对数与函数题目及答案

对数与函数题目及答案

一、单项选择题1.函数\(y=\log_{a}(x+3)-1\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的图象恒过定点\(A\)，若点\(A\)在直线\(mx+ny+1=0\)上，其中\(mn>0\)，则\(\frac{1}{m}+\frac{2}{n}\)的最小值为（）A.\(2\sqrt{2}\)B.\(4\)C.\(6\)D.\(8\)答案：D2.已知\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，当\(x\geq0\)时，\(f(x)=3^{x}+m\)（\(m\)为常数），则\(f(-\log_{3}5)\)的值为（）A.\(4\)B.\(-4\)C.\(6\)D.\(-6\)答案：B3.函数\(y=\log_{\frac{1}{2}}(x^{2}-2x)\)的单调递减区间是（）A.\((-\infty,0)\)B.\((-\infty,1)\)C.\((2,+\infty)\)D.\((1,+\infty)\)答案：C4.已知\(a=\log_{2}3.6\)，\(b=\log_{4}3.2\)，\(c=\log_{4}3.6\)，则（）A.\(a>b>c\)B.\(a>c>b\)C.\(b>a>c\)D.\(c>a>b\)答案：B5.若函数\(f(x)=\begin{cases}\log_{3}x,x>0\\3^{x},x\leq0\end{cases}\)，则\(f(f(\frac{1}{9}))\)的值为（）A.\(\frac{1}{9}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(9\)D.\(3\)答案：A6.函数\(y=\frac{\ln(x+1)}{\sqrt{-x^{2}-3x+4}}\)的定义域为（）A.\((-4,-1)\)B.\((-4,1)\)C.\((-1,1)\)D.\((-1,1]\)答案：C7.已知函数\(f(x)=\log_{a}(2x-a)\)在区间\([\frac{1}{2},\frac{2}{3}]\)上恒有\(f(x)>0\)，则实数\(a\)的取值范围是（）A.\((\frac{1}{3},1)\)B.\([\frac{1}{3},1)\)C.\((\frac{2}{3},1)\)D.\([\frac{2}{3},1)\)答案：A8.已知函数\(f(x)\)满足\(f(x+1)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\)，若\(f(1)=2\)，则\(f(2023)\)的值为（）A.\(2\)B.\(-\frac{1}{3}\)C.\(-\frac{1}{2}\)D.\(3\)答案：C9.若函数\(f(x)=\log_{2}(x^{2}-ax+3a)\)在\([2,+\infty)\)上是增函数，则实数\(a\)的取值范围是（）A.\((-\infty,4]\)B.\((-4,4]\)C.\((-4,+\infty)\)D.\([-4,2)\)答案：B10.已知\(f(x)\)是偶函数，且在\([0,+\infty)\)上是减函数，若\(f(\lgx)>f(1)\)，则\(x\)的取值范围是（）A.\((\frac{1}{10},1)\)B.\((0,\frac{1}{10})\cup(1,+\infty)\)C.\((\frac{1}{10},10)\)D.\((0,1)\cup(10,+\infty)\)答案：C二、多项选择题1.下列函数中，是对数函数的有（）A.\(y=\log_{a}x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）B.\(y=\log_{2}x+1\)C.\(y=2\log_{4}x\)D.\(y=\log_{5}x\)答案：AD2.已知函数\(f(x)=\log_{a}(x+2)+1\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的图象过定点\(A\)，则点\(A\)的坐标为（）A.\((-1,1)\)B.\((-2,1)\)C.当\(a>1\)时，\(A\)为\((-1,1)\)；当\(0<a<1\)时，\(A\)为\((-2,1)\)D.与\(a\)的值无关答案：AD3.下列关于函数\(y=\log_{2}x\)的说法正确的是（）A.在\((0,+\infty)\)上是增函数B.图象过点\((1,0)\)C.图象关于\(y\)轴对称D.定义域为\((0,+\infty)\)答案：ABD4.已知函数\(f(x)=\log_{a}(x^{2}-2ax+a+2)\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)），若\(f(x)\)在区间\([3,+\infty)\)上单调递增，则实数\(a\)的取值范围可以是（）A.\((1,3)\)B.\((1,\frac{5}{2})\)C.\((1,\frac{7}{3})\)D.\((\frac{7}{3},+\infty)\)答案：BC5.若函数\(f(x)=\log_{2}(|x-1|+|x-5|-a)\)的定义域为\(R\)，则实数\(a\)的取值可能是（）A.\(3\)B.\(4\)C.\(5\)D.\(6\)答案：AB6.下列函数中，与函数\(y=\log_{2}x\)具有相同值域的有（）A.\(y=2^{x}\)B.\(y=\lgx\)C.\(y=\lnx\)D.\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)答案：BCD7.已知函数\(f(x)=\log_{a}(1-x)+\log_{a}(x+3)\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)），则（）A.函数\(f(x)\)的定义域为\((-3,1)\)B.函数\(f(x)\)的最大值为\(\log_{a}4\)C.当\(a>1\)时，函数\(f(x)\)在\((-3,-1)\)上单调递增D.当\(0<a<1\)时，函数\(f(x)\)在\((-1,1)\)上单调递减答案：ACD8.若\(a>1\)，\(b>0\)，且\(a^{b}+a^{-b}=2\sqrt{2}\)，则\(a^{b}-a^{-b}\)的值为（）A.\(\sqrt{6}\)B.\(2\)C.\(-2\)D.\(2\)或\(-2\)答案：A9.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A.\(y=\log_{2}x\)B.\(y=2^{x}\)C.\(y=x^{3}\)D.\(y=\ln(\sqrt{x^{2}+1}+x)\)答案：CD10.已知函数\(f(x)=\log_{a}(x^{2}-4x+3)\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)），则（）A.当\(a>1\)时，\(f(x)\)的单调递增区间为\((3,+\infty)\)B.当\(0<a<1\)时，\(f(x)\)的单调递增区间为\((-\infty,1)\)C.函数\(f(x)\)的值域为\(R\)D.函数\(f(x)\)的图象恒过定点\((2,0)\)答案：ABC三、判断题1.函数\(y=\log_{a}x^{2}\)与\(y=2\log_{a}x\)是同一函数。（）答案：×2.对数函数\(y=\log_{a}x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的图象一定过点\((1,0)\)。（）答案：√3.若\(a>1\)，\(x>y>0\)，则\(\log_{a}x>\log_{a}y\)。（）答案：√4.函数\(y=\log_{2}(x^{2}-1)\)的定义域是\((-1,1)\)。（）答案：×5.函数\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)在\((0,+\infty)\)上是增函数。（）答案：×6.若\(f(x)=\log_{a}(x+1)\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)），则\(f(0)=0\)。（）答案：√7.函数\(y=\lnx\)与\(y=\log_{e}x\)是同一函数。（）答案：√8.对数函数\(y=\log_{a}x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的图象都在\(y\)轴右侧。（）答案：√9.若\(f(x)=\log_{a}(x^{2}-3x+2)\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)），则\(f(x)\)的定义域为\((-\infty,1)\cup(2,+\infty)\)。（）答案：√10.函数\(y=\log_{3}(x+1)-1\)的图象是由\(y=\log_{3}x\)的图象向左平移\(1\)个单位，再向下平移\(1\)个单位得到的。（）答案：√四、简答题1.求函数\(y=\log_{2}(x^{2}-5x+6)\)的定义域。答案：要使函数有意义，则\(x^{2}-5x+6>0\)，即\((x-2)(x-3)>0\)。解得\(x<2\)或\(x>3\)。所以函数的定义域为\((-\infty,2)\cup(3,+\infty)\)。2.已知\(f(x)=\log_{a}(1-x)+\log_{a}(x+3)\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)），求\(f(x)\)的定义域和值域。答案：定义域：由\(\begin{cases}1-x>0\\x+3>0\end{cases}\)，得\(-3<x<1\)，定义域为\((-3,1)\)。令\(t=(1-x)(x+3)=-x^{2}-2x+3=-(x+1)^{2}+4\)，\(t\in(0,4]\)。当\(a>1\)时，\(y=\log_{a}t\in(-\infty,\log_{a}4]\)；当\(0<a<1\)时，\(y=\log_{a}t\in[\log_{a}4,+\infty)\)。3.比较\(\log_{2}3\)与\(\log_{3}4\)的大小。答案：因为\(\log_{2}3-\log_{3}4=\frac{\lg3}{\lg2}-\frac{\lg4}{\lg3}=\frac{\lg^{2}3-\lg2\times\lg4}{\lg2\times\lg3}\)。又\(\lg^{2}3-\lg2\times\lg4>\lg^{2}3-(\frac{\lg2+\lg4}{2})^{2}=\lg^{2}3-(\frac{\lg8}{2})^{2}>0\)，且\(\lg2\times\lg3>0\)，所以\(\log_{2}3>\log_{3}4\)。4.已知函数\(f(x)=\log_{a}(ax^{2}-x)\)在区间\([2,4]\)上是增函数，求实数\(a\)的取值范围。答案：令\(g(x)=ax^{2}-x\)。当\(a>1\)时，要使\(f(x)\)在\([2,4]\)上递增，则\(g(x)\)在\([2,4]\)上递增且\(g(x)>0\)在\([2,4]\)上恒成立。\(\begin{cases}\frac{1}{2a}\leq2\\g(2)=4a-2>0\end{cases}\)，解得\(a>\frac{1}{2}\)，所以\(a>1\)。当\(0<a<1\)时，\(g(x)\)在\([2,4]\)上递减且\(g(x)>0\)在\([2,4]\)上恒成立，\(\begin{cases}\frac{1}{2a}\geq4\\g(4)=16a-4>0\end{cases}\)，无解。综上，\(a