2024-2025学年湖南省部分学校高二上学期期中联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省部分学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以故选：C.2.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，，所以渐近线方程为，即故选：C.3.已知角的终边不在坐标轴上，且，则（）A. B. C.或1 D.【答案】A【解析】因为，所以，因为角的终边不在坐标轴上，所以，则，由二倍角余弦公式可得：故选：A.4.阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆长半轴的长度、短半轴的长度和圆周率三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆的面积为，，为椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上任意一点.若，则椭圆C的焦距为().A.3 B.2 C. D.【答案】D【解析】根据题意可得，则，因为，所以a=2，则，所以椭圆C的焦距为：故选：D.5.设函数，若在上单调递增，则a的取值范围为().A. B. C. D.【答案】B【解析】因为若在上单调递增，且，可得，即，解得，即a的取值范围为.故选：.6.已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】C【解析】由题意得，准线为，点A在抛物线C的内部，过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D，则有，当且仅当，P为AB与抛物线的交点时，等号成立，所以的最小值为故选：C.7.刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体.现有一个刍甍如图所示，底面BCDE为矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意得，，所以，又，，所以设异面直线AE与BD所成的角为，则故选：A.8.已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】设，则，，因为，所以，即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上.点在直线上，所以直线与圆有公共点，则，解得故选:B.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线过定点则下列结论正确的是（）A.P的坐标为B.当时，l在y轴上的截距为C.若l与直线垂直，则D.点P在圆的外部【答案】ABD【解析】对于A，由题意得直线，即，由，解得，故A正确；对于B，当时，直线l为，令x=0，，所以在y轴上的截距为，故B正确；对于C，由，解得，故C错误；对于D，因为，所以点P在圆的外部，故D正确.故选：ABD.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.点是图象的一个对称中心B.的单调递增区间为，C.在上的值域为D.将的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则【答案】AC【解析】因为，所以点是图象的一个对称中心，A正确；令（），则（），故的单调递增区间为（），B错误；因为，所以，故在上的值域为，C正确；将的图象先向右平移个单位长度，可得函数的图象，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得的图象，D错误.故选：AC.11.若平面，平面，平面，则称点F为点E在平面内的正投影，记为如图，在直四棱柱中，，，分别为，的中点，，记平面为，平面ABCD为，，（）A.若，则B.存在点H，使得平面C.线段长度最小值是D.存在点H，使得【答案】ABC【解析】对于A：因为为直四棱柱，，所以以A为坐标原点，AD，AB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，连接PQ，则，，，，，故，，所以，即Q，B，N，P四点共面，若，则，解得，A正确；对于B：过点H作，交于点G，过点G作AB的垂线，垂足即，过点A作的垂线，垂足即，连接，，由题意可得，则，，，，故，，，，易得是平面的一个法向量，若平面，则，即，解得，符合题意，所以存在点H，使得平面，B正确，对于C：，当时，取得最小值，最小值为，C正确.对于D：若，则，得，无解，所以不存在点H，使得，D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量与的夹角为，，，则______，______【答案】2【解析】由题意得，因为，所以.13.甲、乙两人从九寨沟、峨眉山和青城山这三个景点中各选择其中一个景点游玩，已知甲、乙两人选择三个景点游玩的概率分别是，，和，，，则甲、乙两人选择相同的景点游玩的概率为__________.【答案】【解析】由题意知甲，乙两人选择景点游玩相互独立，所以甲、乙两人选择相同的景点游玩的概率为14.已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为2的直线与的一条渐近线在第四象限相交于点，四边形为平行四边形.若直线的斜率，则的离心率的取值范围为_____.【答案】【解析】由题意可得F1-c,0，由于为平行四边形，故,直线的方程为，渐近线方程，联立，故,所以，因此，化简得，故离心率为.四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求角A；（2）若，求的面积的最大值解：（1）由，可得，即，因为，所以，解得.（2）由余弦定理可得，因为，所以，则，所以的面积，当且仅当时，等号成立.故的面积的最大值为.16.已知直线，圆（1）若，求直线l截圆M所得的弦长;（2）已知直线l过定点若过点P作圆M的切线，求点P的坐标及该切线方程.解：（1）当时，直线，圆M的圆心为，半径为3，则圆心M到直线l的距离为，则直线l截圆M所得的弦长为；（2）由得，所以定点，由题意得切线的斜率存在，则设切线的方程为，即，所以，解得，故所求切线方程为，即或17.已知双曲线的实轴长为，且过点（1）求双曲线C的方程.（2）过双曲线C的右焦点F作斜率为的直线l，l与双曲线C交于A，B两点，求（3）若M，N是双曲线C上不同的两点.且直线MN的斜率为，线段MN的中点为P，证明：点P在直线上.解：（1）根据题意可得，则将点的坐标代入，得，解得，故双曲线C的方程为（2）由（1）得，则，则直线l的方程为设，由，得，，，，所以（3）设，，则，两式相减得设，则，所以，即，所以，即，所以点P在直线上.18.如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面（1）证明：平面（2）求直线与平面所成角的正弦值.（3）棱BC上是否存在一点P，使得二面角的余弦值为若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由.（1）证明：因为底面ABCD是正方形，所以又因为平面ABCD，平面ABCD，所以因为，且，平面，所以平面（2）解：因为平面，平面，所以，，又底面ABCD是正方形，，故AB，AD，两两垂直，以AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，设平面的法向量为，则，解得，令，则，故设直线与平面所成的角为，则，故直线与平面所成角正弦值为（3）解：若存点P满足题意，则可设点，其中，则，设平面的法向量为，则，令，则，故易得平面的一个法向量为，所以，解得或舍去)，故棱BC上存在一点P，当时，二面角的余弦值为19.若将任意平面向量绕其起点E沿逆时针方向旋转角，得到向量，则称点F绕点E逆时针方向旋转角得到点曲线是由椭圆在平面直角坐标系中绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆（1）求椭圆C的标准方程.（2）已知M，N是椭圆C长轴的两个顶点，P，Q为椭圆C上异于M，N且关于y轴对称的两点.若直线MP与直线NQ交于点T，证明点T在某定曲线上，并求出该曲线的方程.（3）过椭圆C的上焦点作平行于x轴的直线m，交椭圆C于A，B两点，D是抛物线上不同于点A，B的动点.若直线DA与椭圆C的另一个交点为G，直线DB与椭圆C的另一个交点为H，试问直线HG是否过定点?若是，求该定点的坐标;若不是，请说明理由.解：（1）（方法一）设为椭圆C上任意一点，则为斜椭圆上一点，则，化简得，故椭圆C的标准方程为(方法二)由得或,由得或，椭圆C的长轴长为，得，椭圆C的短轴长为，得故椭圆C的标准方程为（2）根据椭圆的对称性，不妨设，，设，，则，，，由P，M，T三点共线，得，，，由Q，N，T三点共线，得，则，因为，所以，即，故点T在某定曲线上，该定曲线的方程为（3）根据椭圆的对称性，不妨设，设，，，，直线AG的方程为，直线BH的方程为由得，所以，得，则同理可得，由对称性知，若过定点，则定点在y轴上.取，则，，则直线GH的方程为，得定点为；下面证明直线GH过定点因为，，所以，所以直线GH过定点.湖南省部分学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以故选：C.2.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，，所以渐近线方程为，即故选：C.3.已知角的终边不在坐标轴上，且，则（）A. B. C.或1 D.【答案】A【解析】因为，所以，因为角的终边不在坐标轴上，所以，则，由二倍角余弦公式可得：故选：A.4.阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆长半轴的长度、短半轴的长度和圆周率三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆的面积为，，为椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上任意一点.若，则椭圆C的焦距为().A.3 B.2 C. D.【答案】D【解析】根据题意可得，则，因为，所以a=2，则，所以椭圆C的焦距为：故选：D.5.设函数，若在上单调递增，则a的取值范围为().A. B. C. D.【答案】B【解析】因为若在上单调递增，且，可得，即，解得，即a的取值范围为.故选：.6.已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】C【解析】由题意得，准线为，点A在抛物线C的内部，过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D，则有，当且仅当，P为AB与抛物线的交点时，等号成立，所以的最小值为故选：C.7.刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体.现有一个刍甍如图所示，底面BCDE为矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意得，，所以，又，，所以设异面直线AE与BD所成的角为，则故选：A.8.已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】设，则，，因为，所以，即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上.点在直线上，所以直线与圆有公共点，则，解得故选:B.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线过定点则下列结论正确的是（）A.P的坐标为B.当时，l在y轴上的截距为C.若l与直线垂直，则D.点P在圆的外部【答案】ABD【解析】对于A，由题意得直线，即，由，解得，故A正确；对于B，当时，直线l为，令x=0，，所以在y轴上的截距为，故B正确；对于C，由，解得，故C错误；对于D，因为，所以点P在圆的外部，故D正确.故选：ABD.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.点是图象的一个对称中心B.的单调递增区间为，C.在上的值域为D.将的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则【答案】AC【解析】因为，所以点是图象的一个对称中心，A正确；令（），则（），故的单调递增区间为（），B错误；因为，所以，故在上的值域为，C正确；将的图象先向右平移个单位长度，可得函数的图象，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得的图象，D错误.故选：AC.11.若平面，平面，平面，则称点F为点E在平面内的正投影，记为如图，在直四棱柱中，，，分别为，的中点，，记平面为，平面ABCD为，，（）A.若，则B.存在点H，使得平面C.线段长度最小值是D.存在点H，使得【答案】ABC【解析】对于A：因为为直四棱柱，，所以以A为坐标原点，AD，AB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，连接PQ，则，，，，，故，，所以，即Q，B，N，P四点共面，若，则，解得，A正确；对于B：过点H作，交于点G，过点G作AB的垂线，垂足即，过点A作的垂线，垂足即，连接，，由题意可得，则，，，，故，，，，易得是平面的一个法向量，若平面，则，即，解得，符合题意，所以存在点H，使得平面，B正确，对于C：，当时，取得最小值，最小值为，C正确.对于D：若，则，得，无解，所以不存在点H，使得，D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量与的夹角为，，，则______，______【答案】2【解析】由题意得，因为，所以.13.甲、乙两人从九寨沟、峨眉山和青城山这三个景点中各选择其中一个景点游玩，已知甲、乙两人选择三个景点游玩的概率分别是，，和，，，则甲、乙两人选择相同的景点游玩的概率为__________.【答案】【解析】由题意知甲，乙两人选择景点游玩相互独立，所以甲、乙两人选择相同的景点游玩的概率为14.已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为2的直线与的一条渐近线在第四象限相交于点，四边形为平行四边形.若直线的斜率，则的离心率的取值范围为_____.【答案】【解析】由题意可得F1-c,0，由于为平行四边形，故,直线的方程为，渐近线方程，联立，故,所以，因此，化简得，故离心率为.四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求角A；（2）若，求的面积的最大值解：（1）由，可得，即，因为，所以，解得.（2）由余弦定理可得，因为，所以，则，所以的面积，当且仅当时，等号成立.故的面积的最大值为.16.已知直线，圆（1）若，求直线l截圆M所得的弦长;（2）已知直线l过定点若过点P作圆M的切线，求点P的坐标及该切线方程.解：（1）当时，直线，圆M的圆心为，半径为3，则圆心M到直线l的距离为，则直线l截圆M所得的弦长为；（2）由得，所以定点，由题意得切线的斜率存在，则设切线的方程为，即，所以，解得，故所求切线方程为，即或17.已知双曲线的实轴长为，且过点（1）求双曲线C的方程.（2）过双曲线C的右焦点F作斜率为的直线l，l与双曲线C交于A，B两点，求（3）若M，N是双曲线C上不同的两点.且直线MN的斜率为，线段MN的中点为P，证明：点P在直线上.解：（1）根据题意可得，则将点的坐标代入，得，解得，故双曲线C的方程为（2）由（1）得，则，则直线l的方程为设，由，得，，，，所以（3）设，，则，两式相减得设，则，所以，即，所以，即，所以点P在直线上.18.如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面（1）证明：平面（2）求直线与平面所成角的正弦值.（3）棱BC上是否存在一点P，使得二面角的余弦值为若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由.（1）证明：因为底面ABCD是正方形，所以又因为平面ABCD，平面ABCD，所以因为，且，平面，所以平面（2）解：因为平面，平面，所以，，又底面ABCD是正方形，，故AB，AD，两两垂直，以AB，AD，所在直线分别