广西陆川县中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题

广西陆川县中学2017年秋季期高二期考试卷理科数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)A． B． C． D．A．eq\f(\r(7),3)B．eq\f(5,4) C．eq\f(4,3)D．eq\f(5,3)A.[2，6]B.（－∞，10]C.[2，10]D.（－∞，6]A.4B.-6C.8D.5．若下列不等式成立的是()A.B.C.D.A.B.C.14D.10A.B.C.D.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10．下列有关命题的说法正确的是（）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．观察下列不等式……照此规律，第五个不等式为.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题10分）(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题.（本小题12分）已知三棱锥S－ABC中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC，SA＝3，（1）如图建立空间直角坐标系，写出eq\o(SB,\s\up6(→))、eq\o(SC,\s\up6(→))的坐标；（2）求直线AB与平面SBC所成角的正弦值.（本小题12分）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝eq\f(\r(2),2)AB=2.(1)求证：BC1∥平面A1CD；(2)求二面角D－A1C－E的正弦值（本小题12分）（1）求直线AB的方程；21.（本小题12分）已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正实数m，对于过点M(m，0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有eq\o(FA,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))<0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.22．（本小题12分）P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：过定点.

理科数学答案1.D2.D3．D4．B5．C6．A7．C8．B9．A10．D11．D12．A17．（本小题10分）解析：甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，即a＞eq\f(1,3)或a＜－1.................................................2分乙命题为真时，2a2－a＞1，即a＞1或a＜－eq\f(1,2).................................................................................................4分(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，(2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，eq\f(1,3)＜a≤1，甲假乙真时，－1≤a<－eq\f(1,2)，∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a的取值范围为（本小题12分）解析：(1)建系如图，则S(0,0,3)，A(0,0,0)，B(eq\r(3)，1,0)，C(0,2,0)．∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，1,0)，eq\o(SB,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，1，－3)，eq\o(SC,\s\up6(→))＝(0,2，－3)......................6分（本小题满分12分）解析：(1)证明：连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)由AC＝CB＝eq\f(\r(2),2)AB，得AC⊥BC.............................4分以C为坐标原点，eq\o(CA,\s\up6(→))的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.即二面角D－A1C－E的正弦值为eq\f(\r(6),3)................................12分（本小题12分）解析：(1)离心率e＝eq\f(\r(6),3)，设椭圆C：x2＋3y2＝a2(a＞0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，设直线AB的方程为y＝k(x－3)＋1，代入x2＋3y2＝a2，整理得(3k2＋1)x2－6k(3k－1)x＋3(3k－1)2－a2＝0.①解得k＝－1，代入②得a2＞12，直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，即x＋y－4＝0..6分21.（本小题12分）(x＞0).化简得y2＝4x(x＞0)..................................................4分(2)设过点M(m，0)(m＞0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).又eq\o(FA,\s\up6(→))＝(x1－1，y1)，eq\o(FB,\s\up6(→))＝(x2－1，y2)，eq\o(FA,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＜0⇔(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＜0.②又x＝eq\f(y2,4)，于是不等式②等价于eq\f(yeq\o\al(2,1),4)·eq\f(yeq\o\al(2,2),4)＋y1y2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,1),4)＋\f(yeq\o\al(2,2),4)))＋1＜0⇔eq\f(（y1y2）2,16)＋y1y2－eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（y1＋y2）2－2y1y2))＋1＜0.③由①式，不等式③等价于m2－6m＋1＜4t2.④对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1＜0，即3－2eq\r(2)＜m＜3＋2eq\r(2).由此可知，存在正数m，对于过点M(m，0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有eq\o(FA,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＜0，且m的取值范围是(3－2eq\r(2)，3＋2eq\r(2))....................