湖北省襄阳市第四中学2026届高三上学期开学综合测试数学试题(含解析)

湖北省襄阳市第四中学2026届高三上学期综合测试数学试题及答案解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）....2.已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（）....3.在矩形中，，，若，且，则（）....4.（）....5.如图，如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，又如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的时，水的体积为84，则该方斗杯可盛水的总体积为（）....6.若,构成等差数列，公差，，且其中三项构成等比数列，设，，则下列说法正确的是（）.一定大于0.可能构成等比数列.若，，则为5的倍数.7.已知函数的定义域为，对任意的，均有，且，则下列结论中一定正确的是（）....8.已知双曲线的左、右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与交于两点，若（为的离心率），为坐标原点，为的重心，则斜率的最小值为（）....二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）.已知一组数据为-1,1,2,4,3,5,10,9，若为这组数据的上四分位数，，则的展开式中的系数为.数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点.若随机变量，则函数为偶函数.在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的9倍（，其中）10.已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（）..若，则直线的斜率为.三点共线（其中为坐标原点）.11.如图，半圆锥的底面直径为，母线，为圆弧上任意一点（不包括两点），直线垂直于平面，且.连结交母线于点.下列结论正确的是（）.三棱锥的4个面均为直角三角形..沿此半圆锥的曲侧面从点到达点的最短距离为2.当直线与平面所成角最大时，平面截三棱锥外接球所得截面的面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则二项式的展开式中含项的系数为.13.成都石室中学举办校庆文艺展演晚会，设置有一个“传奇”主会场和“传承”，“扬辉”两个分会场.现场需要安排含甲、乙的六名安全员负责现场秩序安全，其中“传奇”主会场安排三人，剩下三人安排去“传承”“扬辉”两个分会场（每个分会场至少安排一人）.若要求甲、乙两人不再同一个会场开展工作，则不同的安排方案有种.14.如图，在中，，点分别在边上，线段和的长均不超过9，点在线段上，且平分，，则长度的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）记为数列的前项和，为数列的前项积，已知.（1）证明：数列为等比数列；（2）求的通项公式.16.（15分）如图，在三棱柱中，底面为正三角形，，且，为的中点.（1）证明：；（2）点是线段上一点，求使得二面角的正弦值不小于的点形成的轨迹长度.17.（15分）小华、小明、小红三人为某比赛制定了如下规则：现确定挑战权，挑战权属于某人时，该人可挑战另外两人.经商定，小华首先获得挑战权，他挑战小明、小红的概率均为.若他挑战小明，下一次的挑战权即属于小明，且小明再挑战小华、小红的概率分别为、；若他挑战小红，下一次的挑战权即属于小红，且小红再挑战小华、小明的概率分别为、.（1）经过3次挑战后，小华已使用的挑战权次数记为，求的分布列及数学期望；（2）若经过次挑战后，挑战权属于小华、小明、小红分别记为事件.（ⅰ）证明：；（ⅱ）求事件发生的概率.18.（17分）已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，圆心的轨迹为曲线：将曲线上每一点的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变），得到曲线.（1）求曲线的方程；（2）若，，为曲线上一动点且在第一象限内，直线分别交曲线于两点，连接交轴于点.（ⅰ）若，求直线的方程；（ⅱ）曲线上是否存在定点使得三点的横坐标按一定顺序成等比数列?若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.19.（17分）已知双曲正弦函数，双曲余弦函数.（1）求双曲正弦函数在处的切线方程；（2）证明：当时，；（3）证明：.答案解析一、选择题1.D解析：∵，，∴.2.C解析：由题意得，则，∴的虚部是.3.C解析：由题设知，且，则，∴，∴.4.D解析：5.B解析：设水面与棱台的四条侧棱分别相交于，过作交于点，交于点，如图所示，∵四边形为等腰梯形，则四边形为平行四边形，∵水面的高度是方斗杯高度的，则，，因此.设棱台的高为，设体积为，则棱台的高为，设体积为，则，.∴，由题意，则该方斗杯可盛水的总体积为.6.C解析：对于A，取，则成等比数列，，故A错误；对于B，，则，与公差，矛盾，故B错误；对于C，为5的倍数，故C正确；对于D，，故D错误.7.C解析：对于A，令，则有，故A错误；对于B，令，则，又，从而，故B错误；对于C，对任意的有，，令，则，即，令且，则，∴在上单调递减，则，即，从而（利用，则），故C正确；对于D，令，则，又，从而，故D错误.8.B解析：，则，∴直线的斜率为.设，的中点为，则点在直线上，则，，两式作差，得，即，则，当且仅当时等号成立，∴直线斜率的最小值为.二、选择题9.ABC解析：对于A，将原数据按照从小到大的顺序排序为-1,1,2,3,4,5,9,10，∵上四分位数就是第75百分位数，∴，∴，∵的二项展开式的通项为，令，解得，∴的展开式中的系数为，故A正确；对于B，∵回归直线方程过样本的中心点，，∴，∴去除一个异常点后，，，∴新的回归直线必过点，故B正确；对于C，∵随机变量，∴其图象关于对称，∴关于对称轴的对称点为，即，关于对称轴的对称点为，即，根据正态曲线的对称性可知，∵，∴，∴，∴函数为偶函数，故C正确；对于D，在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则，∴变为原来的3倍，故D错误.10.ACD解析：连接，根据抛物线定义可知，∴，又由于轴，∴，∴，同理可证，∴，即，故A正确；过作于，设，则，，∴，∴，由对称性可知直线的斜率为，故B错误；设，，则，，由于，，由于三点共线，则，又由于，，则，由于，则，∴，，∴，即，∴三点共线，故C正确；由于，则，即，∴，，∴，故D正确.11.ABD解析：对于A，根据直线垂直于平面，故，，故，为直角三角形，半圆锥的底面直径为，为圆弧上任意一点（不包括两点），，故为直角三角形，∵，，故平面，得，故为直角三角形，故A正确；对于B，中，，则，，故B正确；对于C，将圆锥沿母线剪开后得到平面展开图，,则，即圆锥展开为一个半圆.又，，则，故C错误；对于D，过作于，连接，则平面，故为与面所成的角，设，，则，，，则，可得.设，，则上式，当且仅当，即时取“=”.又三棱锥的外接球半径为，点到平面的距离为，又中点（球心）到平面的距离为点到平面的距离的一半，即为，则，∴，故D正确.三、填空题12.解析：由题意知，，∴，则二项式的通项，令，解得，∴含项的系数为.13.解析：按照甲、乙是否存在“传奇”主会场划分情况：①甲、乙有且只有1人在主会场，需要在除甲、乙外的四人中选两人取主会场，剩下的三人去“传承”，“扬辉”两个分会场，有种不同的安排方案；②甲、乙都不在主会场，从甲、乙外的四人中选三人去主会场，再将甲、乙安排去“传承”，“扬辉”两个分会场，且一人取一个分会场，剩下一人可以去“传承”，“扬辉”两个分会场，有种不同的安排方案.根据分类加法计数原理，共有种不同的安排方案.14.解析：设，，，由题意可得，且，∵，∴，可得，∴.∵，，∴，解得，∴.令，∵函数，当且仅当时取等号，由对勾函数单调性可得在上单调递减，在上单调递增，∴当时，，则.由余弦定理可得，故，即长度的取值范围是.四、解答题15.解：（1）证明：当时，，解得，当时，∵，即①，则②，得：，整理得，∴，∴数列是首项为，公比是2的等比数列.（2）由（1）可得，则，当时，，当时，，∴的通项公式为.16.解：（1）如图，连接，∵底面为边长为4的正三角形，且为的中点，∴，又，∴，且，在中，∵，由余弦定理可得，解得，在中，∵，∴.∵平面，且，∴平面，又平面，故.（2）由（1）知平面，∵，∴，则以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，，，设平面的法向量为，则，取，则，，则平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则，取，则，，则平面的一个法向量为.设二面角的平面角为，当时，由得，即，整理得，即，解得，∵，故使得二面角的正弦值不小于的点形成的轨迹长度为.17.解：（1）的可能取值为1和2，；，则的分布列如下：12则的期望为.（2）（ⅰ）①，②，①-②得：.又,则，即.（ⅱ）③，①+②得：，由③知，又，则有，其中，，则是以为首项，为公比的等比数列.可得，∴.18.解：（1）设圆的半径为，点，由于，从而圆与圆内切，又圆与圆外切，与圆内切，则有，，当时，，，从而矛盾，故不符合题意；当时，，，从而，则点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆（除去点），设，则半焦距为，，即，从而，故，设为曲线上任意一点，则点在曲线上，即，即，故.（2）由题意知直线的斜率存在，从而记直线的斜率分别为设为上一点，则有，即，从而，设直线，，设，，，联立，得，