乘法公式与全概率公式（第3课时）-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

4.1.2乘法公式与全概率公式（第3课时）人教B版（2019）选择性必修第二册第四章

概率与统计学习目标了解贝叶斯公式01结合古典概型和全概率公式以及贝叶斯公式计算概率02探索新知尝试与发现已知某厂生产的食盐，优质品率为90%.优质品中，包装达标的占95%；非优质品中，包装达标的占80%.如果从该厂生产的食盐中，随机取一袋，发现包装是达标的，若用

A表示是优质品，B表示包装达标.那么这袋食盐是优质品的概率为多少(精确到0.1%)？

探索新知尝试与发现已知某厂生产的食盐，优质品率为90%.优质品中，包装达标的占95%；非优质品中，包装达标的占80%.如果从该厂生产的食盐中，随机取一袋，发现包装是达标的，若用

A表示是优质品，B表示包装达标.那么这袋食盐是优质品的概率为多少(精确到0.1%)？

探索新知贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式的区别：两者的最大区别在于处理的对象不同，其中全概率公式用来计算复杂事件的概率，而贝叶斯公式用来计算简单条件下发生的复杂事件的概率，也就是说，全概率公式是计算普通概率的，贝叶斯公式是用来计算条件概率的.

典型例题例5某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为80%.当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为95%；否则，第一件产品合格的概率为60%.某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，求当天生产线初始状态良好的概率

(精确到0.1%).

探索新知贝叶斯公式指出的是，通过先验概率以及其他信息，可以算出后验概率.实际上，贝叶斯公式可以看成要根据事件发生的结果找出原因，看看这一结果由可能原因导致的概率是多少.

先验概率：根据历史数据发现的概率；后验概率：获取新信息(即第一件产品是合格品)后算出的概率.探索新知情境与问题已知某地居民肝癌的患病率为0.0004.通过对血清甲胎蛋白进行检验可以检测一个人是否患有肝癌，但这种检测方法可能出错，具体是：患有肝癌但检测显示正常的概率为0.01，未患有肝癌但检测显示有肝癌的概率为0.05.目前情况下，肝癌的致死率比较高，肝癌发现得越早，治疗越有效，因此有人主张对该地区的居民进行普查，以尽早发现肝癌患者，这个主张是否合适？上述情境中，如果患有肝癌，那么检测出来的概率为99％.然而，普查的主张是否合适，主要取决于检测结果显示患有肝癌时，实际上患有肝癌的概率.探索新知设A表示患有肝癌，B表示检测结果显示患有肝癌，则根据贝叶斯公式，则检测显示患有肝癌的居民确实患有肝癌的概率为

从而有

探索新知这就表明，检测结果显示患有肝癌但实际上患有肝癌的概率还不到

0.8%！也就是说，如果进行普查的话，在现有条件下，100个显示患有肝癌的人中，可能只有1个人是真正患有肝癌的．从这个意义上来说，进行普查并不是一个好主意．值得注意的是，这并不能说明对应的检测方法精度不够高，更不能说明在实际诊断时不能使用对应的检测办法．探索新知下表是P(A)取不同值时对应的P(A|B)，从中可以看出P(A)对P(A|B)

的影响很大.在实际诊断过程中，医生往往会先观察患者的症状，只有当医生通过其他症状怀疑病人患有肝癌时，才会建议进行血清甲胎蛋白检测.也就是说，此时疑似患病人群的

P(A)

值已经远远大于0.0004，甚至可能已经达到了0.5，因此检测显示患有肝癌而实际也患有肝癌的概率P(A|B)

也就会比0.0079大很多了.P(A)0.00040.0010.010.050.10.20.5P(A|B)0.00790.01940.16670.51030.68750.83190.9519探索新知贝叶斯公式

互斥Ω

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