23.3.3相似三角形的性质课件华东师大版数学九年级上册

23.3.3相似三角形的性质第23章

图形的相似【2025-2026学年华东师大版】数学

九年级上册

授课教师：********班级：********时间：********幻灯片1：封面标题：23.3.3相似三角形的性质副标题：对应成比例，性质藏其中幻灯片2：复习回顾相似三角形的定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形。相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似。两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。引入：我们已经知道相似三角形的对应角相等、对应边成比例，除此之外，相似三角形还有哪些特殊的性质呢？比如对应高、对应中线、周长、面积等之间有什么关系？本节课将深入探究。幻灯片3：相似三角形对应高的比等于相似比探究过程：已知\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，相似比为\(k\)，即\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=k\)，\(\angleB=\angleE\)。分别作\(\triangleABC\)和\(\triangleDEF\)的高\(AH\)、\(DG\)（\(H\)在\(BC\)上，\(G\)在\(EF\)上），则\(\angleAHB=\angleDGE=90^\circ\)。在\(\triangleABH\)和\(\triangleDEG\)中，\(\angleB=\angleE\)，\(\angleAHB=\angleDGE\)，所以\(\triangleABH\sim\triangleDEG\)（两角分别相等）。因此\(\frac{AH}{DG}=\frac{AB}{DE}=k\)。性质1：相似三角形对应高的比等于相似比。幻灯片4：相似三角形对应中线的比等于相似比探究过程：已知\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，相似比为\(k\)，\(AM\)、\(DN\)分别是\(BC\)、\(EF\)边上的中线（\(M\)是\(BC\)中点，\(N\)是\(EF\)中点）。则\(BM=\frac{1}{2}BC\)，\(EN=\frac{1}{2}EF\)，所以\(\frac{BM}{EN}=\frac{BC}{EF}=k\)。又因为\(\angleB=\angleE\)，\(\frac{AB}{DE}=k\)，所以\(\triangleABM\sim\triangleDEN\)（两边成比例且夹角相等）。因此\(\frac{AM}{DN}=\frac{AB}{DE}=k\)。性质2：相似三角形对应中线的比等于相似比。幻灯片5：相似三角形对应角平分线的比等于相似比探究过程：已知\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，相似比为\(k\)，\(AQ\)、\(DR\)分别是\(\angleBAC\)、\(\angleEDF\)的角平分线。则\(\angleBAQ=\frac{1}{2}\angleBAC\)，\(\angleEDR=\frac{1}{2}\angleEDF\)，因为\(\angleBAC=\angleEDF\)，所以\(\angleBAQ=\angleEDR\)。又因为\(\angleB=\angleE\)，所以\(\triangleABQ\sim\triangleDER\)（两角分别相等）。因此\(\frac{AQ}{DR}=\frac{AB}{DE}=k\)。性质3：相似三角形对应角平分线的比等于相似比。幻灯片6：相似三角形周长的比等于相似比推导过程：设\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，相似比为\(k\)，则\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=k\)。所以\(AB=k\cdotDE\)，\(BC=k\cdotEF\)，\(AC=k\cdotDF\)。\(\triangleABC\)的周长\(C_1=AB+BC+AC=k(DE+EF+DF)\)。\(\triangleDEF\)的周长\(C_2=DE+EF+DF\)。因此\(\frac{C_1}{C_2}=k\)。性质4：相似三角形周长的比等于相似比。幻灯片7：相似三角形面积的比等于相似比的平方推导过程：设\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，相似比为\(k\)，对应高分别为\(h_1\)、\(h_2\)，则\(\frac{h_1}{h_2}=k\)，\(\frac{BC}{EF}=k\)。\(\triangleABC\)的面积\(S_1=\frac{1}{2}\cdotBC\cdoth_1\)。\(\triangleDEF\)的面积\(S_2=\frac{1}{2}\cdotEF\cdoth_2\)。因此\(\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{1}{2}\cdotBC\cdoth_1}{\frac{1}{2}\cdotEF\cdoth_2}=\frac{BC}{EF}\cdot\frac{h_1}{h_2}=k\cdotk=k^2\)。性质5：相似三角形面积的比等于相似比的平方。幻灯片8：例题1——利用对应线段性质求长度题目：已知\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，相似比为\(2:3\)，\(\triangleABC\)中\(BC\)边上的高为\(4\)，求\(\triangleDEF\)中\(EF\)边上的高。解答过程：因为相似三角形对应高的比等于相似比，设\(\triangleDEF\)中\(EF\)边上的高为\(h\)。则\(\frac{4}{h}=\frac{2}{3}\)，解得\(h=6\)。结论：\(\triangleDEF\)中\(EF\)边上的高为\(6\)。幻灯片9：例题2——利用周长和面积性质求解题目：两个相似三角形的周长分别为\(18cm\)和\(27cm\)，且其中一个三角形的面积为\(48cm^2\)，求另一个三角形的面积。解答过程：相似三角形周长的比等于相似比，所以相似比\(k=\frac{18}{27}=\frac{2}{3}\)。面积比等于相似比的平方，即\(\frac{S_1}{S_2}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}\)。当面积为\(48cm^2\)的三角形是较小三角形时，\(\frac{48}{S_2}=\frac{4}{9}\)，解得\(S_2=108cm^2\)。当面积为\(48cm^2\)的三角形是较大三角形时，\(\frac{S_1}{48}=\frac{4}{9}\)，解得\(S_1=\frac{64}{3}cm^2\)。结论：另一个三角形的面积为\(108cm^2\)或\(\frac{64}{3}cm^2\)。幻灯片10：例题3——综合运用相似三角形性质题目：如图，\(\triangleABC\sim\triangleADE\)，\(AB=5\)，\(AD=3\)，\(BC=7\)，\(\triangleABC\)的面积为\(25\)，求\(DE\)的长度和\(\triangleADE\)的面积。解答过程：相似比\(k=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{5}\)。因为对应边的比等于相似比，所以\(\frac{DE}{BC}=k\)，即\(\frac{DE}{7}=\frac{3}{5}\)，解得\(DE=\frac{21}{5}=4.2\)。面积比等于相似比的平方，所以\(\frac{S_{\triangleADE}}{S_{\triangleABC}}=k^2=(\frac{3}{5})^2=\frac{9}{25}\)。因此\(S_{\triangleADE}=25\times\frac{9}{25}=9\)。结论：\(DE=4.2\)，\(\triangleADE\)的面积为\(9\)。幻灯片11：易错点分析混淆对应线段的类型：错误地认为相似三角形中任意线段的比都等于相似比，实际上只有对应高、对应中线、对应角平分线等对应线段的比才等于相似比，非对应线段不满足。例如，一个三角形的高与另一个三角形的中线的比不一定等于相似比。面积比与相似比的关系错误：误将面积比等于相似比，而忽略面积比是相似比的平方。例如，相似比为\(2:3\)时，面积比应为\(4:9\)，而非\(2:3\)。对应关系不明确：在应用性质时，未明确对应边、对应线段的关系，导致计算错误。例如，\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，但误将\(BC\)对应\(DF\)，从而使对应高的比计算错误。幻灯片12：课堂练习1——基础应用题目：（1）若两个相似三角形的相似比为\(1:4\)，则它们对应中线的比为______，面积比为______。（2）已知\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，\(S_{\triangleABC}:S_{\triangleDEF}=9:25\)，且\(\triangleABC\)的周长为\(18\)，则\(\triangleDEF\)的周长为______。答案：（1）\(1:4\)，\(1:16\)；（2）\(30\)。幻灯片13：课堂练习2——综合应用题目：如图，\(\triangleABC\sim\triangleA'B'C'\)，\(AD\)和\(A'D'\)分别是它们的对应角平分线，已知\(AD=6\)，\(A'D'=8\)，\(\triangleABC\)的面积为\(45\)，求\(\triangleA'B'C'\)的面积。解答过程：相似比\(k=\frac{AD}{A'D'}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\)。面积比\(\frac{S_{\triangleABC}}{S_{\triangleA'B'C'}}=k^2=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}\)。即\(\frac{45}{S_{\triangleA'B'C'}}=\frac{9}{16}\)，解得\(S_{\triangleA'B'C'}=80\)。答案：\(80\)。幻灯片14：课堂小结相似三角形的性质：对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。周长的比等于相似比。面积的比等于相似比的平方。应用要点：明确对应关系，确保对应边、对应线段准确对应。区分线段比与面积比的不同，牢记面积比是相似比的平方。结合相似三角形的判定定理，综合解决几何问题。幻灯片15：布置作业基础作业：两个相似三角形的相似比为\(2:5\)，其中较大三角形的一条中线长为\(20\)，求较小三角形对应中线的长。已知\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，\(\triangleABC\)的面积为\(12\)，\(\triangleDEF\)的面积为\(3\)，求它们的相似比和周长比。提升作业：如图，在\(\triangleABC\)中，\(DE\parallelBC\)，\(DE=2\)，\(BC=5\)，\(\triangleADE\)的面积为\(4\)，求梯形\(DBCE\)的面积。求证：相似三角形对应边上的高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比（任选一种进行证明）。5课堂检测4新知讲解6变式训练7中考考法8小结梳理学习目录1复习引入2新知讲解3典例讲解判定两个三角形相似的简便方法有哪些？复习导入定义法平行法判定定理1、2、3.推进新课在下图中，△ABC

和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k

，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、A′D′之间有什么关系？ABCDA′B′C′D′∵△ABC

和△A′B′C′都是直角三角形，且∠B=∠B′，∴△ABD

∽△A′B′D′，由此可以得出结论：相似三角形对应边上的高的比等于相似比.由此可以得出结论：相似三角形面积的比等于相似比的平方.思考如图，△ABC

和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的中线，BE、B′E′分别是对应角的平分线，那么它们之间是否有与对应边上的高类似的关系？这两个三角形的周长又是什么关系呢？ABCEDA′B′C′E′D′由此可以得出结论：相似三角形对应角的平分线之比等于相似比.相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.相似三角形的周长之比等于相似比.ABCEDA′B′C′E′D′随堂演练1.如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（图形）的示意图.已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面为1m，若灯泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为__________.运用相似三角形对应高的比等于相似比.0.81πm2d=1.2md′h′hd′=1.8m.2.如图，△ABC

中，BC=24cm，高AD=12cm，矩形EFGH

的两个顶点E、F

在BC上，另两个顶点G、H

分别在AC、AB

上，且EF∶EH=4∶3，求EF、EH

的长.解：在矩形EFGH

中，HG∥EF，即HG∥BC，∴△AHG

∽△ABC，设相似比为k

，又

EH⊥BC，

AD⊥BC，∴

EH∥AD，∴△BEH

∽△BDA.∴EH=12（1-k）.∵EF

:EH=4:3，∴24k:12（1-k）=4:3，∴k

=

0.4.∴EF=24k=9.6cm，EH=7.2cm.B返回返回7返回3．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，CF，EG分别是△ABC与△ADE的中线，已知AD∶DB＝4∶3，EG＝4，则CF＝________．4.[2024内江中考]已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△DEF的周长之比是(

)A．1∶1B．1∶3

C．1∶6D．1∶9B返回D5．两个相似三角形的最短边长分别为5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，则大三角形的周长为(

)A．14cmB．16cmC．18cmD．30cm返回返回6．已知△ABC∽△DEF，它们的周长分别为20和25，且BC＝5，DF＝4，求AC和EF的长．返回7.若两个相似三角形对应边上的高的比为1∶3，则这两个相似三角形的面积比是________．1∶9返回128．[2024辽宁中考]如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且△AOB与△DOC的面积比是1∶4，若AB＝6，则CD的长为________．返回9.在▱ABCD中，点E是边AD的三等分点，连结BE，AC，BE与AC相交于点F，则S△AEF∶S△CBF＝________．10．[2025周口期中]如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．(1)求证：△ABC∽△DEC；证明：∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE＋∠ECA＝∠ACD＋∠ECA，即∠BCA＝∠ECD，又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC.返回(2)若S△ABC∶S△DEC＝9∶16，△ABC的周长为9，求△DEC的周长．返回B11．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F.若AE＝