2026届高三一轮复习讲义(教师基础版)数学第七章7.5空间直线、平面的垂直

§7.5空间直线、平面的垂直课标要求1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用.1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直m⇒l⊥α垂直于同一个平面的两条直线平行a⇒a∥b2.直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°.(2)范围：0，3.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角：如图，在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.(3)二面角的范围：[0，π].4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直a⇒α⊥β两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直α⇒l⊥α1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l⊥α.(×)(2)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(√)(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(×)(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)2.(2024·惠州模拟)已知l，n是两条不同的直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是()A.若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥nB.若α⊥β，l⊂α，则l⊥βC.若l∥α，α⊥β，则l⊥βD.若l⊥α，l∥β，则α⊥β答案D解析由l，n是两条不同的直线，α，β是不重合的两个平面知，在A中，若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l与n平行或异面，故A错误；在B中，若α⊥β，l⊂α，则l与β相交、平行或l⊂β，故B错误；在C中，若l∥α，α⊥β，则l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；在D中，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故D正确.3.(多选)如图，PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B重合)，则下列说法正确的是()A.PA⊥平面ABCB.BC⊥平面PACC.AC⊥平面PBCD.三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形答案ABD解析因为PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B重合)，则PA⊥平面ABC，故A正确；而BC⊂平面ABC，则PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，则BC⊥平面PAC，故B正确；由A知，△PAB，△PAC都是直角三角形，由B知，△ABC，△PBC都是直角三角形，故D正确；假设AC⊥平面PBC，因为PC⊂平面PBC，则AC⊥PC，即∠PCA=90°，而在△PAC中∠PAC=90°，矛盾，故C错误.4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上，若直线D1E与平面ABCD所成的角为π6，则AE=.答案2解析根据长方体性质知DD1⊥平面ABCD，故∠DED1为直线D1E与平面ABCD所成的角，所以∠DED1=π6则tan∠DED1=DD1DE可得DE=3，所以在Rt△AED中，AE=DE2-AD2=1.灵活应用两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.掌握三种垂直关系的转化线线垂直线面垂直面面垂直题型一直线与平面垂直的判定与性质例1(2024·昆明模拟)如图，已知四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=2，E为DC的中点，将△ADE沿AE进行翻折，使点D与点P重合，且PB=23.(1)证明：PA⊥BE；(2)求四棱锥P-ABCE的体积.(1)证明由题知AE=BE=22，所以AB2=AE2+BE2，所以△ABE为直角三角形，BE⊥AE，因为PE=DE=2，BE=22，PB=23，所以PB2=PE2+BE2，所以△PBE为直角三角形，BE⊥PE，因为AE∩PE=E，AE，PE⊂平面PAE，所以BE⊥平面PAE，因为PA⊂平面PAE，所以PA⊥BE.(2)解如图，取AE的中点O，连接PO，因为PA=PE=2，O为AE的中点，所以PO⊥AE，且PO=2，又由(1)知BE⊥平面PAE，且PO⊂平面PAE，所以BE⊥PO，又AE∩BE=E，AE，BE⊂平面ABCE，所以PO⊥平面ABCE，所以V四棱锥P-ABCE=13S四边形ABCE·PO=13×12×(2+4)×2×2思维升华证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.跟踪训练1如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC⊥CD，PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD=C，PC，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A，AB，AE⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2(2023·全国甲卷改编)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB=90°.(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)设AC=1，AA1=2，求四棱锥A1-BB1C1C的高.(1)证明因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC，又因为∠ACB=90°，即AC⊥BC，因为A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC=C，所以BC⊥平面ACC1A1，又因为BC⊂平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.(2)解如图，过点A1作A1O⊥CC1于点O.因为平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，平面ACC1A1∩平面BB1C1C=CC1，A1O⊂平面ACC1A1，所以A1O⊥平面BB1C1C，所以四棱锥A1-BB1C1C的高为A1O.因为A1C⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以A1C⊥AC，又A1C1∥AC，所以A1C⊥A1C1，又AC=1，AA1=2，所以A1C1=1，CC1=2，所以A1C=CC12所以A1O=A1C·A1C所以四棱锥A1-BB1C1C的高为32思维升华(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义.②面面垂直的判定定理.(2)面面垂直性质的应用①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.跟踪训练2(2024·郑州模拟)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AC⊥AB，平面ABB1A1⊥平面ABC，AA1=A1B1=BB1=12AB=1.证明：平面BA1C⊥平面ACC1A1证明在等腰梯形ABB1A1中，∵AA1=A1B1=BB1=12AB=1可得BA1=3，在△BAA1中，AA12+BA12∴BA1⊥AA1，又∵平面ABB1A1⊥平面ABC，且平面ABB1A1∩平面ABC=AB，AC⊥AB，且AC⊂平面ACC1A1，∴AC⊥平面ABB1A1，又BA1⊂平面ABB1A1，∴BA1⊥AC.又∵AA1∩AC=A，且AC，AA1⊂平面ACC1A1，∴BA1⊥平面ACC1A1，又∵BA1⊂平面BA1C，∴平面BA1C⊥平面ACC1A1.题型三垂直关系的应用例3(多选)把边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使二面角B-AC-D为直二面角，则下列结论正确的是()A.AC⊥BDB.AB⊥CDC.直线BD与平面ABC所成角的大小为πD.二面角A-BD-C的余弦值为-1答案ACD解析如图所示，记E为AC的中点，连接BE，DE，所以AC⊥BE，AC⊥DE，又BE∩DE=E，BE，DE⊂平面BED，所以AC⊥平面BED，又BD⊂平面BED，所以AC⊥BD，A正确；依题意，∠BED是二面角B-AC-D的平面角，所以∠BED=π2，所以DE⊥BE，又DE⊥AC，BE∩AC=E，BE，AC⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，所以DE⊥AB，因为CD∩DE=D，所以AB与CD不垂直，B直线BD和平面ABC所成的角即为∠EBD，因为tan∠EBD=DEBE=1，故∠EBD=π4，由于BC=CD=BA=AD，取BD的中点G，连接AG，CG，则有CG⊥BD，AG⊥BD，故∠CGA为二面角A-BD-C的平面角，则cos∠CGA=AG2+CG2-Acosθ=cosθ1·cosθ2的应用已知AO是平面α的斜线，如图，A是斜足，OB⊥α，B是垂足，则直线AB是斜线AO在平面α内的射影，设AC是α内的任一过点A的直线，且BC⊥AC，C为垂足，又设AO与直线AB所成的角为θ1，AB与AC所成的角是θ2，AO与AC所成的角为θ，则cosθ=cosθ1·cosθ2.典例已知PA是平面α的斜线，∠BAC在平面α内，且∠BAC=90°，又∠PAB=∠PAC=60°，则PA与平面α所成的角为.

答案45°解析如图，作P在α内的正射影O，则O在∠BAC的平分线上，∠PAO为PA与平面α所成的角，所以cos∠PAC=cos∠PAO·cos∠OAC，所以cos60°=cos∠PAO·cos45°，所以cos∠PAO=22故∠PAO=45°，所以PA与平面α所成的角为45°.思维升华(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)求线面角的关键是找到平面的垂线，有了垂线即可有射影，斜线与它在平面内的射影所成的角即为线面角.(3)求二面角的关键是找其平面角，要注意二面角的范围是[0，π].跟踪训练3(多选)(2024·漳州模拟)如图，三棱锥O-ABC中，OA=OC=OB=1，OA⊥平面OBC，∠BOC=60°，则下列结论正确的是()A.直线AB与平面OBC所成的角为45°B.直线AB与平面OAC所成的角的正弦值为6C.OC⊥ABD.二面角O-BC-A的正切值为2答案ABD解析因为OA⊥平面OBC，故∠ABO为直线AB与平面OBC所成的角，又OA=OC=OB=1，所以tan∠ABO=1，∠ABO=45°，故A正确；取OC的中点E，连接AE，BE，因为△OBC为等边三角形，所以BE⊥OC，因为OA⊥平面OBC，BE⊂平面OBC，所以BE⊥OA，又OA∩OC=O，OA，OC⊂平面OAC，所以BE⊥平面OAC，所以∠BAE为直线AB与平面OAC所成的角，sin∠BAE=BEAB=322=6若OC⊥AB，又OC⊥OA，且AB∩OA=A，AB，OA⊂平面OAB，则OC⊥平面OAB，因为OB⊂平面OAB，则OC⊥OB，与∠BOC=60°矛盾，故C错误；取BC的中点D，连接OD，AD，因为AB=AC=2，OB=OC=1，所以AD⊥BC，OD⊥BC，故∠ODA为二面角O-BC-A的平面角，则tan∠ODA=OAOD=233，故D课时精练(分值：80分)一、单项选择题(每小题5分，共20分)1.(2025·邯郸模拟)已知α，β是不重合的两个平面，m，n是两条直线，且α⊥β，m⊂α，n⊂β，则“m⊥n”是“m⊥β”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析用平面ADFE代表平面α，平面ABCD代表平面β，当m⊥n如图所示时，显然m与平面β不垂直，反之，当m⊥β时，又n⊂β，根据线面垂直的性质有m⊥n，所以“m⊥n”是“m⊥β”的必要不充分条件.2.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，AA1=3，点D是侧棱BB1的中点，则直线C1D与平面ABC所成角的正弦值为()A.32 B.C.77 D.答案B解析∵BB1⊥平面A1B1C1，∴C1D与平面A1B1C1所成的角为∠DC1B1.又B1C1=1，B1D=32，可得C1D=72，sin∠DC1B1=B1DC1D=217，∵平面A1B1C1∥平面ABC，∴C1D与平面ABC所成角的正弦值为sin3.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在平面ABC上的射影H必在()A.直线AB上 B.直线BC上C.直线AC上 D.△ABC内部答案A解析由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1=B，AB，BC1⊂平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.4.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A.AC⊥SBB.AD⊥SCC.平面SAC⊥平面SBDD.BD⊥SA答案D解析由题意知SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，故SD⊥AC，又四棱锥S-ABCD的底面为正方形，即AC⊥BD，而SD∩BD=D，SD，BD⊂平面SBD，故AC⊥平面SBD，SB⊂平面SBD，故AC⊥SB，A正确；SD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，故SD⊥AD，又四棱锥S-ABCD的底面为正方形，即AD⊥CD，而SD∩CD=D，SD，CD⊂平面SCD，故AD⊥平面SCD，SC⊂平面SCD，故AD⊥SC，B正确；由于AC⊥平面SBD，AC⊂平面SAC，故平面SAC⊥平面SBD，C正确；SD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，故SD⊥BD，若BD⊥SA，而SD∩SA=S，SD，SA⊂平面SAD，故BD⊥平面SAD，AD⊂平面SAD，故BD⊥AD，即∠BDA=90°，这与正方形ABCD中∠BDA=45°矛盾，D错误.二、多项选择题(每小题6分，共12分)5.(2025·广州模拟)已知α，β，γ是三个不重合的平面，且α∩γ=l，β∩γ=m，则下列命题不正确的是()A.若α⊥γ，β⊥γ，则l∥mB.若l∥m，则α∥βC.若α⊥β，γ⊥β，则l⊥mD.若l⊥m，则α⊥β答案ABD解析若α⊥γ，β⊥γ，则l∥m或l与m相交，故A错误；若l∥m，则α∥β或α与β相交，故B错误；若α⊥β，γ⊥β，则l⊥m，故C正确；若l⊥m，则α与β相交，不一定是垂直，故D错误.6.(2024·安徽省皖江名校联盟联考)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题中正确的是()A.直线BC与平面ABC1D1所成的角为πB.四棱锥C-ABC1D1的体积为1C.异面直线D1C和BC1所成的角为πD.二面角C-BC1-D的余弦值为-3答案ABC解析如图所示，取BC1的中点H，连接CH，则CH⊥BC1，因为AB⊥平面BCC1B1，CH⊂平面BCC1B1，所以CH⊥AB，又AB∩BC1=B，AB，BC1⊂平面ABC1D1，则CH⊥平面ABC1D1，所以直线BC与平面ABC1D1所成的角为∠C1BC=π4，故A点C到平面ABC1D1的距离为CH=22则VC-ABC1D1=13AB·BC1·CH=13×1易证BC1∥AD1，所以异面直线D1C和BC1所成的角为∠AD1C或其补角，连接AC，因为△ACD1为等边三角形，所以异面直线D1C和BC1所成的角为π3，故C连接DH，由BD=DC1，所以DH⊥BC1，又CH⊥BC1，所以∠CHD为二面角C-BC1-D的平面角，易求得DH=62又CD=1，CH=22在△CDH中，由余弦定理可得cos∠CHD=DH2+CH2三、填空题(每小题5分，共10分)7.已知△ABC，若直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，且l，m为两条不同的直线，则l，m的位置关系是.

答案平行解析依题意知l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC=A，AB，AC⊂平面ABC，故l⊥平面ABC，又m⊥BC，m⊥AC，BC∩AC=C，BC，AC⊂平面ABC，故m⊥平面ABC，∴l∥m.8.(2024·菏泽模拟)某同学画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体)，发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆(如图所示).若该同学所画的椭圆的离心率为32，则“切面”所在平面与底面所成锐二面角的大小为.答案π解析如图，设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>∠ABC即为“切面”所在平面与底面所成锐二面角的平面角，由题意得|AB|=2a，|DE|=|BC|=2b，因为ca=32，c2=a2-b2，所以a=2则cos∠ABC=|BC||AB|=2b2a=12，又∠ABC∈0，四、解答题(共28分)9.(13分)(2024·绵阳模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB∥CD，且AB=2CD=2AD=2BC=2AP=2.(1)求四棱锥P-ABCD的体积；(5分)(2)证明：平面PAC⊥平面PBC.(8分)(1)解因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，且PA⊥AB，PA⊂平面PAB，所以PA⊥平面ABCD，由题意得AB=2CD=2AD=2BC=2，则∠ABC=60°，所以等腰梯形ABCD的高为32所以V四棱锥P-ABCD=13S梯形ABCD·PA=13×12×3×32(2)证明因为BC=1，AB=2，∠ABC=60°，由余弦定理得AC=3，所以AB2=AC2+BC2，所以∠ACB=90°，AC⊥BC，又PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，且AC∩PA=A，AC，PA⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.10.(15分)(2024·淮安模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的正三角形，G为△A1BC的重心，∠A1AB=∠A1AC=60°.(1)求证：B1B⊥BC；(7分)(2)已知A1A=2，P∈平面ABC，且C1P⊥平面A1BC.求证：AG∥C1P.(8分)证明(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中，连接A1G并延长，交BC于点D，连接AD，由G为△A1BC的重心，得D为BC的中点.由AB=AC，A1A=A1A，∠A1AB=∠A1AC，得△A1AB≌△A1AC，则A1B=A1C，因此AD⊥BC，A1D⊥BC，又AD∩A1D=D，AD，A1D⊂平面A1AD，于是BC⊥平面A1AD，而A1A⊂平面A1AD，则BC⊥A1A，又A1A∥B1B，所以B1B⊥BC.(2)由A1A=AB=2，∠A1AB=60°，得△A1AB为正三角形，同理△A1AC也为正三角形，则A1B=A1C=BC=2，从而三棱锥A-A1BC的所有棱长均为2，该四面体为正四面体，由G为△A1BC的重心，得AG⊥平面A1BC，在菱形ACC1A1中，AC1过A1C的中点，即直线AC1与平面A1BC的交点为A1C的中点，因此G不在直线AC1上，又C1P⊥平面A1BC，所以AG∥C1P.每小题5分，共10分1