2025年线性代数期末试卷及答案

2025年线性代数期末试卷及答案

一、单项选择题1.设矩阵\(A\)为\(3\)阶方阵，且\(\vertA\vert=2\)，则\(\vert-2A\vert=(\)\)A.-16B.-4C.4D.16答案：A2.设\(A\)，\(B\)均为\(n\)阶方阵，且\(AB=O\)，则下列结论正确的是\((\)\)A.\(A=O\)且\(B=O\)B.\(A=O\)或\(B=O\)C.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)D.\(\vertA\vert+\vertB\vert=0\)答案：C3.向量组\(\alpha_1=(1,1,1)\)，\(\alpha_2=(1,2,3)\)，\(\alpha_3=(1,3,t)\)线性相关，则\(t=(\)\)A.5B.4C.3D.2答案：A4.设\(A\)是\(n\)阶可逆矩阵，\(\lambda\)是\(A\)的一个特征值，则\(A^{-1}\)的一个特征值是\((\)\)A.\(\lambda\)B.\(\frac{1}{\lambda}\)C.\(\lambda^{-n}\)D.\(\lambda^n\)答案：B5.设矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，则\(A\)的伴随矩阵\(A^{}=(\)\)A.\(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&-2\\-3&4\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\)答案：A6.若\(n\)阶方阵\(A\)与\(B\)相似，则下列说法错误的是\((\)\)A.\(A\)与\(B\)有相同的特征值B.\(A\)与\(B\)有相同的秩C.\(A\)与\(B\)有相同的行列式D.\(A\)与\(B\)有相同的特征向量答案：D7.设\(A\)是\(m\timesn\)矩阵，\(Ax=0\)是非齐次线性方程组\(Ax=b\)对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是\((\)\)A.若\(Ax=0\)仅有零解，则\(Ax=b\)有唯一解B.若\(Ax=0\)有非零解，则\(Ax=b\)有无穷多解C.若\(Ax=b\)有无穷多解，则\(Ax=0\)有非零解D.若\(Ax=b\)有唯一解，则\(Ax=0\)有非零解答案：C8.设矩阵\(A\)的秩\(r(A)=r\)，则\(A\)中\((\)\)A.所有\(r\)阶子式都不为零B.所有\(r+1\)阶子式都为零C.至少有一个\(r+1\)阶子式不为零D.所有\(r-1\)阶子式都不为零答案：B9.设\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)是齐次线性方程组\(Ax=0\)的一个基础解系，则下列向量组中也可作为\(Ax=0\)的基础解系的是\((\)\)A.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1\)B.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3\)C.\(\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)D.\(\alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1\)答案：C10.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2\)的矩阵是\((\)\)A.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&2&0\\2&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\0&2&3\\0&0&3\end{pmatrix}\)答案：A二、多项选择题1.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，则下列等式成立的有\((\)\)A.\((AB)^T=B^TA^T\)B.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)C.\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)D.\((kA)^T=kA^T\)（\(k\)为常数）答案：ACD2.下列向量组中，线性无关的是\((\)\)A.\(\alpha_1=(1,0,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,0)\)，\(\alpha_3=(0,0,1)\)B.\(\alpha_1=(1,1,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,1)\)，\(\alpha_3=(1,0,1)\)C.\(\alpha_1=(1,2,3)\)，\(\alpha_2=(2,4,6)\)D.\(\alpha_1=(1,1,1)\)，\(\alpha_2=(1,2,3)\)，\(\alpha_3=(3,4,5)\)答案：AB3.设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是对应的特征向量，则\((\)\)A.\(A\xi=\lambda\xi\)B.\((A-\lambdaE)\xi=0\)C.\(\vertA-\lambdaE\vert=0\)D.对于任意常数\(k\)，\(k\xi\)也是\(A\)对应于\(\lambda\)的特征向量答案：ABC4.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(A\)与\(B\)合同，则\((\)\)A.\(A\)与\(B\)等价B.\(A\)与\(B\)相似C.\(r(A)=r(B)\)D.\(A\)与\(B\)有相同的正惯性指数答案：ACD5.下列关于线性方程组的说法正确的是\((\)\)A.齐次线性方程组\(Ax=0\)一定有解B.非齐次线性方程组\(Ax=b\)有解的充要条件是\(r(A)=r(A|b)\)C.若齐次线性方程组\(Ax=0\)的系数矩阵\(A\)的秩\(r(A)=n\)（\(n\)为未知数个数），则\(Ax=0\)只有零解D.若非齐次线性方程组\(Ax=b\)的系数矩阵\(A\)的秩\(r(A)\)小于未知数个数，则\(Ax=b\)有无穷多解答案：ABC6.设矩阵\(A\)经过初等行变换化为矩阵\(B\)，则\((\)\)A.\(A\)与\(B\)等价B.\(r(A)=r(B)\)C.\(A\)与\(B\)有相同的行向量组D.\(A\)与\(B\)有相同的列向量组答案：AB7.已知\(\alpha_1,\alpha_2\)是齐次线性方程组\(Ax=0\)的解，\(\beta_1,\beta_2\)是非齐次线性方程组\(Ax=b\)的解，则\((\)\)A.\(\alpha_1+\alpha_2\)是\(Ax=0\)的解B.\(\beta_1+\beta_2\)是\(Ax=b\)的解C.\(\beta_1-\beta_2\)是\(Ax=0\)的解D.\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2\)（\(k_1,k_2\)为任意常数）是\(Ax=0\)的解答案：ACD8.设\(A\)为\(n\)阶正交矩阵，则\((\)\)A.\(A^TA=E\)B.\(\vertA\vert=1\)C.\(A\)的列向量组是正交单位向量组D.\(A\)的行向量组是正交单位向量组答案：ACD9.对于\(n\)阶实对称矩阵\(A\)，下列说法正确的是\((\)\)A.\(A\)一定可以相似对角化B.\(A\)的特征值都是实数C.不同特征值对应的特征向量一定正交D.存在正交矩阵\(Q\)，使得\(Q^TAQ\)为对角矩阵答案：ABCD10.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2ax_1x_2+2bx_2x_3\)正定，则\((\)\)A.\(a^2\lt1\)B.\(b^2\lt1\)C.\(a^2+b^2\lt1\)D.\(\begin{vmatrix}1&a&0\\a&1&b\\0&b&1\end{vmatrix}\gt0\)答案：ABD三、判断题1.若矩阵\(A\)的行列式\(\vertA\vert=0\)，则\(A\)的行向量组线性相关。\((\)\)答案：√2.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，若\(AB=BA\)，则\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)。\((\)\)答案：√3.向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)（\(m\gtn\)）一定线性相关，其中\(\alpha_i\)为\(n\)维向量。\((\)\)答案：√4.若矩阵\(A\)与\(B\)相似，则\(A\)与\(B\)一定等价。\((\)\)答案：√5.齐次线性方程组\(Ax=0\)的基础解系是唯一的。\((\)\)答案：×6.设\(A\)为\(n\)阶方阵，若\(A\)的特征值全为零，则\(A=O\)。\((\)\)答案：×7.二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X^TAX\)（\(A\)为实对称矩阵）正定的充要条件是\(A\)的所有顺序主子式都大于零。\((\)\)答案：√8.若矩阵\(A\)的秩\(r(A)=r\)，则\(A\)中存在\(r\)个列向量线性无关。\((\)\)答案：√9.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(A\)可逆，若\(AB=O\)，则\(B=O\)。\((\)\)答案：√10.正交矩阵的行列式的值为\(1\)。\((\)\)答案：×四、简答题1.简述矩阵可逆的充要条件，并说明如何求可逆矩阵的逆矩阵。答案：矩阵\(A\)可逆的充要条件是\(\vertA\vert\neq0\)。求可逆矩阵\(A\)的逆矩阵方法有：伴随矩阵法，\(A^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}A^{}\)，其中\(A^{}\)是\(A\)的伴随矩阵；初等变换法，对\((A|E)\)作初等行变换，当\(A\)化为\(E\)时，右边的\(E\)就化为\(A^{-1}\)。2.说明向量组线性相关和线性无关的定义。答案：对于向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)，如果存在不全为零的数\(k_1,k_2,\cdots,k_m\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0\)，则称向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)线性相关；若只有当\(k_1=k_2=\cdots=k_m=0\)时，\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0\)才成立，则称向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)线性无关。3.简述线性方程组有解的判定定理。答案：对于非齐次线性方程组\(Ax=b\)，其有解的判定定理为：系数矩阵\(A\)的秩\(r(A)\)等于增广矩阵\((A|b)\)的秩\(r(A|b)\)。当\(r(A)=r(A|b)=n\)（\(n\)为未知数个数）时，方程组有唯一解；当\(r(A)=r(A|b)\ltn\)时，方程组有无穷多解。齐次线性方程组\(Ax=0\)一定有解，当\(r(A)=n\)时只有零解，当\(r(A)\ltn\)时有非零解。4.简述实对称矩阵的性质。答案：实对称矩阵\(A\)具有以下性质：特征值都是实数；不同特征值对应的特征向量正交；一定可以相似对角化，即存在可逆矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP\)为对角矩阵，且存在正交矩阵\(Q\)，使得\(Q^TAQ\)为对角矩阵；\(A\)的秩等于其非零特征值的个数