2026届新高考数学热点冲刺复习函数的单调性与最大(小)值

2026届新高考数学热点冲刺复习函数的单调性与最大(小)值1.会利用函数的单调性比较函数值的大小,解函数不等式.

2.会求函数的最值或值域.考点聚焦突破1KAODIANJUJIAOTUPO考点一比较函数值的大小

D

(2)若a=ln3,b=lg5,c=log126,则(

)A.a>b>c

B.b>c>a C.c>b>a D.a>c>bD思维建模1.若题目条件中有具体的函数,则先判断已知函数的单调性,利用其单调性比较大小.2.若题目条件中无具体函数,则需根据数值的结构特征构造函数,再利用其单调性比较大小.C

(2)若2x-2y<3-x-3-y,则(

)A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0 C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0A考点二利用单调性求函数的最值(值域)C

思维建模利用单调性求函数最值(值域)的基本方法(1)对于较为简单的函数,先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(2)对于较复杂函数,可运用导数,求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.

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考点三解函数不等式例3已知函数f(x)=lnx+2x,若f(x2-4)<2,则实数x的取值范围是

.

思维建模求解函数不等式,其实质是函数单调性的逆用,由条件脱去“f”,转化为自变量间的大小关系,应注意函数的定义域.

(-3,1)解析

根据所给的分段函数,画出图象如图.已知函数在整个定义域上是单调递减的,由f(3-a2)<f(2a)可知,3-a2>2a,解得-3<a<1.微点突破

复合函数的单调性1.复合函数单调性判定原则:同增异减.2.设复合函数y=f[g(x)],A是y=f[g(x)]定义域的某个区间,B是u=g(x)的值域; (1)若u=g(x)在A上是增(或减)函数,y=f(u)在B上也是增(或减)函数,则函数y=f[g(x)]在A上是增函数; (2)若u=g(x)在A上是增(或减)函数,而y=f(u)在B上是减(或增)函数,则函数y=f[g(x)]在A上是减函数.一、

求复合函数的单调区间例1已知函数f(x)=x2-2x-3,g(x)=f(5-x2),试求g(x)的单调区间.

A(2)已知函数f(x)是R上的减函数,若f(ax2-2x)在(1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是

.

(-∞,0]课时对点精练2KESHIDUIDIANJINGLIAN

A

B解析

画出函数f(x)的图象(图略),结合图象可知f(x)在R上是增函数,由f(a+1)≥f(2a-1),得a+1≥2a-1,解得a≤2.3.若函数f(x)=(m-1)x+1在R上是增函数,则f(m)与f(1)的大小关系是(

) A.f(m)<f(1) B.f(m)>f(1) C.f(m)≤f(1) D.f(m)≥f(1)B解析

因为f(x)=(m-1)x+1在R上是增函数,所以m>1,故f(m)>f(1).

B解析

易知f(x)是R上的减函数,又π>3>2,故f(π)<f(3)<f(2).5.(2025·伊春调研)已知函数f(x)在R上为增函数,若不等式f(-4x+a)>f(-3-x2)对∀x∈(3,+∞)恒成立,则a的取值范围为(

) A.[-1,+∞) B.[3,+∞) C.[0,+∞) D.(1,+∞)C解析

由题意,得-4x+a>-3-x2对∀x∈(3,+∞)恒成立,则a>-x2+4x-3对∀x∈(3,+∞)恒成立.设函数g(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,则当x>3时,g(x)<0,所以a的取值范围为[0,+∞).6.已知函数y=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围是(

) A.[1,+∞) B.[0,2] C.(-∞,2] D.[1,2]D解析

令y=f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2.易知当x=1时,f(x)取得最小值f(1)=2.因为f(0)=3,且函数f(x)在[0,m]上有最大值3,最小值2,由二次函数图象的对称性,知f(2)=f(0)=3,所以1≤m≤2,即实数m的取值范围是[1,2].

C

二、多选题8.已知函数f(x)=-x2+2|x|+1,则下列说法正确的是(

) A.函数y=f(x)在(-∞,-1]上单调递增 B.函数y=f(x)在[-1,0]上单调递减 C.当x=0时,函数y=f(x)有最小值 D.当x=-1或x=1时,函数y=f(x)有最大值ABD解析

因为f(x)=-x2+2|x|+1,

作出函数f(x)的图象如图所示,由图象可知f(x)在(-∞,-1]上单调递增,在[-1,0]上单调递减,故A,B正确;由图象可知f(x)在x=-1或x=1时,函数y=f(x)有最大值,没有最小值,故C错误,D正确.

ACD解析

对于A,y=x2-2x+3=(x-1)2+2,由x∈[0,3),再结合函数的图象(如图①所示),可得函数的值域为[2,6).

三、填空题10.函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)<f(2a),则实数a的取值范围是

.

[-1,1)

所以实数a的取值范围是[-1,1).

(-∞,-1]∪{0}解析

当x≥a时,f(x)=x2-2ax+1图象的对称轴方程为x=a,要想f(x)存在最小值,当x<a时,f(x)=ax-1单调递减,且在x=a处,y=ax-1的函数值要大于等于y=x2-2ax+1的函数值,当a<0时,需满足a2-1≥a2-2a2+1,解得a≤-1.

此时f(x)min=-1,符合题意.当a>0时,f(x)不存在最小值.综上,a≤-1或a=0.

(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围.

14.已知定义在R上的函数f(x)满足:①f(x+y)=f(x)+f(y)+1,②当x>0时,f(x)>-1. (1)求f(0)的值,并证明f(x)在R上是增函数;解

令x=y=0,得f(0)=-1;在R上任取x1,x2,且令x1>x2,则x1-x2>0,f(x1-x2)>-1.又f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)+f(x2)+1>f(x2),所以函数f(x)在R上是增函数.(2)若f(1)=1,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x