解析卷-人教版8年级数学下册《平行四边形》同步练习试题（含解析）

人教版8年级数学下册《平行四边形》同步练习考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点．已知∠B＝55°，则∠AEF的度数是（）A．75° B．60° C．55° D．40°2、若一个直角三角形的周长为，斜边上的中线长为1，则此直角三角形的面积为（）A． B． C． D．3、如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90° B．当▱ABCD是菱形时，AC⊥BDC．当▱ABCD是正方形时，AC＝BD D．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC4、如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD折叠后，A点的对应点落在CD边上，EF为折痕，A和EF交于G点，当AG+BG取最小值时，此时EF的值为（）A． B．3 C．2 D．55、如图，在中，，点，分别是，上的点，，，点，，分别是，，的中点，则的长为（）．A．4 B．10 C．6 D．8第Ⅱ卷（非选择题80分）二、填空题（5小题，每小题6分，共计30分）1、如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若，则CF的长为_____．2、一个矩形的两条对角线所夹的锐角是60°，这个角所对的边长为10cm，则该矩形的面积为_______．3、已知长方形ABCD中，AB＝4，BC＝10，M为BC中点，P为AD上的动点，则以B、M、P为顶点组成的等腰三角形的底边长是______________________．4、如图，在▱ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作AC的垂线，交边AD于点P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，则PC＋AQ的最小值为________________．5、如图，在正方形ABCD中，点M，N为CD，BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN中点，连接PQ，若AB＝10，DM＝4，则PQ的长为__________________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知：如图，在中，，，．求证：互相平分．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，且已知AB=8，BC=4（1）判断△ACF的形状，并说明理由；（2）求△ACF的面积；2、在△ABC中，AB＝AC＝x，BC＝12，点D，E分别为BC，AC的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点F，（1）当x＝10时，求线段AD的长．（2）x取何值时，点F与点D重合．（3）当DF＝1时，求x2的值．3、在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是，BC与CE的位置关系是；（2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB＝2，BE＝2，请直接写出APE的面积．4、如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB、DF⊥BC，垂足分别为E、F．求证：BE＝BF．5、如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF交AD于点F，交BC于点E，交AC于点O．求证：四边形AECF是菱形．（小海的证明过程）证明：∵EF是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，OE＝OF，EF⊥AC，∴四边形AECF是平行四边形．又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．（老师评析）小海利用对角线互相平分证明了四边形AECF是平行四边形，再利用对角线互相垂直证明它是菱形，可惜有一步错了．（挑错改错）（1）请你帮小海找出错误的原因；（2）请你根据小海的思路写出此题正确的证明过程．

-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】证EF是△ABC的中位线，得EF∥BC，再由平行线的性质即可求解．【详解】解：∵点E，F分别是AB，AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B=55°，故选：C．【点睛】本题考查了三角形中位线定理以及平行线的性质；熟练掌握三角形中位线定理，证出EF∥BC是解题的关键．2、B【解析】【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质，可得斜边为2，然后利用两直角边之间的关系以及勾股定理求出两直角边之积，从而确定面积．【详解】解：根据直角三角形斜边上中线的性质可知，斜边上的中线等于斜边的一半，得AC=2BD=2．∵一个直角三角形的周长为3+，∴AB+BC=3+-2=1+．等式两边平方得（AB+BC）2=(1+)2，即AB2+BC2+2AB•BC=4+2，∵AB2+BC2=AC2=4，∴2AB•BC=2，AB•BC=，即三角形的面积为×AB•BC=．故选：B．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形的面积等知识点的理解和掌握，巧妙求出AC•BC的值是解此题的关键，值得学习应用．3、D【解析】【分析】由矩形的四个角是直角可判断A，由菱形的对角线互相垂直可判断B，由正方形的对角线相等可判断C，由菱形的四条边相等可判断D，从而可得答案.【详解】解：当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90°，正确，故A不符合题意；当▱ABCD是菱形时，AC⊥BD，正确，故B不符合题意；当▱ABCD是正方形时，AC＝BD，正确，故C不符合题意；当▱ABCD是菱形时，AB＝BC，故D符合题意；故选D【点睛】本题考查的是矩形，菱形，正方形的性质，熟练的记忆矩形，菱形，正方形的性质是解本题的关键.4、A【解析】【分析】过点作于，由翻折的性质知点为的中点，则为的中位线，可知在上运动，当取最小值时，此时与重合，利用勾股定理和相似求出的长即可解决问题．【详解】解：过点作于，将矩形折叠后，点的对应点落在边上，点为的中点，为的中位线，在上运动，在上运动，当取最小值时，此时与重合，，，，，，，，，在和中，，，，，故选：A．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是证明在上运动．5、B【解析】【分析】根据三角形中位线定理得到PD=BF=6，PD∥BC，根据平行线的性质得到∠PDA=∠CBA，同理得到∠PDQ=90°，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：∵∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵点P，D分别是AF，AB的中点，∴PD=BF=6，PD//BC，∴∠PDA=∠CBA，同理，QD=AE=8，∠QDB=∠CAB，∴∠PDA+∠QDB=90°，即∠PDQ=90°，∴PQ==10，故选：B．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．二、填空题1、【解析】【分析】设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，从而得到关于x的方程，求解x即可．【详解】解：设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x．在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE＝．根据折叠的性质可知AG＝AB＝4，所以GE＝2﹣4．在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（﹣4）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，所以（2﹣4）2+x2＝（4﹣x）2+22，解得x＝﹣2，∴CF＝4-（﹣2），故答案为：6-2．【点睛】本题主要考查了正方形的性质及翻转折叠的性质，勾股定理，拓展一元一次方程，准确运用题目中的条件表示出EF列出方程式解题的关键．2、【解析】【分析】先根据矩形的性质证明△ABC是等边三角形，得到，则，然后根据勾股定理求出，最后根据矩形面积公式求解即可．【详解】：如图所示，在矩形ABCD中，∠AOB=60°，，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，，∴△ABC是等边三角形，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的性质．3、5或或【解析】【分析】分三种情况：①当BP=PM时，点P在BM的垂直平分线上，取BM的中点N，过点N作NP⊥BM交AD于P，则四边形ABNP是矩形，得AB=PN=4，根据勾股定理即可求解；②当BM=PM=5时，当∠PMB为锐角如图2时，则四边形ABNP是矩形，得AB=PN=4，根据勾股定理可得MN=3，从而BN=2，再由勾股定理可得BP的长；③当BM=PM=5时，当∠PMB为钝角如图3时，则四边形ABNP是矩形，得AB=PN=4，根据勾股定理MN=3，从而BN=8，再由勾股定理可得BP的长；即可求解．【详解】解：BC＝10，M为BC中点，∴BM=5，当△BMP为等腰三角形时，分三种情况：①当BP=PM时，点P在AM的垂直平分线上，取BM的中点N，过点N作NP⊥AD交AD于P，如图1所示：则△PBM是等腰三角形∴底边BM的长为5②当BM=PM=5时，当∠PMB为锐角如图2时，则四边形ABNP是矩形，∴PN=AB=4，∴MN=∴在Rt△PBN中，③当BM=PM=5时，当∠PMB为钝角如图3时，则四边形ABNP是矩形，得AB=PN=4，同理可得∴在Rt△PBN中，综上，以B、M、P为顶点组成的等腰三角形的底边长是：5或或故答案为：5或或．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，熟练掌握矩形的性质，进行分类讨论是解题的关键．4、【解析】【分析】利用平行四边形的知识，将的最小值转化为的最小值，再利用勾股定理求出MC的长度，即可求解；【详解】过点A作且，连接MP，∴四边形是平行四边形，∴，将的最小值转化为的最小值，当M、P、C三点共线时，的最小，∵，，∴，在中，；故答案是：．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，勾股定理，准确计算是解题的关键．5、【解析】【分析】由△ADM与△DCN全等，得出∠CDN＝∠DAM，从而得到∠DPM＝90°，由此∠APN＝90°，再由直角三角形斜边的中线的性质求出PQ．【详解】解：在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝∠DCN＝90°，在△ADM与△DCN中，∵AD＝CD，DM＝CN，∠ADC＝∠DCN，∴△ADM≌△DCN（SAS），∴∠DAM＝∠CDN，∴∠DMA＝∠CND，在△DPM中，∠PDM+∠PMD＝90°，∴∠DPM＝90°，∵∠DPM＝∠APN，∴△ANP为直角三角形，AN为直角三角形的斜边，由直角三角形的性质得PQ＝AN，在△ANB中，AN＝＝2，∴PQ＝，故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质．三、解答题1、证明见解析【分析】连接,由三角形中位线定理可得，，可证四边形ADEF是平行四边形，由平行四边形的性质可得AE，DF互相平分；【详解】

证明：连接,∵AD＝DB，BE＝EC，∴，∵BE＝EC，AF＝FC，∴，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AE，DF互相平分．【点睛】本题考查了平行四边形的性质判定和性质及三角形中位线定理，灵活运用这些性质是解题的关键．(1)△ACF是等腰三角形，理由见解析；(2)10；(3)2、（1）8；（2）12；（3）72或216【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及勾股定理即可解决问题．

（2）如图2中，当点F与D重合时，连接DE．求出此时x的值即可判断．

（3）分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，∵AB＝10，BD＝CD＝6，∴AD＝＝＝8．（2）如图2中，当点F与D重合时，连接DE．∵OF垂直平分线段BE，∴BD＝DE＝6，∵∠ADC＝90°，AE＝EC，∴AC＝2DE＝12，当x=12时，点F与点D重合．（3）①当点F在点D左侧时，作EG⊥BC于G，连接EF，DE．∵DE=EC，EG⊥BC∴DG＝GC＝3，∵BD＝6，DF＝1，∴BF＝5，∵OF垂直平分线段EB，∴EF＝FB＝5，在Rt△EFG中，∵EF＝5，FG＝4，∴EG＝＝3，在Rt△DEG中，DE＝＝3，∵AC＝2DE，∴AC＝6，∴x2＝AC2＝72．②当点F在点D右侧时，作EG⊥BC于G，连接EF，DE．易知BF＝EF＝7，FG＝2，EG＝＝＝3，∴DE＝＝3，∴AC＝2DE＝6，∴x2＝AC2＝216．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．3、（1）BP＝CE，CE⊥BC；（2）仍然成立，见解析；（3）31【分析】（1）连接AC，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△BAP≌△CAE即可证得结论；（2）（1）中的结论成立，用（1）中的方法证明△BAP≌△CAE即可；（3）分两种情形：当点P在BD的延长线上时或点P在线段DB的延长线上时，连接AC交BD于点O，由∠BCE＝90°，根据勾股定理求出CE的长即得到BP的长，再求AO、PO、PD的长及等边三角形APE的边长可得结论．【详解】解：（1）如图1，连接AC，延长CE交AD于点H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°；∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∴∠BAP＝∠CAE＝60°﹣∠PAC，∴△BAP≌△CAE（SAS），∴BP＝CE；∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABP＝∠ABC＝30°，∴∠ABP＝∠ACE＝30°，∵∠ACB＝60°，∴∠BCE＝60°+30°＝90°，∴CE⊥BC；故答案为：BP＝CE，CE⊥BC；（2）（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD仍然成立，理由如下：如图2中，连接AC，设CE与AD交于H，∵菱形ABCD，∠ABC＝60°，∴△ABC和△ACD都是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝120°，∠BAP＝120°+∠DAP，∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∴∠CAE＝60°+60°+∠DAP＝120°+∠DAP，∴∠BAP＝∠CAE，∴△ABP≌△ACE（SAS），∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABD＝30°，∴∠DCE＝30°，∵∠ADC＝60°，∴∠DCE+∠ADC＝90°，∴∠CHD＝90°，∴CE⊥AD；∴（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD仍然成立；（3）如图3中，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，作EF⊥AP于F，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BDBD平分∠ABC，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴∠ABO＝