2024-2025学年山东省日照市校际联合高二上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省日照市校际联合2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，，且，则的值为（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】因为向量，，且，所以，即，解得.故选：C.2.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由直线得其斜率为，设直线的倾斜角为（），则，所以，所以直线的倾斜角为，故选：D.3.直线过椭圆的一个焦点，则的值为（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】椭圆的半焦距为，焦点为或，直线过一个焦点则或，∴或，故选：C．4.复数，在复平面内对应的点分别为，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得，，则，.故选：A.5.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（）A. B.10 C. D.【答案】C【解析】若直线平面，则，即，解得.故选：C.6.已知圆及直线，当直线与圆相交所得弦长最短时，直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圆标准方程是，圆心为，半径为2，直线过定点，，在圆内部，直线与圆相交所得弦长最短时，，，所以，∴的方程为，即，故选：D．7.双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的两支于，两点，为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A.2 B. C. D.3【答案】C【解析】由题意可作图如下：则①，②，在等边中，，可得，则，由，则，在中，，由余弦定理可得，即，由，则，解得.故选：C.8.如图，二面角的大小为，棱上有两点，线段，，，.若，，，则线段的长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵二面角的大小为，，，∴，由题意得，，，∴，∴，即线段的长为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知曲线.（）A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m=n>0，则C是圆，其半径为C.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为D.若m=0，n>0，则C是两条直线【答案】ACD【解析】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.10.下列四个命题中正确的是（）A.过点且在轴上的截距是在轴上截距的倍的直线的方程为B.向量是直线的一个方向向量C.直线与直线之间的距离是D.圆与圆有两条公切线【答案】BD【解析】选项A：由题意可知直线斜率存在且不为，设直线方程为，令解得，令解得，因为该直线在轴上的截距是在轴上截距的倍，所以，解得或，所以直线方程为或，A说法错误；选项B：直线的斜率为，方向向量为，当时，B说法正确；选项C：由得，则直线与直线之间的距离，C说法错误；选项D：由题意圆圆心为，半径，圆圆心为，半径，因为，，所以两圆相交，有且仅有两条公切线，D说法正确；故选：BD.11.已知正方体的棱长为1，平面与对角线垂直，则（）A.正方体的每条棱所在直线与平面所成角均相等B.平面截正方体所得截面面积的最大值为C.当平面与正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值D.直线与平面内任一直线所成角的正弦值的取值范围为【答案】ACD【解析】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系.对于A：因平面与对角线垂直，所以平面的一个法向量为，，，，，同理,所以直线分别与直线所成角相等，所以直线与平面所成角也相等，根据正方体性质可知，正方体的每条棱所在直线与平面所成角均相等，故A正确；对于B：如图，点分别为棱的中点，则正六边形为平面过正方体中心时截正方体所成图形，由正方体性质可知，当平面由此位置向或趋近时，截面面积变小，故截面面积最大即为正六边形的面积，其中，所以正六边形的面积为，故B错误；对于C，当平面与正方体各面都有公共点时，截图为六边形，如图阴影部分，，同理可得，故六边形周长为定值，所以C正确；对于D，直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最小值即为直线与平面所成角的正弦值，设直线与平面所成角为，则，设平面与平面的交线为，因为⊥平面，平面，故⊥，故直线与的夹角为，故直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最大值为1，所成角的正弦值取值范围为，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则_______________.【答案】【解析】，则，，，故答案为：．13.已知正三棱锥的棱长都为2，则侧面和底面所成二面角的余弦值为________.【答案】【解析】如图所示，过点S作底面ABC，点O为垂足，连接OA，OB，OC，则点O为等边三角形ABC的中心，.延长AO交BC于点D，连接SD，则，，∴为侧面SBC与底面ABC所成的二面角的平面角.又在等边三角形ABC中，，∴在中，.14.已知双曲线的上、下焦点分别为，，点在上，且轴，过点作的平分线的垂线，与直线交于点，若点在圆上，则的值为__________.【答案】【解析】根据题意，不妨设点在第一象限，过点的垂线与的平分线交于,连接，作图如下：对，令，故可得，故点坐标为；易知三角形与三角形全等，则，由双曲线定义可得：，即，即；在中，，在中，由余弦定理得：；则，整理化简可得：，，也即，则，解的，又，故.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知圆过点，，圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）过点的直线交圆于两点，且，求直线的方程.解：（1）设圆的标准方程为：，由题意可得：，解之得：，所以圆标准方程为：；（2）由弦心距公式可知，圆心到直线的距离为：.当直线斜率不存在时，的方程为，显然此时圆心到直线的距离为，不符合题意；当直线斜率存在时，设的方程为：，即，由点到直线的距离公式可得：，解之得：或，所以直线的方程为：或.16.如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱的中点.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离.解：（1）以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，，，即直线与平面所成角的正弦值为.（2）由（1）知：，，，，，设平面的法向量，则，令，则，，，点到平面的距离.17.已知等腰梯形中，，，为的中点，与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得二面角为直角（如图2）.（1）求平面与平面所成角的余弦值；（2）设点为线段上的动点（包含端点），直线与平面所成角为，求的取值范围.解：（1）如图1，连接，由已知且，所以是平行四边形，而，从而是菱形，所以，同理是平行四边形，所以，是等边三角形，，图2中，，，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，设平面的一个法向量是，则，取，则，设平面的一个法向量是，则，取，则，，所以面与平面所成角的余弦值为；（2）设，，则，,因为，所以，所以．18.在平面直角坐标系中，点，，若以轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面（如图所示），则称此时点，在空间中的距离为“点，关于轴的折叠空间距离”，记为.（1）若点，，在平面直角坐标系中的坐标分别为，，，求，的值；（2）若点，在平面直角坐标系中的坐标分别为，，已知点满足，求点在平面直角坐标系中的轨迹方程；（3）若在平面直角坐标系中，点是椭圆上的点，过点的两条直线，分别交椭圆于，两点，其斜率满足.证明：当时，为定值，并求出该定值.（1）解：如图建立空间直角坐标系，则点在空间中的坐标分别为，，，∴；.（2）解：由题意可知，点在空间中的坐标为，对点分类讨论，①当点在轴的上半平面，即时，点在空间中的坐标为，∴，化简得：，因此，在平面直角坐标中，点在轴上半平面的轨迹为以为圆心，以1为半径的半圆.②点在轴的下半平面，即时，点在空间中的坐标为，化简得：，∴点的轨迹方程为：或（3）证明：①当直线与轴垂直时，显然不成立；②当直线不与轴垂直时，设直线的方程为：，，联立方程，，∵，∴代入韦达定理可得：，即解得或，当时，直线经过点,故舍去∴，则，且，当时,由得当过点2,0，；当过点，.∴点在轴的上半平面，点在轴的下半平面，点在空间中的坐标分别为，为定值.19.在平面直角坐标系中，、、、，若动点、满足，，直线与直线相交于点.（1）求点的轨迹方程；（2）已知过点的直线（与轴不重合）和点轨迹交于、两点，过点作直线的垂线，垂足为点.设直线与轴交于点，求面积的最大值.解：（1）依题意，、、、，设点Px,y，、，由，得，即点，由，得，即点，当时，直线的方程为，直线的方程为，联立直线、的方程，消去参数得，即，当时，得交点，满足上述方程，所以直线与直线交点的轨迹方程为.（2）过点的直线可设为，由消去得，即，设Mx1,y1、N依题意，，直线的方程为，令，得点横坐标，又，，则，因此直线过定点，显然，而，令，，当且仅当时，即当时，即取等号，此时，所以面积的最大值为.山东省日照市校际联合2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，，且，则的值为（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】因为向量，，且，所以，即，解得.故选：C.2.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由直线得其斜率为，设直线的倾斜角为（），则，所以，所以直线的倾斜角为，故选：D.3.直线过椭圆的一个焦点，则的值为（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】椭圆的半焦距为，焦点为或，直线过一个焦点则或，∴或，故选：C．4.复数，在复平面内对应的点分别为，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得，，则，.故选：A.5.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（）A. B.10 C. D.【答案】C【解析】若直线平面，则，即，解得.故选：C.6.已知圆及直线，当直线与圆相交所得弦长最短时，直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圆标准方程是，圆心为，半径为2，直线过定点，，在圆内部，直线与圆相交所得弦长最短时，，，所以，∴的方程为，即，故选：D．7.双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的两支于，两点，为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A.2 B. C. D.3【答案】C【解析】由题意可作图如下：则①，②，在等边中，，可得，则，由，则，在中，，由余弦定理可得，即，由，则，解得.故选：C.8.如图，二面角的大小为，棱上有两点，线段，，，.若，，，则线段的长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵二面角的大小为，，，∴，由题意得，，，∴，∴，即线段的长为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知曲线.（）A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m=n>0，则C是圆，其半径为C.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为D.若m=0，n>0，则C是两条直线【答案】ACD【解析】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.10.下列四个命题中正确的是（）A.过点且在轴上的截距是在轴上截距的倍的直线的方程为B.向量是直线的一个方向向量C.直线与直线之间的距离是D.圆与圆有两条公切线【答案】BD【解析】选项A：由题意可知直线斜率存在且不为，设直线方程为，令解得，令解得，因为该直线在轴上的截距是在轴上截距的倍，所以，解得或，所以直线方程为或，A说法错误；选项B：直线的斜率为，方向向量为，当时，B说法正确；选项C：由得，则直线与直线之间的距离，C说法错误；选项D：由题意圆圆心为，半径，圆圆心为，半径，因为，，所以两圆相交，有且仅有两条公切线，D说法正确；故选：BD.11.已知正方体的棱长为1，平面与对角线垂直，则（）A.正方体的每条棱所在直线与平面所成角均相等B.平面截正方体所得截面面积的最大值为C.当平面与正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值D.直线与平面内任一直线所成角的正弦值的取值范围为【答案】ACD【解析】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系.对于A：因平面与对角线垂直，所以平面的一个法向量为，，，，，同理,所以直线分别与直线所成角相等，所以直线与平面所成角也相等，根据正方体性质可知，正方体的每条棱所在直线与平面所成角均相等，故A正确；对于B：如图，点分别为棱的中点，则正六边形为平面过正方体中心时截正方体所成图形，由正方体性质可知，当平面由此位置向或趋近时，截面面积变小，故截面面积最大即为正六边形的面积，其中，所以正六边形的面积为，故B错误；对于C，当平面与正方体各面都有公共点时，截图为六边形，如图阴影部分，，同理可得，故六边形周长为定值，所以C正确；对于D，直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最小值即为直线与平面所成角的正弦值，设直线与平面所成角为，则，设平面与平面的交线为，因为⊥平面，平面，故⊥，故直线与的夹角为，故直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最大值为1，所成角的正弦值取值范围为，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则_______________.【答案】【解析】，则，，，故答案为：．13.已知正三棱锥的棱长都为2，则侧面和底面所成二面角的余弦值为________.【答案】【解析】如图所示，过点S作底面ABC，点O为垂足，连接OA，OB，OC，则点O为等边三角形ABC的中心，.延长AO交BC于点D，连接SD，则，，∴为侧面SBC与底面ABC所成的二面角的平面角.又在等边三角形ABC中，，∴在中，.14.已知双曲线的上、下焦点分别为，，点在上，且轴，过点作的平分线的垂线，与直线交于点，若点在圆上，则的值为__________.【答案】【解析】根据题意，不妨设点在第一象限，过点的垂线与的平分线交于,连接，作图如下：对，令，故可得，故点坐标为；易知三角形与三角形全等，则，由双曲线定义可得：，即，即；在中，，在中，由余弦定理得：；则，整理化简可得：，，也即，则，解的，又，故.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知圆过点，，圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）过点的直线交圆于两点，且，求直线的方程.解：（1）设圆的标准方程为：，由题意可得：，解之得：，所以圆标准方程为：；（2）由弦心距公式可知，圆心到直线的距离为：.当直线斜率不存在时，的方程为，显然此时圆心到直线的距离为，不符合题意；当直线斜率存在时，设的方程为：，即，由点到直线的距离公式可得：，解之得：或，所以直线的方程为：或.16.如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱的中点.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离.解：（1）以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，，，即直线与平面所成角的正弦值为.（2）由（1）知：，，，，，设平面的法向量，则，令，则，，，点到平面的距离.17.已知等腰梯形中，，，为的中点，与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得二面角为直角（如图2）.（1）求平面与平面所成角的余弦值；（2）设点为线段上的动点（包含端点），直线与平面所成角为，求的取值范围.解：（1）如图1，连接，由已知且，所以是平行四边形，而，从而是菱形，所以，同理是平行四边形，所以，是等边三角形，，图2中，，，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，设平面的一个法向量是，则，取，则，设平面的一个法向量是，则，取，则，，所以面与平面所成角的余弦值为；（2）设，，则，,因为，所以，所以．18.在平面直角坐标系中，点，，若以轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面（如图所示