《电路与电子技术》课件第3章

第3章一阶动态电路分析3.1引言3.2电容与电感3.3电路初始值的计算3.4一阶电路分析习题3

3.1.1动态电路

前面我们讨论了由电阻元件和电源构成的电路，这类电路称为电阻电路。实际上，电路中除了电阻元件外，还经常含有电容元件和电感元件。电容元件和电感元件由于其伏安关系为微分关系或积分关系，因而其电压或电流并不像电阻元件那样取决于同一时刻激励的电流或电压值，而与其激励的全过程有关，故电容和电感元件常被称为动态元件或记忆元件。又由于这两种元件在电路中有储存能量的作用，故也常被称为储能元件。含有动态元件的电路,称为动态电路。3.1引言

动态电路的分析像直流电路一样，也是将由基尔霍夫定律建立的结构约束和由元件伏安关系建立的元件约束组成联立方程来求解。只不过动态元件的伏安关系为微分或积分关系，因此，动态电路的方程常需用微分方程来描述。我们把用一阶微分方程来描述的电路称为一阶动态电路。一阶动态电路为仅含有一种储能元件的电路，即电路要么仅含有电容元件，要么仅含有电感元件。图3.1(a)、(b)所示为常见的充电电路和线圈励磁电路，即最简单的RC和RL一阶动态电路。

图3.1简单的一阶动态电路3.1.2零输入、零状态、全响应

在讨论电阻电路时，由于电阻不是储能元件，故不涉及储能问题。而在动态电路中，常遇到电容或电感的储能问题，即在电路开关闭合前，电容元件(电感元件)已经储有初始电压(电流)，如图3.2所示。

图3.2电路的初始储能

S1闭合前，电容C已有电压uC(0)＝U0，S2闭合前，电感元件中已有电流iL(0)＝I0流过。为便于分析，称电路状态改变或参数改变为换路。换路时刻用t＝0表示，换路前一瞬间用t＝0－表示，换路后一瞬间用t＝0＋表示。将换路前一瞬间的电容电压和电感电流值称为初始值，用uC(0－)和iL(0－)表示。那么，图3.2中，uC(0－)就表示电容元件在换路前一瞬间的电压值，而iL(0－)表示电感元件换路前一瞬间的电流值。

储能元件初始值为零的电路称为零状态电路。在零状态电路中，各支路或元件的响应称为零状态响应。图3.2中，若uC(0－)＝0，此时电容C从零开始充电，电路就是一个零状态电路。若iL(0－)＝0，该电路也称为零状态电路。

动态电路中，若外加激励源uS和iS的值都是零，此时电路没有外部激励，只有储能元件所储能量产生的电压和电流，这种电路称为零输入电路。零输入电路中各支路或元件的响应称为零输入响应。如电容器的放电电路、电磁铁的消磁电路等，都是零输入电路。

有外加激励且储能元件的初始值不为0时，此时各元件或支路的响应称为全响应。显然，零输入响应、零状态响应仅是全响应的一种特例，故本章的分析应以全响应为主。

3.2.1电容

电容是电路中最常见的基本元件之一。两块金属板之间用介质隔开，就构成了最简单的电容元件，若在其两端加上电压，两个极板间就会建立电场，储存电能。

3.2电容与电感

电容元件用C来表示，C也表示电容元件储存电荷的能力，在数值上等于单位电压加在电容元件两端时，储存电荷的电量值。在国际单位制中，电容的单位为法拉，简称法，用字母F表示，也可用微法(μF)、皮法(pF)表示。它们的关系是

1F＝106μF＝1012pF

若参考正方向一致，电容储存的电荷量q与其极板电压u(t)呈线性关系，如图3.3(b)所示。

q(t)＝Cu(t) (3.1)

图3.3电容元件及其－伏库性其伏安关系为

(3.2)

式(3.2)说明，电容元件的伏安关系为微分关系，通过电容元件的电流与该时刻电压的变化率成正比。显然，电压变化率越大，通过的电流就越大，如果加上直流电压，则i＝0，这就是电容的一个明显特征：通高频，阻低频；通交流，阻直流。

如果知道电流，可求出电容两端的电压

(3.3)

上式中将积分变量t换为ξ，以区别积分上限t。此式表明，电容两端的电压与电流的全过程有关，也就是说，电容元件是记忆元件，有记忆电流的作用。

在实际计算中，电路常从某一时刻(如t＝0)算起，即从某一初始电压u(0)开始，则

(3.4)

U(0)表示从负无穷大到t＝0时刻电容所积累的电压值，即初始值。这也从数学上解释了初始值的含义。

电容元件的功率为

(3.5)

电容元件t时刻的储能为

在t＝＋∞时刻，电容储能为零，故

(3.6)

上式表明，电容元件的储能，不论电压是正是负，始终是大于或等于0的。3.2.2电感

把导线绕在一根铁芯上，就构成一个简单的电感元件。接通电源后，线圈四周就建立了磁场，储存了磁场能量，故电感是储存磁场能量的元件。

电感元件用L表示，L也表示电感元件中通过电流时产生磁链的能力，在数值上等于单位电流通过电感元件时产生磁链的绝对值。在国际单位制中，L的单位为亨利，用H表示，也可用毫亨(mH)、微亨(μH)表示。它们的关系为

1H＝103mH＝106μH

在图3.4所示的关联参考方向下，电感的磁链与电流呈线性关系：（3.7）

j(t)＝Li(t) (3.7)

式中,L既表示电感元件，也表示电感元件的参数。

电感元件的伏安关系为

(3.8)

上式表明，电感元件的伏安关系为微分关系，元件两端的电压与该时刻电流的变化率成正比。显然，电流的变化率越高，则U越大。而在直流电路中，UL＝0，电感相当于短路。

图3.4电感元件及其磁链电流特性如果已知电压，则可求出对应的电流：

(3.9)

上式表明电感元件也是记忆元件，有记忆电压的作用。

仿照对电容的分析方法，则从t＝0时刻算起的电流为

(3.10)

电感元件的功率关系为

(3.11)

电感元件的储能为

(3.12)

3.2.3电容、电感的串、并联

1.电容串联

C1，C2，…，Cn个电容串联，可以等效为一个电容C。等效电容的倒数等于各个串联电容的倒数之和，即

(3.13)

图3.5电容串联

2.电容并联

C1，C2，…，Cn个电容并联，可以等效为一个电容C，如图3.6所示。等效电容C等于各个并联电容之和，即

C＝C1＋C2＋…＋Cn (3.14)

图3.6电容并联

3．电感串联

L1，L2，…，Ln串联，可以等效为一个电感L，如图3.7所示。等效电感L等于各个串联电感之和，即

L＝L1＋L2＋…＋Ln (3.15)

4．电感并联

若L1，L2，…，Ln并联，则可以等效为一个电感L，如图3.8所示。等效电感的倒数等于各个并联电感的倒数之和，即

(3.16)

图3.7电感串联

图3.8电感并联

3.3.1换路定则

在求解动态电路的微分方程时，积分常数是由变量的初始值决定的。也就是说，在求解动态电路之前，应先求出电路中各未知量的初始值。3.3电路初始值的计算

图3.9RC电路的换路示例如图3.9所示电路，t＝0时，S闭合，S闭合前uC(0－)＝U。

由电容的伏安关系可得，当t＝(0＋)时，电容电压为

(3.17)

上式中，若iC为有限值，不发生突变，则在无穷小区间t(0－)到t(0＋)内，积分项

(3.18)

因此，从t(0＋)到t(0＋)时刻有

uC(0＋)＝uC(0－) (3.19)上式表明，电容两端的电压在电容电流为有限值的情况下，在换路时刻是不会突变的。

同理，由电感的伏安关系知，在换路时刻，电感电流为

(3.20)

在uL为有限值的情况下，积分项也等于零，故

iL(0＋)＝iL(0－) (3.21)

以上分析表明，在t＝0处，若电容电流和电感电压为有限值，则电容电压和电感电流在该处是连续的，不会发生突变。我们把式(3.19)和(3.21)称为换路定理。

需要指出的是，换路定理只有在电容电流和电感电压为有限值时才成立。电路其它各处的初始值及在冲击作用下的电容电流、电感电压均是可以跃变的。

3.3.2初始值的计算

电路中储能元件的初始值(电容电压和电感电流)可由换路定理确定，具体步骤如下：

(1)由换路定理求出uC(0＋)和iL(0＋)。

(2)用uS＝uC(0＋)的电压源、iS＝iL(0＋)的电流源替换电容元件和电感元件，得到t(0＋)

时刻的等效电路。

(3)求解置换后的等效电路，可得到其它电量的初始值。

【例3.1】

如图3.10所示，t＝0，开关S由1扳向2；t<0时，电路处于稳态。已知R1＝2Ω，R2＝2Ω，R3＝4Ω，L＝1mH，C＝5μF，US＝24V，求换路后的初始值iL(0＋)

、iC(0＋)和uC(0＋)。

解t<0时，电路处于稳态，故

uC(0－)＝UR3＝4×4＝16V

图3.10例3.1电路图由换路定理

iL(0＋)＝iL(0－)＝4A

uC(0＋)＝uC(0－)＝16V

t＝0＋时的等效电路如图3.11所示，且

图3.11例3.1等效电路图

3.4.1一阶电路分析简介

一阶电路不论是零输入响应、零状态响应还是全响应，均可以利用KVL、KCL和电路的伏安关系加以分析。

如图3.12所示的RC电路，t＝0时S闭合，闭合前uC(0－)＝U0，求uC(t)。3.4一阶电路分析

图3.12RC电路图当t＝0＋时，S闭合，由KVL得

US＝uR＋uC

又

利用KVL方程

方程的解为

(3.22)

其中τ＝RC，A为积分常数。

将t＝0＋代入式(3.22)得到

uC(0＋)＝US＋A＝U0

则 A＝U0－US

最后得到

(3.23)

式中，US为电容的最终充电电压，即t＝∞时，uC(∞)＝US，该值称为响应的稳态值，用f(∞)表示；τ＝RC，是由电路参数决定的常数，具有时间量纲，称为时间常数；U0为响应的初始值，用f(0＋)表示。f(0＋)、f(∞)和τ称为一阶电路的三要素，利用这三要素可以很容易地求出一阶电路的全响应，即

(3.24)

这一结论对一阶电路普遍适用。3.4.2一阶电路的三要素求解法

一阶电路可以通过微分方程来求解，也可以直接用三要素来求解，即对任何响应量f(t)，均可以先求出该响应的稳态值f(∞)、初始值f(0＋)和电路的时间常数τ这三个量，然后代入公式(3.24)，即可得到响应的解。这种分析方法称为一阶电路的三要素分析法。具体的求解过程可归纳如下。

1.计算初始值f(0)

计算初始值f(0)可通过换路定理和等效电路进行。

2.计算稳态值f(∞)

一阶动态电路进入稳态后，电容相当于开路，电感相当于短路，从而可以得到一个不含电容和电感的电路，该电路即为相应的动态电路进入稳态后的情况。根据稳态电路可以方便地求出各响应量的稳态值。

3.计算时间常数τ

一阶RC电路的时间常数τ＝RC，一阶RL电路的时间常数τ＝L/R。其中R为从动态元件两端看入，除源后电路的等效电阻。遇到有多个C和L串并联的电路，可先除源，然后求出等效的C和L。3.4.3一阶电路响应的分析

一阶电路的响应可表示为

式中为随时间呈指数规律衰减项，该项在t→∞时，衰减到0，称为暂态分量；另一部分f(∞)是动态电路进入稳态后的响应量，称为稳态分量。

若电路的初始值f(0＋)＝0，则响应为

(3.25)

上式即为一阶电路的零状态响应。

若电路没有外加电源，稳态值f(∞)＝0，则电路的零输入响应为

(3.26)

从式(3.25)和式(3.26)可以看出，一阶电路的全响应就是电路的零输入响应与零状态响应的叠加，即

【例3.2】

如图3.13(a)所示的电容C放电电路，已知uC(0－)＝U0＝12V，C＝1μF，R＝6Ω，求放电过程中的uC(t)及i(t)，并从电压变化说明时间常数τ的含义。

解由换路定理

uC(0＋)＝uC(0－)＝12V

t＝0＋时S闭合，初始值等效电路如图3.13(b)所示，故

电路的时间常数τ为

τ＝RC＝6×1×10－6＝6×10－6s图3.13例3.2电路

电路进入稳态后(电容放电结束)

uC(∞)＝0i(∞)＝0

所以

若令t＝τ，2τ，3τ，…，∞，则

u(τ)＝U0e－1＝0.368U0

u(2τ)＝U0e－2＝0.135U0

u(3τ)＝U0e－3＝0.050U0

u(∞)＝0

从上面的式子中可以看出，τ反映了电路过渡过程的快慢，τ越大，过渡过程越慢。对放电过程而言，每经过一个时间常数τ，电容电压下降0.368倍，显然，τ越小放电过程越快。

【例3.3】

如图3.14(a)所示电路，t＝0时开关闭合，S闭合前电路处于稳态，R1＝4Ω，R2＝2Ω，R3＝2Ω，C＝5μF，求t≥0时的uC(t)、iC(t)、i(t)。

解(1)初始值的计算。由换路定则知

uC(0＋)＝uC(0－)＝12V

t＝0＋时的等效电路见图3.14(b)，所以

(R1＋R3)i(0＋)－R3iC(0＋)＝12

－R3i(0＋)＋(R2＋R3)iC(0＋)＝－12

解得电流初始值为

i(0＋)＝1.2A

iC(0＋)＝－2.4A

图3.14例3.3电路图

(2)稳态值的计算。

电路进入稳态时，电容相当于开路，等效电路如图3.14(c)所示。

iC(∞)＝0A

(3)时间常数τ的计算。

在图3.14(c)所示的电路中，将电压源短路，从电容端看进去可得到等效电阻为

τ＝RC＝3.33×5×10－6＝1.67×10－5s

将以上三要素代入公式，得到

【例3.4】

如图3.15(a)所示电路，当t＝0时，S闭合，闭合前电路处于稳态，求t≥0时的i(t)及u(t)。

解由三要素法进行分析。

(1)求初始值。

S闭合前电路处于稳态，电感相当于短路，故

t＝0＋时的等效电路如图3.15(b)所示，有

图3.15例3.4电路图

(2)求稳态值。

换路后t＝∞时，电感相当于短路，则

u(∞)＝0V

(3)求τ。

从电感端口看进去的等效电阻为

故

习题3

1.如题图3.1所示，开关在t=0时动作，试求电路中的动态元件在t=0+时刻的电压、电流。

2.如题图3.2所示，电路原已稳定。t=0时开关S断开，试求断开后瞬间各支路电流和储能元件上的电压。

3.如题图3.3所示，求开关S断开后，电容电压uC（t）和放电电流iC（t）。题图3.1

2.如题图3.2所示，电路原已稳定。t＝0时开关S断开，试求断开后瞬间各支路电流和储能元件上的电压。

题图3.2