数学冬奥函数题目及答案

数学冬奥函数题目及答案

一、单项选择题1.已知某冬奥场馆的温度\(T\)随时间\(t\)的变化近似满足函数\(T(t)=A\sin(\omegat+\varphi)+b\)，\(A\gt0\)，\(\omega\gt0\)，\(|\varphi|\lt\frac{\pi}{2}\)。在一个周期内，当\(t=\frac{1}{6}\)时，温度最高为\(10^{\circ}C\)，当\(t=\frac{7}{6}\)时，温度最低为\(-2^{\circ}C\)，则函数的解析式为（）A.\(T(t)=6\sin(\frac{\pi}{6}t+\frac{\pi}{3})+4\)B.\(T(t)=6\sin(\frac{\pi}{6}t-\frac{\pi}{3})+4\)C.\(T(t)=6\sin(\frac{\pi}{3}t+\frac{\pi}{6})+4\)D.\(T(t)=6\sin(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{6})+4\)答案：A2.冬奥会某项目的观众人数\(y\)与比赛日期\(x\)满足函数关系\(y=k\cdota^{x}\)（\(k\gt0\)，\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）。已知比赛开始第\(2\)天观众人数为\(100\)人，第\(4\)天观众人数为\(400\)人，则第\(5\)天的观众人数为（）A.\(800\)人B.\(1000\)人C.\(1200\)人D.\(1600\)人答案：A3.某冬奥会纪念品的成本价为\(10\)元，销售价为\(x\)元（\(10\ltx\lt30\)），销售量\(y\)与销售价\(x\)的函数关系为\(y=-10x+300\)，则利润\(L\)与销售价\(x\)的函数关系为（）A.\(L=(x-10)(-10x+300)\)B.\(L=10x-300\)C.\(L=(x-10)(10x-300)\)D.\(L=-10x^{2}+400x-3000\)答案：A4.设函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，当\(x\geq0\)时，\(f(x)=2^{x}+2x+b\)（\(b\)为常数），则\(f(-1)\)的值为（）A.\(-3\)B.\(-1\)C.\(1\)D.\(3\)答案：A5.已知函数\(y=f(x)\)的图象与函数\(y=a^{x}\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的图象关于直线\(y=x\)对称，且点\((a,b)\)在函数\(y=f(x)\)的图象上，则\(b\)的值为（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(a\)答案：B6.某滑雪运动员的滑行距离\(s\)（单位：\(m\)）与滑行时间\(t\)（单位：\(s\)）的函数关系为\(s=10t-t^{2}\)，则该运动员在\(t=3s\)时的瞬时速度为（）A.\(4m/s\)B.\(6m/s\)C.\(8m/s\)D.\(10m/s\)答案：A7.函数\(y=\log_{2}(x^{2}-4x+3)\)的单调递增区间是（）A.\((-\infty,1)\)B.\((3,+\infty)\)C.\((-\infty,2)\)D.\((2,+\infty)\)答案：B8.若函数\(f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c\)，且\(f(0)=0\)，\(f(1)=1\)，\(f(-1)=-1\)，则\(a\)的值为（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(-1\)D.\(2\)答案：A9.已知函数\(y=f(x)\)满足\(f(x+2)=f(x)\)，且当\(x\in[0,2]\)时，\(f(x)=x^{2}-2x\)，则\(f(7)\)的值为（）A.\(-1\)B.\(0\)C.\(1\)D.\(2\)答案：A10.函数\(y=\frac{1}{x-1}+x\)（\(x\gt1\)）的最小值为（）A.\(2\)B.\(3\)C.\(4\)D.\(5\)答案：B二、多项选择题1.下列函数中，在其定义域上是增函数的有（）A.\(y=2^{x}\)B.\(y=\log_{2}x\)C.\(y=x^{3}\)D.\(y=-x^{2}\)答案：ABC2.已知函数\(f(x)=\sin(2x+\varphi)\)（\(|\varphi|\lt\frac{\pi}{2}\)）的图象经过点\((0,\frac{1}{2})\)，则（）A.\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)B.函数\(f(x)\)的最小正周期为\(\pi\)C.函数\(f(x)\)在\([0,\frac{\pi}{3}]\)上单调递增D.函数\(f(x)\)的图象关于点\((\frac{5\pi}{12},0)\)对称答案：ABD3.对于函数\(y=\log_{a}(x+2)+1\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)），下列说法正确的是（）A.图象恒过定点\((-1,1)\)B.当\(a\gt1\)时，函数在\((-2,+\infty)\)上单调递增C.函数图象关于直线\(y=x\)对称的函数解析式为\(y=a^{x-1}-2\)D.函数图象可由\(y=\log_{a}x\)的图象向左平移\(2\)个单位，再向上平移\(1\)个单位得到答案：ABCD4.已知函数\(f(x)=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)），若\(f(1)=f(3)\)，则（）A.\(f(0)=f(4)\)B.\(a+b=0\)C.函数\(f(x)\)的图象关于直线\(x=2\)对称D.\(f(2)\)是函数\(f(x)\)的最值答案：ACD5.下列函数中，是偶函数的有（）A.\(y=x^{2}+1\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\log_{2}|x|\)D.\(y=\frac{1}{x^{2}}\)答案：ABCD6.已知函数\(y=f(x)\)的导函数为\(f^\prime(x)\)，且\(f^\prime(x)\gt0\)在区间\((a,b)\)上恒成立，则（）A.函数\(y=f(x)\)在区间\((a,b)\)上单调递增B.函数\(y=f(x)\)在区间\((a,b)\)上的图象是下凸的C.若\(x_{1},x_{2}\in(a,b)\)且\(x_{1}\ltx_{2}\)，则\(f(x_{1})\ltf(x_{2})\)D.函数\(y=f(x)\)在区间\((a,b)\)上可能有极值点答案：AC7.对于函数\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)（\(A\gt0\)，\(\omega\gt0\)），以下说法正确的是（）A.振幅为\(A\)B.周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)C.初相为\(\varphi\)D.当\(\omegax+\varphi=2k\pi+\frac{\pi}{2}\)（\(k\inZ\)）时，函数取得最大值\(A\)答案：ABC8.已知函数\(f(x)\)满足\(f(x+1)\)是偶函数，且当\(x\geq1\)时，\(f(x)=x^{2}-4x\)，则（）A.\(f(x)\)的图象关于直线\(x=1\)对称B.\(f(0)=f(2)\)C.\(f(x)\)在\((-\infty,1]\)上单调递减D.\(f(x)\)在\([1,+\infty)\)上的最小值为\(-4\)答案：ABD9.设函数\(f(x)\)和\(g(x)\)都是定义在\(R\)上的函数，且满足\(f(x)+g(x)=2^{x}\)，\(f(x)-g(x)=2^{-x}\)，则（）A.\(f(x)=\frac{2^{x}+2^{-x}}{2}\)B.\(g(x)=\frac{2^{x}-2^{-x}}{2}\)C.\(f(x)\)是偶函数D.\(g(x)\)是奇函数答案：ABCD10.已知函数\(y=f(x)\)的图象如图所示（部分），则下列说法正确的是（）A.函数\(y=f(x)\)的定义域为\([-3,3]\)B.函数\(y=f(x)\)的值域为\([-2,2]\)C.函数\(y=f(x)\)在\([-3,-1]\)上单调递减D.函数\(y=f(x)\)在\(x=1\)处取得极大值答案：ACD三、判断题1.函数\(y=3x+1\)是一次函数，它的图象是一条直线。（√）2.函数\(y=\sinx\)的最小正周期是\(2\pi\)。（√）3.若函数\(y=f(x)\)在区间\((a,b)\)上有\(f^\prime(x)\lt0\)，则函数\(y=f(x)\)在区间\((a,b)\)上单调递减。（√）4.函数\(y=\log_{a}x\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的定义域是\((0,+\infty)\)。（√）5.已知函数\(f(x)\)是奇函数，且\(f(0)\)有意义，则\(f(0)=0\)。（√）6.函数\(y=x^{2}\)在\((-\infty,0)\)上单调递增。（×）7.若函数\(y=f(x)\)与\(y=g(x)\)的图象关于\(y\)轴对称，则\(f(x)=g(-x)\)。（√）8.函数\(y=\frac{1}{x}\)的值域是\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。（√）9.二次函数\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)）的对称轴方程是\(x=-\frac{b}{2a}\)。（√）10.函数\(y=\tanx\)的定义域是\(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)。（√）四、简答题1.已知函数\(f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)，求函数\(f(x)\)的单调递增区间。答案：令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x+\frac{\pi}{6}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}\)，\(k\inZ\)。解这个不等式组，先解\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x+\frac{\pi}{6}\)，得\(2k\pi-\frac{2\pi}{3}\leq2x\)，即\(k\pi-\frac{\pi}{3}\leqx\)；再解\(2x+\frac{\pi}{6}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}\)，得\(2x\leq2k\pi+\frac{\pi}{3}\)，即\(x\leqk\pi+\frac{\pi}{6}\)。所以函数\(f(x)\)的单调递增区间是\([k\pi-\frac{\pi}{3},k\pi+\frac{\pi}{6}]\)，\(k\inZ\)。2.已知函数\(y=\log_{2}(x^{2}-3x+2)\)，求其定义域。答案：要使函数有意义，则\(x^{2}-3x+2\gt0\)。因式分解得\((x-1)(x-2)\gt0\)。则有两种情况：\(\begin{cases}x-1\gt0\\x-2\gt0\end{cases}\)或\(\begin{cases}x-1\lt0\\x-2\lt0\end{cases}\)。第一种情况解得\(x\gt2\)，第二种情况解得\(x\lt1\)。所以函数的定义域为\((-\infty,1)\cup(2,+\infty)\)。3.已知函数\(f(x)=x^{3}-3x^{2}+2\)，求函数\(f(x)\)的极值。答案：先对\(f(x)\)求导，\(f^\prime(x)=3x^{2}-6x\)，令\(f^\prime(x)=0\)，即\(3x^{2}-6x=0\)，提取公因式\(3x\)得\(3x(x-2)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。当\(x\lt0\)时，