2021届山西省太原市高三一模数学（理）试题

答案第=page11页，共=sectionpages22页山西省太原市2021届高三一模数学(理)试题一、单选题1.已知集合A=xx<1，B=A.(-1，0) B.(-∞，1) C.2.己知复数z满足z-iz+1=A.1-i B.1+i C.-1-i3.公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割数5-12，其近似值为0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a=2sin18∘，若aA.12 B.2 C.5+124.函数f(x)=xA. B.C. D.5.在区间[-1，1]上任取一个实数k，则使得直线y=kxA.32 B.22 C.336.已知梯形ABCD中，AB//DC，且AB=2DC，点P在线段BC上，若AP⃑A.34 B.23 C.137.已知an是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且①an+Sn③an2是等差数列；④S则其中正确结论的个数为()A.4 B.3 C.2 D.18.已知实数x，y满足x+3y-13≤03x+2y-11≥0A.0，14 B.-4，-19.已知a=2ln3π，b=3lnA.b<c<a B.c<b10.已知三棱锥A-BCD中，AB=BC=BD=CD=AD=4，二面角A-BD-C的余弦值为A.10π3 B.3π C.π11.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F12，0的直线与该抛物线相交于A，B两点，点M是线段AB的中点，以AB为直径的圆与y轴相交于A.59 B.37 C.91712.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0，|φ|<A.3 B.4 C.1 D.2二、填空题13.函数fx=x+214.在(1-x)+(1-x15.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点是点F，过原点倾斜角为16.已知数列an满足a1=a2=32，an+2=an+2×3三、解答题17.已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，3csinA=4(Ⅰ)证明：△ABC(Ⅱ)若△ABC的面积为25，点D在线段AB上，且BD=2DA条件①：cosC=23；条件18.某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平.为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表.满意度老年人中年人青年人报团游自助游报团游自助游报团游自助游满意121184156一般2164412不满意116232(1)由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？(2)为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的游客中，随机抽取3人征集整改建议，记X表示这3人中老年人的人数，求X的分布列和期望；(3)若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？19.如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB是正三角形，G是△PAB的重心，D，E，H分别是PA，BC，PC的中点，点F在(Ⅰ)求证：平面DFH//平面PGE(Ⅱ)若PB⊥AC，AB=AC=2，20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)直线PF1，PF2与椭圆C分别相交于点A21.已知函数f((Ⅰ)设g(x)=f((Ⅱ)若不等式xf(x)≥0在-π22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=12t+1ty=t(Ⅰ)求曲线C1的普通方程和C(Ⅱ)已知点P(3，3)，曲线C1与C2相交于A23.已知函数fx(Ⅰ)当m=1时，求函数f(Ⅱ)若存在x∈0，1，使得不等式f

参考答案：1.【答案】A【分析】先解出集合A、B，再求A∩【详解】解：∵集合A=xx∴A∩故选A.2.【答案】D【分析】依题意得z⋅1-i【详解】由z-iz+1=i得故选D.3.【答案】B【分析】根据同角三角函数平方关系可求得b=4cos【详解】∵a=2sin18∴a故选B.4.【答案】A【分析】先判断奇偶性，再求特殊值f(6)，利用排除法即可得到正确结论【详解】解：f(-∴函数f(x)为偶函数，其图象关于y又f(6)=6cos66-sin6故选A.【点评】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.5.【答案】C【分析】先根据直线与圆由公共点求出k的范围，利用几何概型求概率.【详解】解：圆(x-2)2+要使直线y=kx与圆则圆心到直线y=kx的距离|2k在区间[-1，1]中随机取一个实数k，则事件“直线y发生的概率为：33故选C.【点评】(1)判断直线与圆的位置关系的方法：①几何法：比较d(圆心到直线的距离)与r(半径)的关系；②代数法：把直线方程与圆的方程联立，利用判别式Δ判断；(2)几何概型通常转化为长度比、面积比、体积比进行计算.6.【答案】C【分析】设BP=kBC，并化简，再根据AP=AB+【详解】如图，∵P在线段BC上，且AB=2∴设BP=∴AP=又AP=∴1-k2=故选C.7.【答案】B【分析】根据2S2=S1+S3可求得a【详解】∵Sn是等差数列，∴2S2=∵an是各项均为正数的等比数列，∴公比q=对于①，an+S∴a∴数列an+Sn是以2a对于②，an⋅S∴an+1⋅Sn+1对于③，an2=a1∴数列an2是首项为a1，公差d对于④，Snn=na1n∴数列Snn是以a1为首项，1为公比的等比数列，故选B.【点评】思路点睛：本题考查等差和等比数列的判定问题，判断数列为等差或等比的思路是验证数列前后项满足等差和等比数列的定义式，即若an+1-an=dn8.【答案】D【分析】由约束条件作出可行域，直线x+my+1=0过定点(-1，0)，要使不等式x+【详解】解：由约束条件作出可行域如图，联立2x-y直线x+my+1=0过定点(-1则可行域在直线x+my+1=0的左上方，取最大值时通过A点，则3+∴实数m的取值范围是(-∞，故选D.9.【答案】A【分析】根据对数运算法则对三者进行化简，通过做商法可比较a，b大小；再由π3<3π【详解】解：a=2ln3π=2∵ab=2πln设f(x)=lnxx，则f'x=1-∴f(x)在(e∴lnππ>ln2∵π>3>e，∴∴3lnπ<πln3∵π6=π32，9π=3π2∵π6=π23，8π=2π∴a>故选A.【点评】关键点点睛：本题的关键是构造函数f(x)=lnx10.【答案】B【分析】可证三棱锥A-BCD【详解】解：由已知可得，△ABD，△BCD都是边长为取BD的中点为S，连接AS，CS，则故∠ASC为二面角A而AS=CS=2故三棱锥A-BCD是棱长为4将该三棱锥放置在如图所示的棱长为22则正四面体ABCD的外接球即正方体的外接球，其半径为2R=(2过E且垂直于OE的平面截球面的面积最小.又cos∠OAB∵OA=R=∴OE则截面圆的半径r=∴截面面积的最小值为S=故选B.【点评】方法点睛：与空间几何体的外接球有关的计算问题，可根据几何体的特征把几何体补成规则的几何体，从而便于球的半径的计算.11.【答案】A【分析】法2由AF=2FB，求得AB的坐标，进而得到AB的中点M的坐标，写出圆的方程，令x=0，求得P，Q的坐标，然后利用tan∠MPQ=xM12PQ求解.法2.由法1得AB【详解】如图所示：法1：由抛物线的焦点坐标可得p2=1所以抛物线的方程为：y2设直线AB的方程为：x=my+12，设Ax1联立x=my+可得：y1y由AF=2FB，即可得y1=-2y2，代入所以y2=-代入抛物线的方程可得：x2=1即A(1，2所以AB的中点M5所以|AB|=1-所以圆的方程为x-令x=0，可得y所以P0，14所以tan∠MPQ所以sin∠MPQ法2.由法1可得AB的中点M的横坐标为58，半径r所以tan∠故选A.【点评】关键点点睛：本题关键是求得弦AB中点的坐标.12.【答案】D【分析】直接利用正弦型函数的性质对称性和单调性的应用求出结果.【详解】由于函数f(x)=sin(则：-π3ω+由于fπ6=0，所以②-①得：π2所以ω=2故ω为奇数，且f(x)所以T2=π当k2故ω的取值为：1，3，5，7，当ω=1时，可以求得fx∈π3当ω=3时，因为φ当ω=5时，fx∈π3当ω=7时，f(x所以不满足条件；所以满足条件的ω的所有取值的个数是2，故选D.【点评】关键点点睛：该题考查的是有关正弦型函数的性质，正确解题的关键是要明确正弦型函数的对称性与单调性.13.【答案】x【分析】求出f'0、f【详解】∵fx=x+2因为f0=2，所以所求切线方程为y-2=-故答案为：x+14.【答案】-35【分析】直接根据二项式定理即可得结果.【详解】在(1-xx3的系数为-故答案为：-35.15.【答案】3【分析】设右焦点为F'，设直线l的方程为：y=3x，设Mx0，y0，【详解】解：设右焦点为F'，由题意可得直线l的方程为：y=3x，设连接MF'，NF所以四边形FMF'N所以4c整理得到4c2=故S△所以可得y0=3b2将M的坐标代入椭圆的方程可得：b4整理可得：4a4-14解得：e2=7±35所以e=故答案为：32【点评】方法点睛：椭圆离心率的计算问题，关键在于构建基本量的方程，可利用点在曲线上来构建，注意焦点三角形的性质在计算过程中的应用.16.【答案】bn=【分析】(1)根据递推关系求得bn+1-(2)代入求得的bn，化简cn，得利用裂项相消法求得前n项和.【详解】解：a1=a2=32又bn则bn上式对n=1所以bn=3由bncn则数列cn的前n项和为=1故答案为：bn=3n，【点评】关键点点睛：求bn通项时，累加法求和需要考虑n=1的情况；化简cn成可以裂项的形式17.【答案】答案见解析【分析】若选择条件①：cosC(1)先由正弦定理得：a=4b3，再由余弦定理解得(2)先计算sinC，利用面积解得b=3，从而求出三边则a、b、c，在△ACD若选择条件②：cosA(1)先由正弦定理得：a=4b3，再由余弦定理解得(2)先计算sinA，利用面积解得b=3，从而求出三边则a、b、c，在△ACD【详解】解：若选择条件①：cosC(1)证明：因为3csinA=4b由余弦定理c2所以b=c，可得△(2)因为cosC=23，所以S△ABC=则a=4b又BD=2AD，所以AD=1因为3csinA=4b在△ACD中，由余弦定理可得C所以CD=若选择条件②：cosA(1)证明：因为3csinA=4b由余弦定理a2=b解得c=b，或-7b所以b=c，所以△(2)因为cosA=19，所以S△ABC=则a=4b又BD=2AD，所以AD=1在△ACD中，由余弦定理可得CD所以CD=【点评】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；(2)从式子结构来选择.18.【答案】(1)老年人更倾向于选择报团游；(2)分布列见解析，25；(3)建议他选择报团游【分析】(1)分别计算三种人群的频率，进行比较即可；(2)根据题意，列出X的可能取值，分别求概率，写出分布列；(3)计算两种旅游方式的满意度，得到结论.【详解】解：(1)由表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为P1=1518=因为P1(2)由题意可得，X的可能取值为0，1，2，所以P(P(P(所以X的分布列为：X012P22121所以E((3)由上表可知，报团游的满意率为P4自助游的满意率为P5因为P4>【点评】(1)在实际问题中，通常用频率估计概率；、(2)求离散型随机变量的分布列，应按以下三个步骤进行：①明确离散型随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②利用概率的有关知识求出随机变量每个取值的概率；③按规范形式写出分布列并用分布列的性质进行检验.19.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)77【分析】(1)在两平面内分别找两条相交的直线，证明互相平行，即分别证明GE//DF，(2)建立空间直角坐标系，分别求得两个面的法向量，根据法向量的夹角求得二面角的余弦值.【详解】(Ⅰ)证明：连结BG，因为△PAB是正三角形，G是△PAB的重心，D为所以BG与GD共线，且BG=2因为E为BC的中点，BF=3FC，所以F是所以BGCD=BE又GE⊂平面PGE，DF⊄平面PGE，所以DF//因为H是PC的中点，所以FH//因为FH⊄平面PGE，PE⊂平面PGE，所以FH//因为FH∩DF=F，所以平面DFH//平面PGE(Ⅱ)解：因为AB=AC=2，BC所以AB⊥AC，因为PB⊥AC，AB∩PB=B，以A为坐标原点，AB，AC所在直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系如图所示，则A(0，0，0)，B设平面PAC的法向量为n→则有n⋅AC=0令z=-1，则y=0，x=设平面PBC的法向量为m→则有m⋅PC=0令c=1，则a=b所以|cos<n故二面角A-PC-【点评】方法点睛：(1)在两个面上找到两条相交直线，证明互相平行，从而证明面面平行；(2)建立空间直角坐标系，把二面角转化为向量间的夹角进行求解.20.【答案】(Ⅰ)x24+y【分析】(Ⅰ)设△PF1F2内切圆的半径为r，可得r=S△PF1F2a+(Ⅱ)设Px0，y0，当y0≠0时，假设直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理可表示出y0y1和y【详解】(Ⅰ)设△PF1F2∴r∴当△PF1F2则当点P为椭圆的上顶点或下顶点时，△PF1∴r的最大值为bca+c，又△P由bca+c=33ca=(Ⅱ)设Px0，y0①当y0≠0时，设直线PF1，PF由x=m1y-1∵x0=m1同理由x=m2∴P②当y0=0时，直线PF1，则PF综上所述：PF1F【点评】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程的形式；②利用Δ>0③结合韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式；④化简所得函数式，消元可得定值.21.【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ)(-∞，【分析】(Ⅰ)由题意得g(x)=ex+cosx-2，所以(Ⅱ)先依题意得到a≤1，再反过来证明a≤1时，xf(x【详解】(Ⅰ)由题意得g(x)=ex+cosx令m(x)=故m(x)即g所以，g'(x)在(Ⅱ)因为xf(x)≥0在-又f'(x)=e下面证明当a≤1时，xf(x)≥0(1)若x≥0，只需证明f又a