2026届高三一轮复习讲义(基础版)数学第二章2.9对数函数

§2.9对数函数课标要求1.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.2.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.1.对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域值域性质过定点，即x＝1时，y＝0当x>1时，；

当0<x<1时，

当x>1时，；

当0<x<1时，

____________函数___________函数2.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线对称.

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝loga2x(a>0，且a≠1)是对数函数.()(2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)是增函数.()(3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1，0).()(4)函数y＝log2x与y＝log12x的图象关于x轴对称.(2.函数f(x)＝1x-2＋ln(x－1)的定义域为(A.(1，＋∞) B.(1，2)∪(2，＋∞)C.(－∞，1) D.(0，2)∪(2，＋∞)3.函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)的图象大致为()4.若对数函数f(x)经过点(4，2)，则它的反函数g(x)的解析式为.

1.掌握三个对数函数图象的特点(1)不论a>1还是0<a<1，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象都无限靠近y轴，但不会与y轴相交.(2)不论a>1还是0<a<1，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象都经过点1a，-1，(1，0)，(a，1)，且图象都在y轴右侧，据此可以快速画出对数函数y＝logax(a>0，且a≠1(3)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，其中图象(C1，C2，C3，C4对应的底数依次为a，b，c，d)的相对位置与底数大小有关.图中0<c<d<1<a<b.2.谨防两个易误点(1)凡涉及对数型函数，其真数与底数的取值范围一定不能忽略.(2)在解决对数型复合函数时，当底数a的范围没有明确时，必须分0<a<1和a>1两种情况讨论.题型一对数函数的概念与图象例1(1)下列选项正确的是()A.若函数f(x)＝loga－1x＋a2－5a＋6是对数函数，则a＝3或a＝2B.函数f(x)＝4-xln(x-1)的定义域为(C.函数f(x)＝loga(4x－3)(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)D.函数f(x)＝log2(x2－2x)的单调递增区间是(1，＋∞)(2)已知函数f(x)＝|lgx|,0<x≤10,-12x＋6,x>10,若a，b，c互不相等，且f(a)＝fA.[10，12] B.(10，12]C.(10，12) D.[10，12)思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.跟踪训练1(1)(多选)函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，下列说法正确的是()A.f(x)为增函数B.函数f(x)的图象过定点(1，0)C.当0<a<1且x>1时，f(x)>0D.若点(2，1)在f(x)的图象上，则f

14＝－(2)(2024·深圳模拟)已知a>0，且a≠1，则函数y＝logax＋1a的图象一定经过A.第一、二象限 B.第一、三象限C.第二、四象限 D.第三、四象限题型二对数函数的性质及应用命题点1比较对数式的大小例2(1)已知a＝log23，b＝log46，c＝log49，则()A.a＝b<c B.a<b<cC.a＝c>b D.a>c>b(2)设a＝log0.20.3，b＝log23，c＝log34，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>c B.c>b>aC.b>a>c D.b>c>a指、对、幂的大小比较函数“比大小”是非常经典的题型，难度不定，方法无常，高考命题中，常常在选择题中出现，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起进行排序.常用的解题方法有找中间值、特殊值法及利用指数、对数及幂的运算性质化简后再比较.典例(1)设a=log62，b=log123，c=log405，则()A.a<b<c B.b<a<cC.c<a<b D.a<c<b(2)已知55<84，134<85.设a=log53，b=log85，c=log138，则()A.a<b<c B.b<a<cC.b<c<a D.c<a<b命题点2解简单的对数方程或不等式例3(1)已知函数f(x)＝log2x－x＋1，则不等式f(x)<0的解集是()A.(0，1) B.(0，2)C.(1，2) D.(0，1)∪(2，＋∞)(2)(2025·中山模拟)设实数a>0，则“2a>2”是“logaa＋12>0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件命题点3对数函数性质的综合应用例4(多选)(2024·岳阳模拟)关于函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)，下列说法正确的是()A.f(x)的最大值为1B.f(x)在区间(0，2)上单调递增C.f(x)的图象关于直线x＝2对称D.f(x)的图象关于点(2，0)对称思维升华求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成.跟踪训练2(1)(多选)(2025·银川模拟)关于函数f(x)＝lnx-3x＋1A.若函数g(x)＝ln(x－3)－ln(x＋1)，则f(x)与g(x)是同一个函数B.f(x)是奇函数C.f(x)的图象关于点(1，0)对称D.f(x)在(3，＋∞)上单调递增(2)函数y＝log3x·log33x，x∈13，9的值域为

答案精析落实主干知识1.(0，＋∞)R(1，0)y>0y<0y<0y>0增减2.y＝x自主诊断1.(1)×(2)×(3)√(4)√2.B[因为f(x)＝1x-2＋ln(x－1所以要使函数有意义，则x解得x>1且x≠2，所以f(x)的定义域为(1，2)∪(2，＋∞).]3.A[f(x)＝loga|x|＋1的定义域为{x|x≠0}，因为f(－x)＝loga|－x|＋1＝loga|x|＋1＝f(x)，所以f(x)是偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝logax＋1(a>1)单调递增.结合选项可知选A.]4.g(x)＝2x解析设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，函数过点(4，2)，即f(4)＝loga4＝2，即a＝2，即f(x)＝log2x，则它的反函数g(x)的解析式为g(x)＝2x.探究核心题型例1(1)C[对于A，a解得a＝3，A错误；对于B，依题意有4-解得1<x<2或2<x≤4，B错误；对于C，令4x－3＝1，解得x＝1，则f(1)＝loga1＝0，C正确；对于D，x2－2x>0⇒x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)，可知当x>2时，y＝x2－2x单调递增，当x<0时，y＝x2－2x单调递减，结合复合函数的单调性可知f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，故D错误.](2)C[不妨设a<b<c，作出函数f(x)的图象，如图所示，由图象可知0<a<1<b<10<c<12，由f(a)＝f(b)，得|lga|＝|lgb|，即－lga＝lgb，∴lgab＝0，则ab＝1，∴abc＝c，又10<c<12，∴abc的取值范围是(10，12).]跟踪训练1(1)BD[对于A，当0<a<1时，f(x)＝logax在其定义域上为减函数，故A错误；对于B，当x＝1时，f(x)＝loga1＝0，故B正确；对于C，当0<a<1时，f(x)＝logax在其定义域上为减函数，所以当x>1时，f(x)＝logax<loga1＝0，故C错误；对于D，因为点(2，1)在f(x)的图象上，所以loga2＝1，解得a＝2，所以f(x)＝log2x，则f

14＝log214＝－2，故D正确(2)D[当x＝0时，y＝loga1a＝－1则当0<a<1时，函数图象过第二、三、四象限；当a>1时，函数图象过第一、三、四象限，所以函数y＝logax＋1a例2(1)C[因为a＝log23＝log2232＝log49＝又因为y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，6<9，所以log46<log49，所以a＝c>b.](2)D[∵a＝log0.20.3<log0.20.2＝1，∴a<1，∵32＝log2232＝log2∴b＝log23>log222＝∴b>32∵32＝log3332＝log3∴c＝log34<log333＝又c＝log34>log33＝1，∴1<c<32故b>c>a.]微拓展典例(1)D[∵1b＝log3＝1＋log34＝1＋lg4＝1＋2lg2lg31c＝log5＝1＋log58＝1＋lg8lg5＝1＋3lg2∴1＝2lg2＝lg2(2lg5-3lg3)＝lg2(lg25-lg27)lg3×∴1b<1c，又b>0，c>0，∴b>∵1c＝1＋log58<1＋log5＝1＋log5532＝52，∵1a＝log26＝1＋log23>1＋log2＝1＋log2232＝52，∴a<c.∴a<c<b.](2)A[ab＝log又a>0，b>0，∴a<b，∵55<84，134<85，∴5log85<4，4<5log138，∴log85<log138，∴b<c，即a<b<c.]例3(1)D[f(x)＝log2x－x＋1的定义域为(0，＋∞)，f(1)＝log21－1＋1＝0，f(2)＝log22－2＋1＝0，由f(x)<0可得log2x<x－1，即y＝x－1的图象在y＝log2x图象的上方，画出y＝log2x，y＝x－1的图象，如图，由图可知，不等式f(x)<0的解集是(0，1)∪(2，＋∞).](2)A[由2a>2，可得a>1.由logaa＋1可得logaa＋12>log∴a>1,解得a>1或0<a<12因此“2a>2”是“logaa＋12>0例4BC[函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2(4x－x2)＝log2[－(x－2)2＋4](0<x<4)，当x＝2时，4x－x2取到最大值4，故此时f(x)＝log2x＋log2(4－x)取到最大值log24＝2，A错误；f(x)＝log2(4x－x2)(0<x<4)可以看作是由函数y＝log2u，u＝－x2＋4x(0<x<4)复合而成，而y＝log2u是定义域上的增函数，u＝－x2＋4x(0<x<4)在(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，故f(x)在区间(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，B正确；因为函数f(4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f(x)，故f(x)的图象关于直线x＝2对称，C正确；因为f(4－x)＋f(x)＝2f(x)＝0不恒成立，故f(x)的图象不关于点(2，0)对称，D错误.]跟踪训练2(1)CD[对于A，B，g(x)＝ln(x－3)－ln(x＋1)的定义域为(3，＋∞)，f(x)＝lnx-3x＋1的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，f(x)的定义域不关于原点对称，故A，B错误；对于C，f(x)的