（人教A版）选择性必修一高二数学上册同步精讲精练2.3 直线的交点与距离公式（解析版）

1/12.3直线的交点与距离公式（精讲）考点一直线的交点【例1-1】直线与直线的交点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由解得，则直线与直线的交点坐标为.故选：A.【例1-2】已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为，由，得，即和的交点为，因为直线过点，所以，得，所以所求直线方程为，故选：D【例1-3】直线x+ky=0和2x+3y+8=0的交点为A，且A在直线x-y-1=0上，则k的值是（

）A．- B． C．2 D．-2【答案】A【解析】由，解得，即两直线2x+3y+8=0和x-y-1=0的交点坐标为A(-1，-2)．∵直线x+ky=0，2x+3y+8=0和x-y-1=0交于一点A，∴-1-2k=0，∴k=-，故选；A．【例1-4】已知直线和相交，且交点在第二象限，则实数的取值范围为____．【答案】【解析】当，直线和平行，不满足题意，故，此时联立方程，解得，因为交点在第二象限，所以，解得，故实数的取值范围为．故答案为：【一隅三反】1．直线与直线的交点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，可得，则两直线交点坐标为故选：A2．经过两条直线和的交点，并且平行于直线的直线的一般式方程为______．【答案】【解析】由解得，故交点坐标为，由平行于直线可得斜率为1，故方程为，化为一般方程为.故答案为：.3．经过两条直线和的交点，且与直线垂直的直线方程为_______．【答案】【解析】由，解得，即直线和的交点坐标为，设与直线垂直的直线方程为，则，解得，所以直线方程为；故答案为：考点二直线的三种距离【例2-1】（1）已知直线：与直线：的交点为，则点与点间的距离为（

） B． C． D．（2）直线与直线交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是（

）A．2 B． C． D．4【答案】（1）D（2）B【解析】（1）联立方程，解得，所以，所以故选：D（2）因为与的交点坐标为所以，当时，，所以的最大值是，故选：B.【例2-2】（1）直线与直线交于点，则点到直线的距离为（

） B． C． D．（2）已知点在直线上的运动，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】（1）B（2）A【解析】（1）联立，解得，故,所以点到直线的距离为，故选：B.（2）表示点与距离的平方，因为点到直线的距离，所以的最小值为．故选：A【例2-3】已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（

）A．4 B． C． D．【答案】D【解析】由直线平行可得，解得，则直线方程为，即，则距离是.故选：D.【一隅三反】1．已知A（﹣2，﹣1），B（2，5），则|AB|等于（）A．4 B． C．6 D．【答案】D【解析】因为A（﹣2，﹣1），B（2，5），所以|AB|.故选：D.2．（2022·四川巴中）点（-1，1）到直线的距离为（

）A． B． C． D．4【答案】A【解析】点到直线的距离为，故选：A.3．若点到直线：的距离为3，则（

）A．3 B．2 C． D．1【答案】B【解析】由题设可得，结合可得，故选：B.4．两条平行直线与之间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为直线与直线平行,所以,解得,将化为,所以两平行直线与之间的距离为.故选：C5．已知x，y∈R，，则S的最小值是（

）A．0 B．2 C．4 D．【答案】B【解析】表示点P(x，y)到点A(－1，0)与点B(1，0)的距离之和，如图所示：由图象知：，当点P在线段AB上时，等号成立，所以S取得最小值为2．故选：B6．当实数k变化时，直线到直线的距离的最大值是______.【答案】【解析】由可得过定点，由可得过定点.又两直线斜率相等，可知两直线平行且垂直于时，距离最大，最大值即为两点间的距离.故答案为：.考点三对称问题【例3-1】点A（5，8），B（4，1），则A点关于B点的对称点C的坐标为__．【答案】【解析】设C（x，y），由A（5，8），B（4，1）且B点是A，C的中点，所以，解得．所以C的坐标为．故答案为：【例3-2】已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设点，因为点与点关于直线对称，所以，解得，所以故选：B【例3-3】直线关于点对称的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即.故选：D.【例3-4】直线，则直线l关于直线对称的直线方程是______.【答案】【解析】设关于直线对称的直线上的点为，它的对称点为：，因此有，则在直线上，所以，即．故答案为：【一隅三反】1．已知点关于点的对称点为，则点到原点的距离是______.【答案】【解析】根据中点坐标公式，得，且．解得，，所以点P的坐标为，则点到原点的距离．故答案为：2．原点关于的对称点的坐标为_____．【答案】【解析】设原点关于的对称点的坐标为，则，解得．要求的点()．故答案为：．3．在平面直角坐标系xOy中，点（0,4）关于直线x－y+1＝0的对称点为（）A．(－1,2) B．(2,－1) C．(1,3) D．(3,1)【答案】D【解析】设点(0,4)关于直线x－y+1＝0的对称点是(a,b),则，解得：，故选：D．4．直线关于点对称的直线方程是______．【答案】【解析】设对称直线为，则有，解这个方程得（舍）或.所以对称直线的方程中故答案为：考点四综合运用【例4-1】过定点A的直线与过定点B的直线交于点，则的值为（

）A． B．10 C． D．20【答案】B【解析】直线过定点，直线可化为，由可得，所以定点，当时，直线方程为，，此时两直线垂直，当时，由两直线的斜率之积为可知两直线垂直，所以，所以，故选：B.【例4-2】以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是【答案】C【解析】，，，，所以三角形是直角三角形.故选：C【一隅三反】1．已知点､，点P在x轴上，则的最小值为___________.【答案】【解析】因为关于x轴的对称点，则,所以的最小值为.故答案为：2．已知、，若A与B到直线l的距离都为2，则满足条件的直线l有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】D【解析】，，所以，且的中点为，若直线过的中点，显然直线的斜率存在，设直线为，即，则到直线的距离，即，解得或；所以直线为或；若直线与平行，设直线为，则到直线的距离，解得或，所以直线为或；综上可得满足条件的直线有4条；故选：D3．已知点M，N分别在直线：与直线：，且，点，，则|的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则直线的方程为，由，所以，设，则表示直线上的点与连线的距离之和，所以的最小值为.故选：C2.3直线的交点与距离公式（精练）1直线的交点1．直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值范围为____．【答案】【解析】由题意可得，解得，且，故答案为：2．若直线经过直线和的交点，则___________.【答案】【解析】由题意，直线，，交于一点，所以，得，所以直线过点，得，求解得.故答案为：3．设三直线；；交于一点，则k的值为______．【答案】1【解析】联立，解得，即与交于点，依题意可知，，解得.故答案为：.4．若直线与直线的交点在第一象限，则实数b的取值范围是___________.【答案】【解析】由题意，直线，令，可得；令，可得，即，如图所示，当直线过点，可得；当直线过点，可得，要使得直线与直线的交点在第一象限，则，即实数的取值范围是.故答案为：.5．若三条直线2x+3y+8＝0，x﹣y﹣1＝0和x+ky＝0交于一点，则k的值为【答案】【解析】依题意，，解得，∴两直线2x+3y+8＝0和x﹣y﹣1＝0的交点坐标为（﹣1，﹣2）．∵直线x+ky＝0，2x+3y+8＝0和x﹣y﹣1＝0交于一点，∴﹣1﹣2k＝0，∴k．6．判断下列各组直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)平行(2)相交；(3)相交；【解析】(1)因为，令，，所以；(2)因为，所以两直线相交，联立，解得，所以交点坐标为；(3)因为，所以两直线相交，联立，解得，所以交点坐标为.2直线的三种距离1．光线从点射到轴上，经轴反射以后过点，光线从A到B经过的路程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】点关于轴的对称点为，则光线从A到B经过的路程为的长度，即.故选：C.2．已知三角形的三个顶点，则过A点的中线长为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设过A点中线长即为线段AD.D为BC中点：，即D（4，2）∴故选：B.3．直线l：4x﹣y﹣4＝0与l1：x﹣2y﹣2＝0及l2：4x+3y﹣12＝0所得两交点的距离为（）A． B． C．3 D．【答案】D【解析】由得，即，由得，即，则|AB|.故选：D4.美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为【答案】【解析】如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，直线，整理为，原点O到直线距离为，故选：B5．点到直线和直线的距离相等，则点P的坐标应满足的是（

）．A．或 B．或C． D．【答案】A【解析】因为点到直线和直线的距离相等，所以，化简得：或，故选：A6．点到直线距离的最大值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【解析】点到直线的距离为，设，则，令，令或，所以函数在上单调递增，在和上单调递减，如图，由图可知，所以，所以距离的最大值为.故选：D7．过点引直线，使，到它的距离相等，则该直线的方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】当直线斜率不存在时，直线方程为，，到它的距离分别为1，3，不合题意；当直线斜率存在时，设直线方程为，即，由，到它的距离相等得，解得或，即直线方程为或.故选：C.8．若直线与直线之间的距离不大于，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．或【答案】B【解析】直线化为，则两直线之间的距离，即，解得.所以实数的取值范围为.故选：B.9．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A． B．5 C． D．【答案】D【解析】由关于的对称点为，所以，可得，即对称点为，又所以“将军饮马”的最短总路程为.故选：D10．已知直线l经过2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，则点A(5,0)到l的距离的最大值为________．【答案】【解析】联立方程，解得：，故交点坐标为，直线l经过点，则点A(5,0)到l的距离的最大值为AB的长，且,故答案为：11．若，则的最小值是___________.【答案】【解析】，表示点到点和点的距离之和，关于轴的对称点为，在轴上任取一点，则（当且仅当为线段与轴交点时取等号），的最小值为.故答案为：.12．设直线，为直线上动点，则的最小值为______．【答案】【解析】记点，设，则.要求的最小，只需最小，即为点到直线的距离，所以，所以的最小值为.故答案为：.13．若，则的最小值为______．【答案】【解析】依题意，表示定点与直线上的点间距离，所以的最小值是点到直线的距离.故答案为：3对称问题1．已知点关于点的对称点为，则点到原点的距离是()A．2

B．4

C．5

D．【答案】D【解析】由题可知：所以点到原点的距离是故选：D2．若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，由题知，点和点的中点为，则解得：，，所以点的坐标为故选：B.3．已知点与点，点P在y轴上，且使得的值最小，则点P的坐标为_____________.【答案】(0，1)【解析】将点关于轴对称得点，连接，直线与轴的交点为，此时最短.直线方程为：，令，则，故.故答案为：(0，1).4．已知点，B是x轴的正半轴上一点，C是直线上一点，则周长的最小值为___________.【答案】【解析】如图，分别作出点A关于直线与x轴对称的点，，则，解得.所以.当，C，B，四点共线时，的周长最小，且最小值为.故答案为：.5．点关于直线对称的点的坐标是______．【答案】【解析】设点关于直线对称的点的坐标是，则，解得，所以点关于直线对称的点的坐标是.故答案为：6．已知点，关于直线对称，则_________.【答案】【解析】由题意，点，关于直线对称，可得，解得，所以.故答案为：.7．已知直线：，点，则点关于直线：的对称点为___________.【答案】（，4）【解析】设点关于直线的对称点为，则这两点的中点为（，），所以，解得，，所以点关于直线的对称点为（，4）.故答案为：（，4）8．已知关于直线的对称点为，求点的坐标．【答案】【解析】设点，直线的斜率为，线段的中点为，由题意可得，解得，故点.9．已知直线l1:x＋y－1＝0，直线l2:2x－y＋3＝0，求直线l2关于直线l1对称的直线l的方程．【答案】.【解析】由解得所以直线l过点P.又显然Q(－1,1)是直线l2上一点，设点Q关于直线l1的对称点为Q′(x0,y0)，则解得

即Q′(0,2)．因为直线l经过点P,Q′，所以由两点式得它的方程为.10．已知点，直线，直线.(1)求点A关于直线的对称点B的坐标；(2)求直线关于直线的对称直线方程.【答案】(1)(2)【解析】(1)设点，则由题意可得，解得，所以点B的坐标为，(2)由，得，所以两直线交于点，在直线上取一点，设其关于直线的对称