2024-2025学年湖南省部分学校高一下学期期中联考数学试卷 （解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省部分学校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第八章第3节．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.化简：（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】因为.故选：C2.若复数，则（）A.2 B. C.10 D.【答案】D【解析】因为，所以.故选：D.3.已知平面向量，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】向量，，由，得，所以.故选：A4.在中，，则（）A.5 B.3或5 C.4 D.2或4【答案】B【解析】由余弦定理，得，即，即，解得或5，经检验，均满足题意.故选：B.5.若长方体的长、宽、高分别为1，1，2，则该长方体外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知长方体的对角线长为.所以外接球半径为，体积为.故选：A.6.已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，解得，所以向量在向量上的投影向量为.故选：C.7.中国冶炼铸铁的技术起源于春秋时期，并在战国时期取得了显著的进步，推动了当时社会的发展.现将一个半径为2cm的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，高为2cm，则该圆台的表面积为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依题意，圆台体积，如图所示，设圆台较大的底面半径为，则较小的底面半径为，于是，解得，过点B作，垂足为，由圆台的结构特征得底面，母线，圆台表面积.故选：B8.已知内有一点满足，则向量与的夹角为（）A.锐角 B.直角 C.钝角 D.平角【答案】B【解析】由条件得，则，所以，所以，则，即，所以，则，所以向量与的夹角为．故选：．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.给出下列命题，其中是真命题的有（）A.在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线B.有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的立体图形是棱锥C.存在每个面都是直角三角形的四面体D.半圆面绕其直径所在的直线旋转一周形成球【答案】CD【解析】对A：圆台的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是母线，

因为圆台所有母线的延长线交于一点，且所有母线长相等，故A选项错误；对B：由棱锥的定义知，其余各面的三角形必须有公共的顶点，故B选项错误；对C：如图，四面体ABCD的每个面都是直角三角形，故C选项正确；对D：半圆面绕其直径所在的直线旋转一周所得几何体是一个球体，故D选项正确；故选：CD.10.已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则是实数C.若，则是纯虚数 D.若，则【答案】ABC【解析】因为，又，所以，A正确；设，则，所以为实数，B正确；设，则，又，所以，，所以是纯虚数，C正确；若，，则满足，而，D错误.故选：ABC.11.如图，某旅游部门计划在湖中心处建一游览亭，打造一条三角形游览路线．已知是湖岸上的两条甬路，，（观光亭视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计），则（）A.B.当时，C.面积的最大值为D.游览路线最长为【答案】ACD【解析】在中，由余弦定理得，所以正确；在中，由正弦定理，得错误；在中，由余弦定理，，当且仅当时等号成立，所以，则的面积为，C正确；由上可得，所以，当且仅当时等号成立，所以，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在复平面内，复数、对应的向量分别是、，其中是坐标原点，则向量对应的复数为______.【答案】【解析】因为复数、对应的向量分别是、，则，，所以，则向量对应的复数为.故答案为：.13.用斜二测画法作一个水平放置的平行四边形的直观图，若直观图是一个角为，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为______．【答案】8【解析】根据斜二测画法可知，原来的平行四边形为一个矩形，且该矩形的宽为2，长为4，故原来的平行四边形的面积为，故答案为：8．14.如图，在中，，是上的一点，为上一点，且，若，，则的值为______.【答案】【解析】因为，，三点共线，且，所以，所以，所以，所以，又，，，所以.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数，（，为虚数单位）．（1）若为纯虚数，求实数的值；（2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围．（1）解：由复数，，可得，因为复数为纯虚数，所以，解得．（2）解：由，可得，因为在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，解得所以实数的取值范围为．16.一个边长为4的正方形剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，得到如图所示的五边形，将五边形绕直线旋转一周.（1）求所得几何体的体积；（2）求所得几何体的表面积.解：（1）将五边形绕直线旋转一周得到的几何体是一个底面半径为4高为4的圆柱挖去一个底面半径为2高为2的圆锥，所以所得几何体的体积；（2）易知圆锥的母线为，所以，，所得几何体的表面积.17.在等腰梯形中，，为的中点，点在上，且，记.（1）用向量表示向量；（2）求的值.解：（1）如图所示，连接，则四边形为平行四边形，所以，因为点在上，且，所以，所以.（2）由（1）可知，，在等腰梯形中，过分别作的垂线，垂足分别为，则，所以，由题意知，且，.18.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且满足.请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题：条件：①；②.（1）证明：；（2）若的平分线交于，，，求的值；（3）求的取值范围.注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.解：（1）若选①：因为，由正弦定理得，因为，所以，所以，所以，或（舍去），即；若选②：由正弦定理及，得，所以，所以，因为，所以，所以或（舍去），所以；（2）因为，为锐角，所以，，因为，所以，所以，所以，；（3）由是锐角三角形，，，，可得，所以，，令，则，在上单调递增，而，，所以，所以.19.如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．（1）在仿射坐标系中，若，，且，求实数；（2）在仿射坐标系中，若，．①当时，求；②设，若对任意实数，恒成立，求的最大值．解：（1）因为，，所以，又因为，存在实数使得，即，所以，可得，解得．（1）①当时，，，，所以，，，所以．②因为，，，由，得，所以对恒成立，又因为，所以，解得，因为，所以满足题意．所以，又因为，所以，所以的最大值为．湖南省部分学校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第八章第3节．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.化简：（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】因为.故选：C2.若复数，则（）A.2 B. C.10 D.【答案】D【解析】因为，所以.故选：D.3.已知平面向量，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】向量，，由，得，所以.故选：A4.在中，，则（）A.5 B.3或5 C.4 D.2或4【答案】B【解析】由余弦定理，得，即，即，解得或5，经检验，均满足题意.故选：B.5.若长方体的长、宽、高分别为1，1，2，则该长方体外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知长方体的对角线长为.所以外接球半径为，体积为.故选：A.6.已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，解得，所以向量在向量上的投影向量为.故选：C.7.中国冶炼铸铁的技术起源于春秋时期，并在战国时期取得了显著的进步，推动了当时社会的发展.现将一个半径为2cm的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，高为2cm，则该圆台的表面积为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依题意，圆台体积，如图所示，设圆台较大的底面半径为，则较小的底面半径为，于是，解得，过点B作，垂足为，由圆台的结构特征得底面，母线，圆台表面积.故选：B8.已知内有一点满足，则向量与的夹角为（）A.锐角 B.直角 C.钝角 D.平角【答案】B【解析】由条件得，则，所以，所以，则，即，所以，则，所以向量与的夹角为．故选：．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.给出下列命题，其中是真命题的有（）A.在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线B.有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的立体图形是棱锥C.存在每个面都是直角三角形的四面体D.半圆面绕其直径所在的直线旋转一周形成球【答案】CD【解析】对A：圆台的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是母线，

因为圆台所有母线的延长线交于一点，且所有母线长相等，故A选项错误；对B：由棱锥的定义知，其余各面的三角形必须有公共的顶点，故B选项错误；对C：如图，四面体ABCD的每个面都是直角三角形，故C选项正确；对D：半圆面绕其直径所在的直线旋转一周所得几何体是一个球体，故D选项正确；故选：CD.10.已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则是实数C.若，则是纯虚数 D.若，则【答案】ABC【解析】因为，又，所以，A正确；设，则，所以为实数，B正确；设，则，又，所以，，所以是纯虚数，C正确；若，，则满足，而，D错误.故选：ABC.11.如图，某旅游部门计划在湖中心处建一游览亭，打造一条三角形游览路线．已知是湖岸上的两条甬路，，（观光亭视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计），则（）A.B.当时，C.面积的最大值为D.游览路线最长为【答案】ACD【解析】在中，由余弦定理得，所以正确；在中，由正弦定理，得错误；在中，由余弦定理，，当且仅当时等号成立，所以，则的面积为，C正确；由上可得，所以，当且仅当时等号成立，所以，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在复平面内，复数、对应的向量分别是、，其中是坐标原点，则向量对应的复数为______.【答案】【解析】因为复数、对应的向量分别是、，则，，所以，则向量对应的复数为.故答案为：.13.用斜二测画法作一个水平放置的平行四边形的直观图，若直观图是一个角为，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为______．【答案】8【解析】根据斜二测画法可知，原来的平行四边形为一个矩形，且该矩形的宽为2，长为4，故原来的平行四边形的面积为，故答案为：8．14.如图，在中，，是上的一点，为上一点，且，若，，则的值为______.【答案】【解析】因为，，三点共线，且，所以，所以，所以，所以，又，，，所以.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数，（，为虚数单位）．（1）若为纯虚数，求实数的值；（2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围．（1）解：由复数，，可得，因为复数为纯虚数，所以，解得．（2）解：由，可得，因为在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，解得所以实数的取值范围为．16.一个边长为4的正方形剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，得到如图所示的五边形，将五边形绕直线旋转一周.（1）求所得几何体的体积；（2）求所得几何体的表面积.解：（1）将五边形绕直线旋转一周得到的几何体是一个底面半径为4高为4的圆柱挖去一个底面半径为2高为2的圆锥，所以所得几何体的体积；（2）易知圆锥的母线为，所以，，所得几何体的表面积.17.在等腰梯形中，，为的中点，点在上，且，记.（1