2026高考数学一轮复习微专题106讲72.立体几何与空间解析几何含答案

PageSeq2026高考数学一轮复习微专题106讲72.立体几何与空间解析几何含答案72.空间解析几何方法与应用随着向量法的引出，新教材也在习题位置介绍了空间平面与直线的方程.类似于平面解析几何思想，在涉及到空间直线的交点或者平面的交线时，我们当然也可以通过它们的方程来求得具体的位置或者轨迹，这样的话，就降低了对几何方法的需求.实际上，根据笔者的教学经验，学生在利用几何关系寻找交点，截线，轨迹时，往往很难找到解题思路.所以，我们需要思考和探寻能够更加有效地帮助学生突破这类问题的方法，本文所涉及的空间解析几何思想就是其中重要的一种，下面我将通过近年的高考试题与模考试题做详细分析和说明.一．基本原理1.平面的点法式方程[1]在人教版选择性必修第一册44页习题中出现如下结论：在空间直角坐标系中，已知向量，点.若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，则我们可以得到平面的点法式方程：.2.点到直线的距离公式已知直线上两点，则由可知直线的单位方向向量为，则线外一点到直线的距离满足的公式为：.3.点到平面的距离公式[1]显然，若我们将上述点法式方程加以整理即可得到平面的一般式方程，即三元一次方程，进一步，若点到平面：的距离为：.证明：如图所示，设平面的方程为，向量为的法向量，平面外一点，在平面内取一点，则点到平面的距离为，其中为向量与向量的夹角，则，所以而，由于点在平面上，因此有，即，由此可得，所以，空间中点平面距离公式可看成平面内点到直线的距离公式的推广.

4.直线的交线式方程[1]若我们将上述点法式方程加以整理即可得到平面的一般式方程，即三元一次方程：.进一步，两个平面的交线的方程为：，该三元一次方程组称为直线由平面的相交的交线式方程，此时，直线的方向向量为：，即平面法向量的向量积.在得到上述平面的方程与点到平面的距离后，我们就可以将一些立体几何问题利用“解析几何”的思想来计算，特别是一些截线，交点问题，倘若我们无法通过几何手段找到“隐点”，“隐截线”的位置，那我们还可通过解析的方法来实现，下面通过实例予以说明.二．典例分析例1．在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系式）为：”．用此方法求得平面和平面的方程，化简后的结果为和，则这两平面所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．解析：由题意，平面和平面的法向量分别是，，设平面和平面的夹角为，故选：B.例2．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线l的方程为.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线l是平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．解析：对于，可以整理为，由题意可得：平面过点，且法向量，联立方程，整理可得，由题意可得：直线l过点，且方向向量为，∵，∴故直线l与平面所成角的正弦值为.故选：A.例3.（2020新高考1卷16题）已知直四棱柱的棱长为2，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为_________.解析：建立如图1所示的直角坐标系，由已知条件，，则各点坐标分别为：.那么，设为面的法向量，则可得：，故面的方程为：，整理可得：①.而球的方程为：②.根据球的截面性质，先计算球心到平面的距离，根据公式可知：.进一步，假设球心在平面的小圆半径为，则.最后，为了算得截线长，我们假设球心在小圆面的投影为，经过分析，球与面的交点在侧棱上，设交点分别为.则联立①②，以及，我们可计算得坐标分别为：，于是，那么，，则球与面的截线为图1图2注：利用解析几何的思想，我们只需把握住球的小圆面的基本性质就可通过解析方法找到结果，全程并未通过几何作图找具体位置，不失为一种好的方法！计算与“隐直线”有关的夹角例4.（2022合肥二模）在正方体中，为线段的中点，设平面与平面的交线为，则直线与所成角的余弦值为__________．解析：设正方体的棱长为2，建立如图2所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2，建立如图2所示的空间直角坐标系.则，.设平面的法向量为，由上述可得，由于，取，则可求得：.同理，设平面的法向量为，由于，由可求得：.设直线的方向向量为，那么，即，而，则，故答案为.例5．（多选题）类比平面解析几何中直线的方程，我们可以得到在空间直角坐标系中的一个平面的方程，如果平面的一个法向量，已知平面上定点，对于平面上任意点，根据可得平面的方程为．则在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（

）A．若平面过点，且法向量为，则平面的方程为B．若平面的方程为，则是平面的法向量C．方程表示经过坐标原点且斜率为的一条直线D．关于的任何一个三元一次方程都表示一个平面解析：对于A：根据题设可知平面的方程为，即为，故A正确；对于B：因为平面的方程为，由题设可知平面的一个法向量为，且即共线，所以是平面的法向量，故B正确；对于C：，该方程可表示：一个法向量为且过的平面，故C错误；对于D：设，其等价于，该方程可表示：一个法向量为且过的平面，故D正确；故选：ABD.例6．在空间直角坐标系中，经过点且法向量的平面的方程为，经过点且方向向量的直线方程为．阅读上面材料，并解决下列问题：平面的方程为，平面的方程为，直线的方程为，直线的方程为，则（

）A．平面与垂直B．平面与所成角的余弦值为C．直线与平面平行D．直线与是异面直线解析：由材料可知：平面的法向量，平面的法向量，直线的方向向量，直线的方向向量；对于A，，，则平面与垂直，A正确；对于B，，平面与所成角的余弦值为，B错误；对于C，，，直线平面或直线平面，直线过点，又满足，直线平面，C错误；对于D，与不平行，直线与直线相交或异面，由得：，此时无解，直线与直线无交点，直线与直线是异面直线，D正确.故选：AD.例7．类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为．已知曲面的方程为．（1）写出坐标平面的方程（无需说明理由），指出平面截曲面所得交线是什么曲线，说明理由；（2）已知直线过曲面上一点，以为方向量，求证：直线在曲面上（即上任意一点均在曲面上）；（3）已知曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上．设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值．解析：（1）根据坐标平面内点的坐标的特征可知，坐标平面的方程为，已知曲面的方程为，当时，平面截曲面所得交线上的点满足，即，也即在平面上到原点距离为定值1，从而平面截曲面所得交线是平面上，以原点为圆心，1为半径的圆.（2）设是直线上任意一点，由，均为直线的方向向量，有，从而存在实数，使得，即，则，解得，所以点的坐标为，于是，因此点的坐标总是满足曲面的方程，从而直线在曲面上.（3）直线在曲面上，且过点，设是直线上任意一点，直线的方向向量为，由，均为直线的方向向量，有，从而存在实数，使得，即，则，解得，所以点的坐标为，∵在曲面上，∴，整理得，由题意，对任意的，有恒成立，∴，且，∴，或，不妨取，则，或，∴，或，又直线的方向向量为，则异面直线与所成角的余弦值均为习题演练1．（多选题）类比平面解析几何中直线的方程，我们可以得到在空间直角坐标系中的一个平面的方程，如果平面的一个法向量，已知平面上定点，对于平面上任意点，根据可得平面的方程为．则在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（

）A．若平面过点，且法向量为，则平面的方程为B．若平面的方程为，则是平面的法向量C．方程表示经过坐标原点且斜率为的一条直线D．关于的任何一个三元一次方程都表示一个平面解析：对于A：根据题设可知平面的方程为，即为，故A正确；对于B：因为平面的方程为，由题设可知平面的一个法向量为，且即共线，所以是平面的法向量，故B正确；对于C：，该方程可表示：一个法向量为且过的平面，故C错误；对于D：设，其等价于，该方程可表示：一个法向量为且过的平面，故D正确；故选：ABD.2．在空间直角坐标系中，经过点且法向量的平面的方程为，经过点且方向向量的直线方程为．阅读上面材料，并解决下列问题：平面的方程为，平面的方程为，直线的方程为，直线的方程为，则（

）A．平面与垂直B．平面与所成角的余弦值为C．直线与平面平行D．直线与是异面直线解析：由材料可知：平面的法向量，平面的法向量，直线的方向向量，直线的方向向量；对于A，，，则平面与垂直，A正确；对于B，，平面与所成角的余弦值为，B错误；对于C，，，直线平面或直线平面，直线过点，又满足，直线平面，C错误；对于D，与不平行，直线与直线相交或异面，由得：，此时无解，直线与直线无交点，直线与直线是异面直线，D正确.故选：AD.3．在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中．(1)求经过的直线的点方向式方程；(2)已知平面，平面，平面，若，证明：；(3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小．【详解】（1）由得，直线的方向向量为，故直线的点方向式方程为．（2）由平面可知，平面的法向量为，由平面可知，平面的法向量为，设交线的方向向量为，则，令，则，可得，由平面可知，平面的法向量为，因为，即，且，所以．（3）因平面经过三点，可得，设侧面所在平面的法向量，则，令，解得，可得，由平面可知，平面法向量为，设平面与平面的交线的方向向量为，则，令，则，可得，由平面可知，平面的法向量为，因为，解得，即，则，故平面与平面夹角的大小为．4．在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为（）；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.平面内任一点在面的两侧分别对应和.(1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值；(2)已知平面的点法式方程可表示为，点与点在平面外的同侧，点B在平面内的投影点为，且，点C为平面内任意一点，求的最小值；(3)若平面为，平面与平面的交线为，且平面与平面所成面面角余弦值大小为，求平面的点法式方程.【详解】（1）由直线的标准式方程为可知，直线l的一个方向向量坐标为，由平面的点法式方程为可知，平面的一个法向量为，设直线l与平面所成角为，所以有，所以，即直线l与平面所成角的余弦值为.（2）由平面的点法式方程为可知，平面的法向量为，设点在平面内的投影点为，易知与共线，故，又由点在平面上，则满足，令，则把代入可得：，解得，再代入，即可得，由点A及点B在平面外的同侧，点C为平面内任意一点，要求的最小值，利用将军饮马问题，可设点关于平面的对称点为，则为中点，故由中点公式可得，所以由两点间距离公式可得，因为，所以，由几何关系可知.（3）由平面为可知，平面的法向量，由交线方程为可知，的方向向量，设平面的法向量，则有，整理得，不妨设，解得或；故平面的法向量或又直线在平面内，不妨取其上一点，若，则平面为；若，则平面为综上，平面的点法式方程为：或73.空间曲率问题与应用一．引言空间曲率新定义问题“火”于2021年八省联考，这是第一次大范围的新高考适应性考试，也是近年新定义的“开山鼻祖”，颇具代表性.因此，这里的引言就以该题为例，逐次展开.1.定义：（2021年教育部八省联考）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为．二．典例分析1．刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为.若正四棱锥的侧面与底面所成角的正切值为，则四棱锥在顶点处的曲率为（

）A． B． C． D．解析：如图，连接，，设，连接，则平面，取的中点，连接，，

则由正四棱锥的结构特征可知，所以为侧面与底面所成的角，设，则，在中，，所以，又，所以，所以正四棱锥的每个侧面均为正三角形，所以顶点的每个面角均为，故正四棱锥在顶点处的曲率为.故选：D.2．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（

）A． B． C． D．解析：正八面体每个面均为等边三角形，且每个面的面角和为，该正面体共个顶点，因此，该正八面体的总曲率为.故选：B.3．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．已知在直四棱柱中，底面为菱形，，则下列结论正确的是（

）A．直四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等B．若，则直四棱柱在顶点处的离散曲率为C．若，则直四棱柱在顶点处的离散曲率为D．若四面体在点处的离散曲率为，则平面解析：A项，当直四棱柱的底面为正方形时，其在各顶点处的离散曲率都相等，当直四棱柱的底面不为正方形时，其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散曲率不相等，故选项A错误；B项，若，则菱形为正方形，因为平面，所以，，所以直四棱柱在顶点处的离散曲率为，选项B正确；C项，若，则，又，，所以直四棱柱在顶点处的离散曲率为，选项C错误；D项，在四面体中，，，，所以，所以四面体在点处的离散曲率为，解得，易知，所以，所以，所以直四棱柱为正方体，结合正方体的结构特征可知平面，选项D正确．故选：BD4．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体的一个顶点，定义多面体在点P处的离散曲率为，其中（，2，……，k，）为多面体的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体的所有以P为公共点的面.如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，顶点S在底面的射影O为的中点.若该四棱锥在S处的离散曲率，则直线与平面所成角的正弦值为.

解析：由题意可知，四棱锥的四个侧面三角形全等，则，因为四棱锥在处的离散曲率，则，，设，则，又，则，而，所以，解得，作于，则为的中点，因为是正三角形，所以，作于，则，且，则，连接，由平面，平面，所以，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，又平面平面，作于，则平面，所以即是直线与平面所成角，则.故答案为：.

5．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与相邻的顶点，且平面，，…平面和平面为多面体的所有以为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥．(1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；(2)若平面，，三棱锥在顶点处的离散曲率为．①求直线与直线所成角的余弦值；②点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度．解析：（1）根据离散曲率的定义得，，，，所以（2）①因为平面，平面，所以，且，，平面,所以平面，平面,所以，所以，所以，所以，如图，将三棱锥补成正方体，因为，连结，所以异面直线与所成的角为或其补角，而是等边三角形，所以，，所以直线与直线所成角的余弦值为；过点作交AB于，连结，因为平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，依题意可得，，，，所以,，设，，，在中，，又，所以，所以，所以，解得：或（舍）故.6．定义：多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的一个顶点，（，且）为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面、平面、、平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，．(1)求四棱锥在顶点处的离散曲率；(2)求四棱锥内切球的表面积