第三章 课时3 导数与函数的极值、最值

课时3导数与函数的极值、最值一、课标要求1．借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2．能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.3．体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系.二、知识梳理1.函数的极值(1)函数极值定义:一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个，记作，是极大值点.如果对附近的所有的点，都有.就说是函数的一个，记作，是.极大值与极小值统称为.(2)判别f(x0)是极大、极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且若在两侧满足“”，则是的,是；若在两侧满足“左负右正”，则是的，是.(3)求可导函数f(x)的极值的步骤:=1\*GB3①确定函数f(x)的定义区间，求导数.=2\*GB3②求出方程的定义域内的所有实数根.=3\*GB3③用函数的导数为的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.标出在方程根左、右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左、右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.=4\*GB3④根据表格下结论，并求出需要的极值.2.函数的最值（1）定义：若在函数的定义域内存在,使得对于,都有,则称为函数的，记作;若在函数的定义域内存在,使得对于,都有,则称为函数的，记作.（2）在闭区间上图象函数在上必有最大值与最小值．（3）求函数在上的最大值与最小值的步骤：=1\*GB3①求在内的极值；=2\*GB3②将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,从而得出函数在上的最值.【拓展知识】1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．2．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．3．极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．三、基础回顾1．判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．()(2)导数为零的点不一定是极值点．()(3)函数的极大值一定比极小值大．()(4)开区间上的单调连续函数无最值．()2．如图是f(x)的导数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A．1B．2C．3D．43．函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是()A．25，－2 B．50，14C．50，－2 D．50，－144、已知函数f(x)＝x(x－c)2有极值，则实数c的取值范围是__________.四、考点扫描考点一利用导数研究函数的极值考向1根据函数图象判断极值例1(2024·江苏连云港市模拟)设函数f(x)在R上可导，其导数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)规律方法：对点训练(多选题)如图是函数y＝f(x)的导数f′(x)的图象，下列说法正确的有()A．f(1)为函数f(x)的极大值B．当x＝－1时，f(x)取得极小值C．f(x)在(－1,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减D．当x＝3时，f(x)取得极小值考向2求已知函数的极值例2已知函数f(x)＝lnx＋2ax2＋2(a＋1)x(a≠0)，试讨论函数f(x)的极值.规律方法：对点训练设函数f(x)＝(x2＋ax＋a)ex，试讨论f(x)的单调性并判断f(x)有无极值.若有极值，求出f(x)的极值．考向3已知极值(点)求参数例3(1)(2024·山东威海市模拟)若x＝2是函数f(x)＝x2＋2(a－2)x－4alnx的极大值点，则实数a的取值范围是()A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞)C.(2，＋∞) D.(－2，2)(2)若函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))规律方法：对点训练（1）已知函数f(x)＝eq\f(ax＋b,x2＋4)在x＝－1处取得极大值1，则f(x)的极小值为(C)A．0 B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(1,4) D．－eq\f(1,8)（2）(2024·江苏苏州市质检)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)在(0，＋∞)上有两个极值，则实数a的取值范围是________.考点二利用导数研究函数的最值考向1求不含参函数的最值例4已知函数f(x)＝x＋2sinx，x∈[0，2π]，则f(x)的值域为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－\r(3)，\f(2π,3)＋\r(3)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4π,3)－\r(3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋\r(3)，2π))D.[0，2π]对点训练(2024·江苏南通市海安市期末调研)函数f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1在区间[0,2π]上的最小值、最大值分别为()A．－eq\f(π,2)，eq\f(π,2) B．－eq\f(3π,2)，eq\f(π,2)C．－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)＋2 D．－eq\f(3π,2)，eq\f(π,2)＋2