高考数学推理真题及答案

高考数学推理真题及答案

一、单项选择题1.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线\(b\not\subset\)平面\(\alpha\)，直线\(a\subset\)平面\(\alpha\)，直线\(b\parallel\)平面\(\alpha\)，则直线\(b\parallel\)直线\(a\)”，结论显然是错误的，这是因为（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误答案：A2.已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=2\)，\(a_{n+1}=\frac{1+a_{n}}{1-a_{n}}(n\inN^{})\)，则\(a_{3}\)的值为（）A.\(-\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(-3\)D.\(-\frac{1}{3}\)答案：A3.用反证法证明命题“设\(a,b\)为实数，则方程\(x^{3}+ax+b=0\)至少有一个实根”时，要做的假设是（）A.方程\(x^{3}+ax+b=0\)没有实根B.方程\(x^{3}+ax+b=0\)至多有一个实根C.方程\(x^{3}+ax+b=0\)至多有两个实根D.方程\(x^{3}+ax+b=0\)恰好有两个实根答案：A4.观察下列各式：\(7^{2}=49\)，\(7^{3}=343\)，\(7^{4}=2401\)，\(\cdots\)，则\(7^{2023}\)的末两位数字为（）A.\(01\)B.\(43\)C.\(07\)D.\(49\)答案：B5.下面几种推理是合情推理的是（）①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是\(180^{\circ}\)，归纳出所有三角形的内角和都是\(180^{\circ}\)；③某次考试张军成绩是\(100\)分，由此推出全班同学成绩都是\(100\)分；④三角形内角和是\(180^{\circ}\)，四边形内角和是\(360^{\circ}\)，五边形内角和是\(540^{\circ}\)，由此得凸\(n\)边形内角和是\((n-2)\cdot180^{\circ}\)。A.①②B.①③④C.①②④D.②④答案：C6.已知\(f(x+1)=\frac{2f(x)}{f(x)+2}\)，\(f(1)=1(x\inN^{})\)，猜想\(f(x)\)的表达式为（）A.\(f(x)=\frac{4}{2^{x}+2}\)B.\(f(x)=\frac{2}{x+1}\)C.\(f(x)=\frac{1}{x+1}\)D.\(f(x)=\frac{2}{2x+1}\)答案：B7.用数学归纳法证明\(1+2+3+\cdots+n^{2}=\frac{n^{4}+n^{2}}{2}\)时，当\(n=k+1\)时左端应在\(n=k\)的基础上加上（）A.\((k+1)^{2}\)B.\(k^{2}+1\)C.\(\frac{(k+1)^{4}+(k+1)^{2}}{2}\)D.\((k^{2}+1)+(k^{2}+2)+\cdots+(k+1)^{2}\)答案：D8.已知\(a,b\inR\)，\(m=\frac{6^{a}}{36^{a+1}+1}\)，\(n=\frac{1}{3}b^{2}-b+\frac{5}{6}\)，则下列结论正确的是（）A.\(m\leqn\)B.\(m\geqn\)C.\(m>n\)D.\(m<n\)答案：A9.对于任意正整数\(n\)，定义“\(n!!\)”如下：当\(n\)是偶数时，\(n!!=n\cdot(n-2)\cdot(n-4)\cdots6\cdot4\cdot2\)；当\(n\)是奇数时，\(n!!=n\cdot(n-2)\cdot(n-4)\cdots5\cdot3\cdot1\)。则\(2022!!\cdot2021!!=\)（）A.\(2022!\)B.\(2021!\)C.\(2022!\times2021!\)D.\((2022\times2021)!\)答案：A10.已知函数\(f(x)\)满足\(f(1)=1\)，\(f(n+1)=f(n)+3(n\inN^{})\)，则\(f(31)\)的值为（）A.\(90\)B.\(91\)C.\(92\)D.\(93\)答案：B二、多项选择题1.下列推理属于合情推理的是（）A.由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质B.由“正方形面积为边长的平方”得出结论：正方体的体积为棱长的立方C.两条直线平行，同位角相等，若\(\angleA\)与\(\angleB\)是两条平行直线的同位角，则\(\angleA=\angleB\)D.在数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(a_{n}=2a_{n-1}+1(n\geq2)\)，通过计算\(a_{2},a_{3},a_{4}\)猜想\(a_{n}\)的通项公式答案：ABD2.下面是用数学归纳法证明“当\(n\inN^{}\)，\(n\geq5\)时，\(2^{n}>n^{2}\)”的过程，其中正确的有（）A.第一步：当\(n=5\)时，\(2^{5}=32\)，\(5^{2}=25\)，\(2^{5}>5^{2}\)，命题成立B.第二步：假设当\(n=k(k\inN^{},k\geq5)\)时命题成立，即\(2^{k}>k^{2}\)C.第二步：证明当\(n=k+1\)时，\(2^{k+1}=2\times2^{k}>2k^{2}\)，而\((k+1)^{2}=k^{2}+2k+1\)，因为\(k\geq5\)，所以\(2k^{2}-(k^{2}+2k+1)=k^{2}-2k-1=(k-1)^{2}-2>0\)，即\(2^{k+1}>(k+1)^{2}\)，命题成立D.由第一步、第二步可知，当\(n\inN^{}\)，\(n\geq5\)时，\(2^{n}>n^{2}\)成立答案：ABCD3.已知\(a,b,c\)为不全相等的实数，\(P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+3\)，\(Q=2(a+b+c)\)，则\(P\)与\(Q\)的大小关系不正确的是（）A.\(P>Q\)B.\(P\geqQ\)C.\(P<Q\)D.\(P\leqQ\)答案：BCD4.以下关于推理的说法正确的是（）A.归纳推理是由部分到整体的推理B.类比推理是由特殊到特殊的推理C.演绎推理是由一般到特殊的推理D.合情推理的结论一定是正确的答案：ABC5.用反证法证明命题“若\(a^{2}+b^{2}=0\)，则\(a,b\)全为\(0\)（\(a,b\inR\)）”，其反设正确的是（）A.\(a,b\)至少有一个不为\(0\)B.\(a,b\)至少有一个为\(0\)C.\(a,b\)全不为\(0\)D.\(a,b\)中只有一个为\(0\)答案：ACD6.观察下列式子：\(1+\frac{1}{2^{2}}<\frac{3}{2}\)，\(1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}<\frac{5}{3}\)，\(1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}<\frac{7}{4}\)，\(\cdots\)，则可归纳出（）A.\(1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}<\frac{2n-1}{n}(n\geq2)\)B.\(1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}<\frac{2n+1}{n}(n\geq2)\)C.\(1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}<2-\frac{1}{n}(n\geq2)\)D.\(1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}<2+\frac{1}{n}(n\geq2)\)答案：AC7.已知\(f(n)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}(n\inN^{})\)，用数学归纳法证明\(f(2^{n})>\frac{n}{2}\)时，\(f(2^{k+1})-f(2^{k})\)等于（）A.\(\frac{1}{2^{k}+1}+\frac{1}{2^{k}+2}+\cdots+\frac{1}{2^{k+1}}\)B.\(\frac{1}{2^{k}+1}+\frac{1}{2^{k}+2}+\cdots+\frac{1}{2^{k}+2^{k}}\)C.\(\frac{1}{2^{k+1}}\)D.\(\frac{1}{2^{k}}+\frac{1}{2^{k}+1}+\cdots+\frac{1}{2^{k+1}}\)答案：AB8.下面说法正确的是（）A.综合法是由因导果的顺推证法B.分析法是执果索因的逆推证法C.综合法与分析法都是直接证法D.综合法与分析法在同一题的证明中不可能同时采用答案：ABC9.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论，其中正确的是（）A.垂直于同一条直线的两条直线互相平行B.垂直于同一个平面的两条直线互相平行C.垂直于同一条直线的两个平面互相平行D.垂直于同一个平面的两个平面互相平行答案：BC10.对于大于\(1\)的自然数\(m\)的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：\(2^{3}=3+5\)，\(3^{3}=7+9+11\)，\(4^{3}=13+15+17+19\)，\(\cdots\)，仿此，若\(m^{3}\)的“分裂数”中有一个是\(59\)，则\(m\)的值可能为（）A.\(7\)B.\(8\)C.\(9\)D.\(10\)答案：BC三、判断题1.归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确。（×）2.由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理。（√）3.演绎推理的结论一定是正确的。（×）4.用反证法证明命题“\(a,b\inN\)，若\(ab\)可被\(5\)整除，则\(a,b\)中至少有一个能被\(5\)整除”时，应假设\(a,b\)都不能被\(5\)整除。（√）5.数学归纳法证明\(n\)边形内角和公式时，第一步检验\(n=3\)。（√）6.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件。（×）7.综合法是直接证明，分析法是间接证明。（×）8.类比推理是由一般到特殊的推理。（×）9.若\(a+b>0\)，则\(a>0\)且\(b>0\)用反证法证明时应假设\(a\leq0\)或\(b\leq0\)。（√）10.用数学归纳法证明等式\(1+2+3+\cdots+2n=n(2n+1)\)时，从\(k\)到\(k+1\)左边需要增加的项是\((2k+1)+(2k+2)\)。（√）四、简答题1.简述合情推理与演绎推理的区别与联系。合情推理包括归纳推理和类比推理，是从特殊到一般或特殊到特殊的推理，结论不一定正确。演绎推理是从一般到特殊的推理，只要前提和推理形式正确，结论必然正确。联系在于合情推理为演绎推理提供方向和思路，演绎推理可以验证合情推理的结论，二者在数学学习和研究中相辅相成。2.用分析法证明：当\(x\geq4\)时，\(\sqrt{x-3}+\sqrt{x-2}>\sqrt{x-4}+\sqrt{x-1}\)。要证\(\sqrt{x-3}+\sqrt{x-2}>\sqrt{x-4}+\sqrt{x-1}\)，只需证\((\sqrt{x-3}+\sqrt{x-2})^{2}>(\sqrt{x-4}+\sqrt{x-1})^{2}\)，即证\(2x-5+2\sqrt{(x-3)(x-2)}>2x-5+2\sqrt{(x-4)(x-1)}\)，只需证\(\sqrt{(x-3)(x-2)}>\sqrt{(x-4)(x-1)}\)，再证\((x-3)(x-2)>(x-4)(x-1)\)，展开得\(x^{2}-5x+6>x^{2}-5x+4\)，即\(6>4\)，显然成立，所以原不等式成立。3.用反证法证明：已知\(a,b\)为实