2024-2025学年贵州省遵义市凤冈县高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1贵州省遵义市凤冈县2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由得：，即；由得：，即，.故选：A.2.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】，在复平面内对应的点为，位于第四象限.

故选：D.3.已知命题p：，，命题q：，，则（）A.p和q都是真命题 B.和q都是真命题C.p和都是真命题 D.和都是真命题【答案】B【解析】对于p而言，，故p是假命题，是真命题.对于q而言，，，故q是真命题，是假命题.综上，和q都真命题.故选：B.4.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】向量在向量上的投影向量为．故选：A5.已知角的终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为角的终边经过点，所以，故．故选：A.6.已知函数，在上单调递减，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为在上单调递减，所以，解得，则a的取值范围是.故选：D.7.如图，在棱长为3的正四面体中，为的中心，为PA的中点，，则（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】B【解析】连接AO，AE，PE．因为，，所以.故选：B.8.如图，已知为某建筑物的高，，分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高，，，分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，A，B，C分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量得米，米，，，在C点测得B点的仰角为33.69°，在B点测得A点的仰角为51.34°，则该建筑物的高约为（参考数据，，）（）A.268米 B.265米 C.266米 D.267米【答案】C【解析】如图，分别过,作，，垂足分别为F，D，过D作，垂足为E．根据题意易得，．在中，由正弦定理得，在中，,则，在中，,则，所以米．故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若复数，是方程的两个根，则（）A. B.为纯虚数C. D.【答案】BCD【解析】由，可得，则，则，是纯虚数，，．故选：BCD．10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.点是图象的一个对称中心B.的单调递增区间为，C.在上的值域为D.将的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则【答案】AC【解析】因为，所以点是图象的一个对称中心，A正确；令（），则（），故的单调递增区间为（），B错误；因为，所以，故在上的值域为，C正确；将的图象先向右平移个单位长度，可得函数的图象，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得的图象，D错误.故选：AC11.已知球的半径为，则（）A.球的内接正方体的内切球表面积为B.球的内接正方体的内切球体积为C.球的内接正四面体的内切球半径为D.球的内接正四面体的内切球半径为【答案】BC【解析】对于A，B，设球的内接正方体的棱长为，球的内接正方体的内切球的半径为，则球的内接正方体的内切球半径，球的半径，所以，所以表面积，体积，故A不正确，B正确；对于C，D，设球的内接正四面体的棱长为，球的内接正四面体的内切球半径为，如图，可知，，，由可得，解得，因为球的内接正四面体的体积，球的内接正四面体的表面积，又因为，所以球的内接正四面体的内切球半径，故C正确，D不正确．故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12.从1至5这5个整数中随机取2个不同的数，则这2个数的乘积为奇数的概率为__________.【答案】【解析】根据题意知样本空间，所以，事件为这2个数的乘积为奇数，所以，则，所以.13.已知点，，，，若A，B，C，D四点共面，则__________.【答案】【解析】由题可知，，，因为A，B，C，D四点共面，所以（m，），，即，解得，，所以.14.已知函数与的图像恰有一个交点，则__________．【答案】1【解析】由，可得，令，因为，所以为偶函数，即的图像关于轴对称，又恰有一个解，所以，即．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在四棱柱中，，，，，点满足．（1）若，求的值；（2）求．解：（1）连接，因为，所以，则．（2），，，．16.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求角A；（2）若，求的面积的最大值解：（1）由，可得，即，因为，所以，解得.（2）由余弦定理可得，因为，所以，则，所以的面积，当且仅当时，等号成立故的面积的最大值为.17.已知四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，，为PD的中点．（1）证明：平面．（2）求四棱锥的体积．（1）证明：设F为的中点，连接．因为为的中点，所以，，又，，所以，，故四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．（2）解：设G为的中点，连接，则，，所以四边形为平行四边形，所以，所以，所以．则梯形的面积为，故四棱锥体积为．18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求角；（2）若，，求的周长；（3）若，D，E是边BC上两点，且，求的值．解：（1）因为，所以由正弦定理可得，所以，所以，因为，则.，又因为，所以．（2）因为，所以，则，又因为，所以，故，得，所以的周长为．（3）因为，，．所以，则，因为，所以，则．因为，所以，则．19.如图，在几何体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，，.（1）求异面直线EB与DF所成角的余弦值（2）证明：平面平面BDF.（3）若M是几何体ABCDEF内的一个动点，且（），点N满足，，求的最小值.（1）解：以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.，，，，则，，，故异面直线EB与DF所成角的余弦值为.（2）证明：取BD的中点O，连接OE，OF，则，所以，，，，所以，，，则，所以.，，则，又为中点，所以，，所以平面BDF.因为平面EBD，所以平面平面BDF.（3）解：因为（），所以M在线段OE上.因为，所以，故N在平面BDF上.；设G为MN的中点，所以，因为，所以，故，所以的最小值为.贵州省遵义市凤冈县2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由得：，即；由得：，即，.故选：A.2.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】，在复平面内对应的点为，位于第四象限.

故选：D.3.已知命题p：，，命题q：，，则（）A.p和q都是真命题 B.和q都是真命题C.p和都是真命题 D.和都是真命题【答案】B【解析】对于p而言，，故p是假命题，是真命题.对于q而言，，，故q是真命题，是假命题.综上，和q都真命题.故选：B.4.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】向量在向量上的投影向量为．故选：A5.已知角的终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为角的终边经过点，所以，故．故选：A.6.已知函数，在上单调递减，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为在上单调递减，所以，解得，则a的取值范围是.故选：D.7.如图，在棱长为3的正四面体中，为的中心，为PA的中点，，则（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】B【解析】连接AO，AE，PE．因为，，所以.故选：B.8.如图，已知为某建筑物的高，，分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高，，，分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，A，B，C分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量得米，米，，，在C点测得B点的仰角为33.69°，在B点测得A点的仰角为51.34°，则该建筑物的高约为（参考数据，，）（）A.268米 B.265米 C.266米 D.267米【答案】C【解析】如图，分别过,作，，垂足分别为F，D，过D作，垂足为E．根据题意易得，．在中，由正弦定理得，在中，,则，在中，,则，所以米．故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若复数，是方程的两个根，则（）A. B.为纯虚数C. D.【答案】BCD【解析】由，可得，则，则，是纯虚数，，．故选：BCD．10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.点是图象的一个对称中心B.的单调递增区间为，C.在上的值域为D.将的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则【答案】AC【解析】因为，所以点是图象的一个对称中心，A正确；令（），则（），故的单调递增区间为（），B错误；因为，所以，故在上的值域为，C正确；将的图象先向右平移个单位长度，可得函数的图象，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得的图象，D错误.故选：AC11.已知球的半径为，则（）A.球的内接正方体的内切球表面积为B.球的内接正方体的内切球体积为C.球的内接正四面体的内切球半径为D.球的内接正四面体的内切球半径为【答案】BC【解析】对于A，B，设球的内接正方体的棱长为，球的内接正方体的内切球的半径为，则球的内接正方体的内切球半径，球的半径，所以，所以表面积，体积，故A不正确，B正确；对于C，D，设球的内接正四面体的棱长为，球的内接正四面体的内切球半径为，如图，可知，，，由可得，解得，因为球的内接正四面体的体积，球的内接正四面体的表面积，又因为，所以球的内接正四面体的内切球半径，故C正确，D不正确．故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12.从1至5这5个整数中随机取2个不同的数，则这2个数的乘积为奇数的概率为__________.【答案】【解析】根据题意知样本空间，所以，事件为这2个数的乘积为奇数，所以，则，所以.13.已知点，，，，若A，B，C，D四点共面，则__________.【答案】【解析】由题可知，，，因为A，B，C，D四点共面，所以（m，），，即，解得，，所以.14.已知函数与的图像恰有一个交点，则__________．【答案】1【解析】由，可得，令，因为，所以为偶函数，即的图像关于轴对称，又恰有一个解，所以，即．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在四棱柱中，，，，，点满足．（1）若，求的值；（2）求．解：（1）连接，因为，所以，则．（2），，，．16.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求角A；（2）若，求的面积的最大值解：（1）由，可得，即，因为，所以，解得.（2）由余弦定理可得，因为，所以，则，所以的面积，当且仅当时，等号成立故的面积的最大值为.17.已知四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，，为PD的中点．（1）证明：平面．（2）求四棱锥的体积．（1）证明：设F为的中点，连接．因为为的中点，所以，，又，，所以，，故四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．（2）解：设G为的中点，连接，则，，所以四边形为平行四边形，所以，所以，所以．则梯形的面积为，故四棱锥体积为．18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求角；（2）若，，求的周长；（3）若，D，E是边BC上两点，且，求的值．解：（1）因为，所以由正弦定理可得，所以，所以，因为，则.，又因为，所以．（2）因为，所以，则，又因为，所以，故，得，所以的周长为．（3）因为，，．所以，则，因为，所以，则．因为，所以，则．19.如图，在几何体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，，.（1）求异面直线EB与DF