倒立摆控制系统的设计

倒立摆控制系统的设计

自动控制理论课程设计

倒立摆系统的控制器设计

学生姓名:

指导教师:

班级:

二。一三

设计指导教师评定频表:

中等及格

不及格

(100>x(90>x(80>x(70>x

分(x<60)评

项目290)280)270)260)

值分

参考标一参考参考参考参考标

准标准标准标准准

学习态

度认态度态度态度虎，纪

真，科比较尚好,尚可，律涣

学作风认真，遵守能遵散，工

严谨，科学组织守组作作风

严格保作风纪律,织纪不严

学习

15证设计良好,基本律，能谨，不

态度

时间并能按保证按期能保证

按任务园设计完成设计时

书中规满完时间，任务间和进

定的进成任按期度

度开展务书完成

各项工规定各项

作的任工作

务

设计合设计设计设计设计不

理、理合理、血，基本合理，

论分析理论理论理论分

与计算分析分析理论析与计

磷，与计与计分析算有原

实验数算正算基与计则错

据准确,实本正算无误,实

确,有验数确，实大错,验数据

水平

很强的据比验数实验不可

与实25

实际动较准据比数据靠，实

际能

手能确,有较准无大际动手

力

力、经较强确，有错能力

济分析的实一定差，文

能力和际动的实献引

计算机手能际动用、调

应用能力、经手能查调研

力，文济分力,主有较大

献查阅析能要文的问题

IV

能力力和献引

强、引计算用、调

用合机应查调

理、调用能研比

查调研力，文较可

非常合献引信

理、可用、调

信查调

研比

较合

理、可

信

有重大有较有一有一观念陈

改进或大改定改定见旧

者独进或进或5

特见者新新的

创新10

解，有颖的见解

一定实见解,

用价值实用

性

尚可

辽vX

结构严结构结构结构

建，逻例,基本泛，结

辑性符合层次构混

强，层逻辑，较为逻辑乱，文

次清文章分明，基本字表达

晰，语层次文理清晰，不清，

言准分明，通顺,文字错别字

论文

确，文语言基本尚通较多，

（计

字流达到顺，勉达不到

算

畅，完文字规范强达规范化

书、

50全符合流畅，化要到规要求；

图

规范化符合求，书范化图纸不

纸）

要求，规范写比要求;工整或者

撰写

书写工化要较工图纸不清晰

质量

整或者求，书整；图比较

用计写工纸比工整

算机整或较工

打印成者用整、清

文；图计算晰

纸非常机打

工整、印

工整、

清晰

指导教师评定成绩:

指导教师签名:年月日

重庆大学本科学生课程设计任务书

课程设计题目倒立摆系统的控制器设计

学院自动化学院专业自动化年级2022级

VII

1、已知参数和设计要求：

M：小车质量1.096kg

m：摆杆质量0.109kg

b：小车磨擦系数0.IN/sec

1：摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m

I：摆杆惯量0.0034kgm2

建立以小车加速度为系统输入，以摆杆角度为系统输出的被控对象数学模

型。分别用根轨迹法、频率特性法设计控制器使闭环系统满足要求的性能指标;

调整PID控制器参数，使闭环系统满足要求的性能指标。

2、利用根轨迹法设计控制器，使得校正后系统的性能指标满足：

调整时间t=0.5s(2%误差带)

S

最大超调量c%<10%

3、利用频率特性法设计控制器，使得校正后系统的性能指标满足：

(1)系统的静态位置误差常数为10;

(2)相位裕量为50。；

(3)增益裕量等于或者大于10dBo

4、设计或者调整PID控制器参数，使得校正后系统的性能指标满足:

调整时间t=2s(2%误差带)

s

最大超调量c%<15%

P

VIIll

学生应完成的工作：

1、利用设计指示书中的实际参数，通过机理推导，建立倒立摆系统的实际

数学模型。

2、进行开环系统的时域分析。

3、利用根轨迹法设计控制器，进行闭环系统的仿真分析。

4、利用频域法设计控制器，进行闭环系统的仿真分析。

5、设计或者调整PID控制器参数，进行闭环系统的仿真分析。

6、将所设计的控制器在倒立摆系统上进行实时控制实验。

7、完成课程设计报告。

参考资料：

1、固高科技有限公司.直线倒立摆安装与使用手册RLO,2005

2、固高科技有限公司.固高MATLAB实时控制软件用户手册，2005

3、Matlab/Simulink相关资料

4、谢昭莉，李良筑，杨欣.自动控制原理.北京：机械工业出版社，2022

5、胡寿松.自动控制原理（第五版）.北京：科学出版社，2022

6、KatsuhikoOgata.现代控制工程.北京：电子工业出版社，2003

课程设计的工作计划：

1、布置课程设计任务；消化课程设计内容，查阅并参考相关资料，进行初

步设计（3天）；

2、按课程设计的要求进行详细设计（3天）；

3、进行实时控制实验，并按课程设计的规范要求撰写设计报告（3天）；

4、课程设计答辩，实时控制验证（1天）。

任务下达日期2022年12月24日完成日期2022年1月6日

学生（签

指导教师（签名）

多

倒立摆系统的控制器设计

目录

一、倒立摆控制系统概述..................................11

二、数学模型的建立...................................12

三、系统开环响应分析.................................14

四、根轨迹法控制器设计...................................15

4.1根轨迹分析.....................................................15

4.2系统根轨迹设计.................................................16

4.3校正后系统性能分析............................................18

4.4系统控制器的调整...............................................18

五、频域法控制器设计.....................................20

5.1频域法分析.....................................................20

5.2串联校正器的选择与设计.......................................20

5.3系统的仿真.....................................................23

六、PID控制器设计.......................................24

七、总结及心得体味......................................26

八、参考教材..............................................26

倒立摆系统的控制器设计

一、倒立摆控制系统概述

倒立摆装置被公认为自动控制理论中的典型实验设备，也是控制理论教学和科

研中控对象，运用控制手段可使之具有良好的稳定性。通过对倒立摆系统的研究，

不仅可以解决控制中的理论问题，还能将控制理论所涉及的三个基础学科：力学、

数学和电学（含计算机）有机的结合起来，在倒立摆系统中进行综合应用。在多

种控制理论与方法的研究和应用中，特殊是在工程实践中，也存在一种可行性的

试验问题，将其理论和方法得到有效的经验，倒立摆为此提供一个从控制理论通

往实践的桥梁。

在稳定性控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性。倒立摆系统作为一

个控制装置，结构简单、价格低廉，便于摹拟和数字实现多种不同的控制方法，

作为一个被控对象，它是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的快速

系统，惟独采用行之有效的控制策略，才干使其稳定。倒立摆系统可以用多种理

论和方法来实现其稳定控制，如PID、自适应、状态反馈、智能控制、含糊控制及

人工神经元网络等多种理论和方法，都能在倒立摆系统控制上得到实现，而且当

一种新的控制理论和方法提出以后，在不能用理论加以严格证明时，可以考虑通

过倒立摆装置来验证其正确性和实用性。

倒立摆的种类：悬挂式、直线、环形、平面倒立摆等。一级、二级、三级、四

级乃至多级倒立摆。

倒立摆控制系统的组成：倒立摆系统由倒立摆本体，电控箱以及控制平台（包

括运动控制卡和PC机）三大部份组成。

倒立摆系统的控制器设计

本次课程设计利用单级倒立摆，主要设计PC机内控制函数，减小超调量和调节

时间！

二、数学模型的建立

系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。对于倒立摆系统，由于其本身

是自不稳定的系统，实验建模存在一定的艰难。机理建模就是在了解研究对象的

运动规律基础上，通过物理、化学等学科的知识和数学手段建立起系统内部变量、

输入变量以及输出变量之间的数学关系。

•m摆杆质量0.109Kg

•b小车磨擦系数0.1N/m/sec

•।摆杆转动轴^到质心长度0.25m

•I摆杆惯量0.0034kg-m2

・F加在小车上的力

•x小车位置

-0摆杆与垂直向上方向的夹角

-9摆杆与垂直向下方向的夹角

江12口

倒立摆系统的控制器设计

图2小车及摆杆受力分析-----N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分置

小车水平方向的合力：Mx=F-bx-N

摆杆水平方向的合力:

N=m-^-(x+sine)=mx+mlecose—mle2sine

摆杆水平方向的运动方程:

(M+m)x+b式+mlecose—mlesine=F

摆杆力矩平衡方程：一Plsine-N1sine=le

摆杆垂直方向的合力：

P—mg=m(1cose)=_mjesjne—mlecose

dt2

摆杆垂直方向的运动方程：

(I4-ml2)e+mglsine=—mixcose

用u来代表被控对象的输入力F,线性化后，两个运动方程如下(其中e=n+

(P)：

((/+Ml2)(p—mgl(p=mix

l(M+m)x+双一ml(p=u

如果令a=义进行拉普拉斯变换，得到摆杆角度和小车加速度之间的传递函数：

穴s)ml

4®(7+ml1)s：-mgl

把实际参数带入可得系统的实际模型为:

倒立摆系统的控制器设计

O(s)_0.02725?

一6.01-125』一0267后

三、系统开环响应分析

我们已经得到系统的实际模型，下面对其进行单位阶跃响应分析，在MATLAB

中输入以下程序：

M=0.5;

m=0.2;

b=0.1;

1=0.006;

g=9.8;

1=0.3;

q=(M+m)*(I+m*P2)-(m*l)"2;

num=[m*l/q00];

den=[1b*(I+m*P2)/q-(M+m)*m*g*l/q-b*m*g*l/q0];

t=0:0.05:5;

impulse(num,den,t);

axis([01060]);

可以得到小车位置与加速度实际模型的单位阶跃响应如图3：

图3系统的单位阶跃响应曲线

由图可知，在进行校正之前，小车的单位阶跃响应是发散的，倒立摆系统不稳定!

14

倒立摆系统的控制器设计

四、根轨迹法控制器设计

4.1根轨迹分析

上面已经得到系统被控对象的传递函数：

<D(s)_0.02725?

X(s)0.0102125?-0.26705

在MATLAB中输入以下程序：

clearall;

cic;

num=[0.02725];

den=[0.01021250-0.26705];

rlocus(num,den)；

—

倒立摆系统的控制器设计

图4系统根轨迹图

运行程序后便得到控制系统开环传递函数的根轨迹图。由图4我们知道系

统有两个开环极点：

Pi=-5.1136P2=5.1136

可以看出一个极点位于右半平面，并且有一条根轨迹起始于该极点，并沿着实轴

向左跑到位于原点的零点处，这意味着无论增益如何变化，这条根轨迹总是位于

右半平面，即系统总是不稳定的。

4.2系统根轨迹设计

开环传递函数为：

(D(s)_0.02725?

-6.0102125?-0.26^05

根轨迹设计的要求为：

最大超调亮：§%W10%

调整时间：ts=0.55(2%误差带)

1)根据要求的性能指标，计算出校正后闭环主导极点Sd的坐标。

由G。％=e-几次<10%,计算出E<0.6考虑到非主导极点和闭环零点的

影响，设计时E的取值应留有余量。取E=0.78,p=cos-ie=39。,再由二

16

倒立摆系统的控制器设计

0.5s得业n=11.54rad^o

期望闭环主导极点Si2二一e业n士j业双百”=一9士j7・22,为校正的开环

传递函数G0(s)=------------------

g0.0102125s2-0.26705

/G(S)=Z002725|-/0.02725

010.0102125s2-0.26705S1(-0.392/0.729)(-0.1426/0.729)

二89。

2)画出未校正系统的根轨迹图及标明Sd

观察发现为校正系统的根轨迹并不经过期望的闭环主导极点，如果想要校正后的

根轨迹经过该点，需要增加校正网络。

3)计算超前校正网络应提供的超前相角pco

pc=180。-ZGQ(sp=180--89。=9L

4)计算丫角、Zc和pi

1

Y=-(y-F-pc)=25.

业siny

z--------7=5.426

csm(yPc)

业sin(y(p)_._.

p=—«~~~~~"=24.54

csiny

故校正网络的传递函数为：

一s5.426

G(s)=-----»一

s24.54

该校正网络使校正后的开环传递函数满足了希翼极点是根轨迹上的点的相角条

件。

5)为了使校正后的传递函数满足幅值条件，应当串入一个卜，开环传递函数

为：kcG(s)G0(s)

由幅值条件|kcGc(S)Go(S)|s]=1即可求得＜。在MATLAB里面键入以下程

序：

s=-9+7.22*i

17

倒立摆系统的控制器设计

f1=abs(s+5.246)

f2=abs(s+24.54)

f3=abs(0.0102125*8^2-0.26705)

solve('k*f1*0.02725/(f2*f3)=1')；

解得K=107

6)于是系统的校正网络传递函数为：

S+5.426

kG(S)=107

ccS+24.54

4.3校正后系统性能分析

在Simulink中进行系统仿真，得到校正后系统单位阶跃响应为:

图5校正后系统的单位阶跃响应

计算超调量：Gp%=3.9%满足要求

计算调节时间：飞=0.524s不满足要求

计算结果表明，校正后系统的超调亮满足要求，但是调节时间不满足要求，并且

稳态误差过大。

4.4系统控制器的调整

调整I至220,进行仿真，得到系统单位阶跃响应如图6所示:

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倒立摆系统的控制器设计

图6调整增益后的系统单位阶跃响应

同时进行零极点调整，最后得出满足条件的零极点及增益为:

k=900,z=6,p=80

满足条件的控制器单位阶跃响应为：

081...........亍........>.......：........:........?...........:...:.....・•・力

ock..............?...............................；................i.....Z.................?•..........:...............4...............>..............

04-..............i................：.................i.....i............:.....i................:..............J

021.............>...............；...............4................？................：................•；................*...............j................•：..............J

012345676910

图6满足条件的单位阶跃响应

超调量：Gp%=5.3%满足要求

调节时间：tO=0・28s满足要求

稳态误差：17%

以上结果均满足设计要求。

一—

19

倒立摆系统的控制器设计

五、频域法控制器设计

5.1频域法分析

一级倒立摆实际模型的开环传递函数为:

在MATLAB中输入以下程序：

clearall;

num=[0.02725];

den=[0.01021250-0.26705];

G=tf(num,den);

figure;

margin(G);

gridon;

得到校正前系统的bode图为：

BoJeDiagran

由图可以看出，系统的bode图不经过OdB线，系统不稳定，需要增加串联校

正环节。

5.2串联校正器的选择与设计

系统开环传递函数：

20

倒立摆系统的控制器设计

<!>($)_0.02725/

X(s)-0.0102125s2-0.26705

频域法设计要求：

系统的静态位置误差常数为：10

相位裕量为：50。

增益裕量等于或者大于10分贝

控制器设计：

1)对照bode图和系统频域设计的要求，我们可以看出，只需要给系统增加

一个超前校正装置即可使校正后的系统满足频域设计要求。设超前校正装置为：

设计要求校正后的静态位置误差常数为10,所以：

K=limG(s)G(s)H(s)=10

ps-o0uc

解得K=98

2)将K带入校正前的开环传递函数，利用MATLAB画出系统的bode图，从图

中获取校正前系统的相角裕量为：丫=0。

3)计算超前校正装置应提供的最大相角：

Pm=y，-y+(5。~10。)=55。

式中y为性能指标要求的相角裕量，y为原系统的相角裕量，增加5。~10。是

为了补偿因增加超前校正装置使开环截止频率右移而造成的相位下降

4)计算超前校正装置参数a。

1+sinp

a---------10.06

1-sinp

m

5)确定系统校正后的截止频率业c。

截止频率就是对应期望相角裕量V的频率业c。即在校正前的对数幅频特性

bode图中，对数幅频特性L(业)=-10logi°a时，对应的频率就是系统超前校

正后的截止频率业C，求得业c=28.3如图示；

21

倒立摆系统的控制器设计

图8校正前系统bode图求4

6)计算超前校正装置的例外一个参数To

1

T==0,011

叫Va

7)确定校正装置的传递函数：

-、aTS+10.11S+1

G⑸=--------=------------

cTS+10.011S+1

8)画出校正后系统的bode图，在MATLAB中输入以下程序:

clearall;

num1=[0.111];

num2=[2.6705]

num=conv(num1,num2);

den1=[0.0111];

den2=[0.01021250-0.267005];

den=conv(deni,den2));

G=tf(num,den);

figure;

Margin;

22

倒立接系统的控制器设计

gridon;

BodeDtagran

Gwi•2tdBfr0rxVsec).Pn-549tfea(at28ra(Tsec»

frequencyiracv»ec)

图10校正后系统的bode图

由图可以看出，校正后系统的复制频率特性过Odb线，幅值裕量和相角裕量都

满足条件要求。

5.3系统的仿真

在Simulink中进行校正后系统的仿真，如图所示：

图11校正后系统的单位阶跃响应

由图可以看出，校正后系统的稳态误差为：11%超调亮和调节时间都满足要求。

23

倒立摆系统的控制器设计

因此频域法超前校正成功。

六、PID控制器设计

PID控制器是比例-微分-积分控制器的简称。在生产过程自动化的发展历程

中，从20世纪40年代之前至今，PID控制是久用不衰、生命力最强的基本控制规

律。它原理简单，使用方便，合用性强，广泛应用于生产过程的各个领域，PID

控制的控制品质对被控对象特性的变化不敏感，因此在自动控制系统中，首先想

到的基本控制规律就是PID控制。

控制器中微分控制作用可以减小响应过程中的动态偏差，缩短调节时间，积分

作用的特点是消除稳态误差，但将使响应曲线的动态偏差和调节时间增大，故此

采用PID控制。PID控制并不需要对系统进行精确的分析，因此采用实验的方法

对系统进行控制器参数的设置。

系统的实际模型：

015）_0.02725s?

苏j-0.0102125--0.26705

PID控制器设计的基本要求：

最大超调亮：Gp%<10%

调整时间：ts=。♦（2%误差带）

在Simu