第二章 课时2 函数的单调性与最值

课时2函数的单调性与最值一、课标要求1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用．二、知识梳理1．增函数与减函数增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是_______当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是_______图象描述自左向右看图象是_________自左向右看图象是____________2．单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)________，区间D叫作y＝f(x)的__________．注意：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如果一个函数有多个单调性相同的区间，书写时应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”隔开．3．函数的最大值与最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)，都有_________；，使得________，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．(2)，都有_________；，使得________，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值．【拓展知识】1．判断函数的单调性的等价结论，eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)>0恒成立⇔f(x)在D上是增函数.请将减函数的性质类似写出：__________________________________．2．两种特殊函数的单调性①“对勾函数”y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的单调递增区间为(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)；单调递减区间为(－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)).②“对曲函数”y＝x－eq\f(a,x)(a>0)的单调递增区间为(－∞，0)和（0，＋∞)；无单调递减区间．三、基础回顾1．判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）若函数f(x)满足f(－1)<f(1)，则f(x)在[－1,1]上单调递增．（）（2）若函数f(x)满足f(－1)<f(1)，则f(x)在[－1,1]上不是减函数．（）（3）在其定义域上是增函数.（）（4）若函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值．（）2．下列函数中，在区间上为增函数的是 （）A．y＝1－x2B． C． D．3．(多选题)已知f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，那么根据下列条件可以断定f(x)为增函数的有()A．对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)B．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≥x2，都有f(x1)≥f(x2)C．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0D．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>04．已知函数f(x)＝，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为________，最小值为__________．四、考点扫描考点一研究函数的单调性考向1确定函数的单调区间例1（1）下列函数在定义域上为增函数的是()A．f(x)＝－x＋1B．f(x)＝2x2C．f(x)＝x－1D．f(x)＝eq\r(x－1)（2）函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．[1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪[1，＋∞)考向2利用定义证明函数的单调性例2试判断并证明函数f(x)＝eq\f(ax,x2－1)(a≠0)在区间(－1，1)上的单调性．对点训练（1）(多选题)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的有()A．y＝x－eq\f(1,x) B．y＝|x2－2x|C．y＝2x＋2cosx D．y＝lg(x＋1)（2）(2024·河北唐山市模拟)函数f(x)＝的单调递增区间为________．规律方法：考点二函数单调性的应用考向1根据函数的单调性求参数范围例3（1）(2024·新课标I卷)已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.（2）(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2] B．[－2，0)C．(0，2] D．[2，＋∞)规律方法：考向2比较大小、解不等式例4（1）定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0，则()A．f(－2)<f(3)<f(4)B．f(－2)>f(3)>f(4)C．f(3)<f(4)<f(－2)D．f(4)<f(－2)<f(3)(2)(2024·湖南湘潭市统考)已知函数.若，则的取值范围是（）A． B． C． D．规律方法：对点训练（1）已知函数f(x)＝x2－kx－8在[1，4]上单调，则实数k的取值范围是()A．[2，8]B．[－8，－2]C．(－∞，－8]∪[－2，＋∞)D．(－∞，2]∪[8，＋∞)（2）（2024·山西太原市统考）已知函数.若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．考点三利用单调性求函数的最值(值域)例5（1）函数f(x)＝x－eq\f(2,x)＋1在[1,4]上的值域为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(9,2))) B．[0,1]C.eq\b\lc\[\rc\