B选项，若为曲线上任意点，根据方程知也在曲线上，即曲线关于轴对称，所以B正确.对于C选项，将点代入曲线方程中，等式成立，C正确.对于D选项，根据，当时，显然第二象限的点的纵坐标无最大值，所以D错误，故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则______．【答案】【解析】因为的分布列服从两点分布，所以，因为，所以．故答案为：.13.在中，若，则边上的高为______.【答案】【解析】由余弦定理，得，设边上的高为，则，解得．故答案为：.14.设数列满足，且．用模取余运算：表示“整数除以整数，所得余数为整数”，如．设其中，则______；数列的前项和为，则______【答案】16；219【解析】由，且得，，所以数列各项除以4的余数为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，则各项除以4所得余数组成以6为周期的周期数列，所以，当为6的整数倍时，；当不为6的整数倍时，，所以；当时，，故．故答案为：16；219四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.某同学会做老师给出的道题中的道．现从这道题中随机选道让该同学做，试求：选出的题中该同学会做的题目数的分布列．解：记该同学会做的题目数为，由题意，的可能取值为，，，所以该同学会做的题目数的分布列为：0123416.记为正项等比数列的前项和，已知．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．解：（1）设正项等比数列的公比为，因为，所以，所以．又，解得．所以．（2）由题知，所以，，两式相减得．所以．17.如图，三棱锥中，平面平面ABC，，M为AC的中点，，（1）求证：（2）求平面PBM与平面PBC夹角的余弦值.解：（1）取AB中点N，连接PN，MN，则，而，故因为，所以又，MN，平面PMN，所以平面因平面PMN，所以（2）因为平面平面ABC，平面，，所以平面因为平面PMN，所以，故PN，AB，MN两两垂直，以N为原点，AB，MN，PN所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，设平面PBM的法向量为，则即取，则设平面PBC的法向量为，则即取，则，所以，即平面PBM与平面PBC夹角的余弦值为18.在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆上，斜率为的直线与椭圆相交于两点（异于点）．（1）求椭圆的方程；（2）若的面积为，求直线的方程；（3）记直线与的斜率分别为，直线的斜率分别为，证明：．解：（1）由题知，解得，故椭圆的方程为．（2）设直线方程为，点的坐标分别为，联立方程，得，由，得，由韦达定理，有，所以，因原点到直线的距离为，所以的面积为，由，解得或，故直线的方程为或或或．（3）因为，，所以．19.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）求证：．解：（1）当时，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即．（2），则．对于方程．当，即时，，函数在上单调递减；当，即时，方程有两不等根，，且，所以当或时，；当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，．（3）由（2）知，当时，函数在上单调递减，又，所以当时，，即当时，．因为，所以，所以，即，所以，，，…，累加可得，即，所以．广东省部分高中2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】由题意得，故在复平面内对应点的坐标为，位于第二象限．故选：B2.在的展开式中，含项的系数为（）A.1512 B.504 C.－504 D.－1512【答案】D【解析】展开式的通项为，则含的项为，故含项的系数为－1512．故选：D3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】，故“”是“”的充要条件.故选：C4.有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的，甲、乙两台车床的正品率分别为．现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为（）A0.955 B.0.954 C.0.94 D.0.945【答案】B【解析】用事件表示“任取一件，取得正品”，事件表示“取到甲车床加工的零件”，事件表示“取到乙车床加工的零件”，则，所以取到正品的概率为．故选：B5.已知向量满足，且，则（）A B. C.2 D.3【答案】D【解析】由，得，即，整理得，解得，或（舍去）．故选：D.6.将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题知，因为函数的图象关于原点对称，所以，，所以，因为，所以的最小值为．故选：A.7.已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，由，得，函数在上单调递增，由，得，不等式化为，则，解得，所以不等式的解集为．故选：B8.高三毕业来临之际，3名教师，4名女同学和2名男同学排成一排拍照，已知3名教师互不相邻，4名女同学相邻且不在最左边也不在最右边，2名男同学互不相邻且不在最左边也不在最右边，则不同的排法种数共有（）A.1152种 B.384种 C.288种 D.144种【答案】A【解析】第一步：先将3名教师全排，共有种排法；第二步：将4名女同学＂捆绑＂在一起，共有种排法；第三步：将＂捆绑＂在一起的4名女同学作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插人，有种排法；第四步：首先将2名男同学之中的一人，插人第三步后相邻的两名教师中间，然后将另一个男同学插入由女同学与教师形成的2个空中的其中1个，共有种排法，所以不同的排法种数有：种．故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.从1，2，3，4，5，6，7，8中任取1个数．事件：取出的数是偶数；事件：取出的数是奇数；事件：取出的数小于7．则（）A.事件，是互斥事件 B.事件，是对立事件C. D.【答案】AC【解析】从1，2，3，4，5，6，7，8中任取1个数，取出数要么是奇数要么是偶数，不可能既是奇数又是偶数，也不可能既不是奇数也不是偶数，所以事件，是互斥事件，A正确.当取出的数字为3时，事件与事件，同时发生，事件，不是对立事件，B错误．，，D错误.，C正确．故选：AC10.在空间直角坐标系中，，则（）A. B.C.异面直线与所成角的余弦值为 D.点到直线的距离是【答案】ABD【解析】，A正确；，B正确；设异面直线与所成角为，则，C错误；到直线的距离为，D正确．故选：ABD11.已知过点的直线l与动圆相切，切点为M，记点M的轨迹为曲线Γ，则（）A.曲线Γ经过原点 B.曲线Γ是轴对称图形C.点在曲线Γ上 D.曲线Γ在第二象限的点的纵坐标有最大值【答案】ABC【解析】圆化为，圆心，半径为.设点，，，由题意可知，，则，整理得①.又因为，所以，展开化简得②.由①②消去，化简得，显然，其图象为：对于A选项，将原点代入中，等式成立，所以A正确.对于B选项，若为曲线上任意点，根据方程知也在曲线上，即曲线关于轴对称，所以B正确.对于C选项，将点代入曲线方程中，等式成立，C正确.对于D选项，根据，当时，显然第二象限的点的纵坐标无最大值，所以D错误，故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则______．【答案】【解析】因为的分布列服从两点分布，所以，因为，所以．故答案为：.13.在中，若，则边上的高为______.【答案】【解析】由余弦定理，得，设边上的高为，则，解得．故答案为：.14.设数列满足，且．用模取余运算：表示“整数除以整数，所得余数为整数”，如．设其中，则______；数列的前项和为，则______【答案】16；219【解析】由，且得，，所以数列各项除以4的余数为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，则各项除以4所得余数组成以6为周期的周期数列，所以，当为6的整数倍时，；当不为6的整数倍时，，所以；当时，，故．故答案为：16；219四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.某同学会做老师给出的道题中的道．现从这道题中随机选道让该同学做，试求：选出的题中该同学会做的题目数的分布列．解：记该同学会做的题目数为，由题意，的可能取值为，，，所以该同学会做的题目数的分布列为：0123416.记为正项等比数列的前项和，已知．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．解：（1）设正项等比数列的公比为，因为，所以，所以．又，解得．所以．（2）由题知，所以，，两式相减得．所以．17.如图，三棱锥中，平面平面ABC，，M为AC的中点，，（1）求证：（2）求平面PBM与平面PBC夹角的余弦值.解：（1）取AB中点N，连接PN，MN，则，而，故因为，所以又