第十九讲周期问题（思维拓展讲义）四年级数学尖子生高分题库教师版

第19讲周期问题知识概述知识概述在日常生活中，有一些现象会按照一定的规律不断重复出现。例如人的生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪就是按一定的顺序不断重复出现的；每周有七天从星期一开始到星期日结束，总是以七天为一个循环，不断重复出现。在数学中，一些数和图形的变化也是周而复始地循环出现的。我们把这种特殊的规律性问题称为周期问题。解答这类题目必须找到规律，才能获得解决问题的正确方法。例题例题精学例1有同样大小的红色、白色、黑色圆形纸片共200张，按先4张红的，再5张白的，再3张黑的顺序排列。第168张是什么颜色?解4+5+3=12168÷12=14(正好有14个周期)答：第168张是黑色的。【思路点拨】这个题目容易，我们只要拿些圆形纸片来动手摆一摆，不就能知道第168张是什么颜色的纸片了吗?这个办法虽行得通，可是既费时又费力有没有简便的方法呢?纸片的排列规律是：4张红的，5张白的，3张黑的，4张红的，5张白的，3张黑的……因此这道题的周期为4+5+3=12。我知道了，只要看168里包含有几个这样的周期就能解决问题。若正好有整数个周期，结果就为周期里的最后一个；若是有整数个周期还多几个，结果就为下个周期里的第几个。例题例题精学例2有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序排列，最后一朵花是什么颜色?解5+9+13=27249÷27=9……6因为249里有9个周期还多6朵，所以第249朵花是黄色的。答：最后一朵花是黄色的。【思路点拨】按照例1的方法，找出周期为27(5红，9黄，13绿),再看249朵花里包含几个周期。对，这道题的解题关键是看包含整数个周期后还多几，多几就是下一个周期里的第几个。例题例题精学例3有一列数：5,6,2,4,5,6,2,4,…问：(1)第130个数是多少?(2)前130个数相加的和是多少?解(1)130÷4=32……2答：第130个数是6。(2)(5+6+2+4)×32+5+6=555答：前130个数相加的和是555。解这道题时要注意：求数字和时，最后多出来的两个数是5和6,别漏加或错加。【思路点拨】从这些数的排列中可以看出，这组数是按5,6,2,4四个数为一个循环排列的，那么一个周期就是4个数。130里包含有32个周期还余2,所以第130个数是6。每个周期中的各数之和是5+6+2+4=17,也就是有32个17,多出来的两个数是5和6,所以前130个数相加的和是17×32+5+6=555。例题例题精学例4有同样大小的红，黄，蓝旗帜共180面按4面红的，2面黄的，再3面蓝的顺序排列着，三种颜色的旗帜各有多少面?解180÷(4+2+3)=204×20=80(面)……红旗2×20=40(面)……黄旗3×20=60(面)……蓝旗答：红旗有80面，黄旗有40面，蓝旗有60面。【思路点拨】这是一个典型的周期问题，我们可以先找出周期是4+2+3=9。180面旗里包含有20个周期，每个周期里分别有4面红旗，2面黄旗，3面蓝旗，这样就可以分别求出三种颜色的旗帜各有几面了。只要掌握方法，准确找出周期，问题就很容易解决了。例题例题精学例5我们爱数学我们爱数学...ABCDABCDAB... 上表中，将每列上下的字和字母组成一组例如，第一组为(我，A),第二组为(们，B),那么第136组是什么?解136÷5=27……1(我)136÷4=34(D)答：第136组是(我，D)。【思路点拨】咦，这道题中上下两行的周期不一样啊?上面是5个字一个周期，下面是4个字母一个周期。对，这就是这道题与前面的例题不同的地方，上下两行的变化规律不统一，也就是周期里汉字、字母的个数是不同的。因此，我们必须分别找出两行中第136个字或字母是什么,把它们组成一组。这样，问题就迎刃而解了。同步精练同步精练1.○△□○△□…问：第55个图形是什么?【答案】O2.●○○○○●○○○○●○○○○…问：第16个圆片是什么颜色?第100个圆片是什么颜色?【答案】黑色，白色3.四(1)班六位同学围成一圈进行报数游戏，小娟报1,小华报2,小丽报3,小勇报4,小强报5,小琳报6,每位同学报的数总比前一位多1。请问：72是谁报的?190呢?【答案】小琳，小勇4.将一些黑白珠子按一定规律排列(如下图),如果这些珠子共有50个，则倒数第六个珠子是什么颜色的?●●●○●●●○●●●○…【答案】黑色(提示：倒数第六就是第45个)5.有同样大小的红、白、黑珠子共90个按先3个红的，后2个白的，再1个黑的顺序排列。黑珠共有几个?第68个珠子是什么颜色?【答案】15个，红色6.一串数2,0,0,6,2,0,0,6,…共1999个，最后一个数字是几?其中有几个2,几个0和几个6?【答案】0;500,1000,4997.有100朵花，按4朵红花，3朵绿花，5朵黄花，2朵紫花的顺序排列，最后一朵是什么颜色?四种花各有几朵?【答案】红色，红花30朵，绿花21朵，黄花35朵，紫花14朵8.如下表所示，每列上、下两个字(字母)组成一组，例如，第1组是(小，A),第2组是(学，B),问：第70组是什么?小学生爱数学小学生爱数学小学…ABCDEFGABCDEFG…【答案】(爱，G)9.有一列数1,4,2,8,5,7,1,4,2,8,5,7,…问：(1)第98个数是几?(2)前98个数相加的和是多少?【答案】(1)4(2)43710.将1949按“先加12,再减9,接着加6,然后减4”的4步运算顺序，依次不断地重复计算。(1)经过多少步计算，结果恰好是1984?(2)经过多少步计算，结果恰好是2014?【答案】(1)28步(2)52步课后作业课后作业1.你能找出下面每组图形的排列规律吗?根据发现的规律，算出每组的第30个图形是什么。(1)□△□△□△□△……(2)□□△□□△□□△……(3)□□△△□□△△……【答案】(1)△;(2)△;(3)□。提示：(1)的排列规律是□△这2个图形重复出现，30÷2=15,即口△重复出现15次，所以第30个图形是△;(2)的排列规律是□□△这3个图形重复出现，30÷3=10,即口□△重复出现10次，所以第30个图形是△(3)的排列规律是□□△△这4个图形重复出现，30;4=7……2,即口□△△重复出现7次后又出现了两个图形口□,所以第30个图形是口。2.国庆节来临，为增加喜庆气氛，公园决定摆放365朵花，按3朵红花、8朵黄花、12朵紫花的顺序排列，最后一朵花是什么颜色?【答案】是紫色。提示：因为3+8+12=23,即23朵花为一个周期，365÷23=15……20,有15个周期还余20朵花，每个周期中第20朵花是紫色的，所以最后一朵花是紫色的。3.公路的一边种了一排树。第1棵是香樟树，接着是2棵梧桐树，又接着是3棵松树，按这种顺序一直排下去，这段公路的400棵树中，松树有多少棵?【答案】松树有199棵。提示：因为1+2+3=6,6棵树为一个周期，400÷6=66……4,每个周期中有3棵松树，66个周期就有66×3=198(棵)松树，在最后余下的4棵树中，前3棵分别是1棵香樟树和2棵梧桐树，第4棵就是松树，所以共有松树198+1=199(棵)。4.有一列数按1,4,2,8,5,7,1,4,2,8,5,7……排列下去，问：(1)第70个数是几?(2)这70个数相加的和是多少?【答案】(1)第70个数是8;(2)70个数相加的和是312。提示：(1)从排列中可以看出，这组数是按1,4,2,8,5,7为一个周期不断重复的，一个周期是6个数，由70÷6=11……4可知，70个数中有11个这样的周期还余4个数，第4个数是8,所以第70个数是8;(2)每个周期各数之和是1+4+2+8+5+7=27,所以这70个数相加应是27×11+1+4+2+8=312。5.下表中，将每列上下的字母和字组成一组，例如，第一组为(A奥),第2组为(B林)……问：第2008组是什么?ABCABCABCA…奥林匹克好奥林匹克好…【答案】第2008组是(A匹)。提示：从表中可以看出字母以“ABC”3个为一个周期，2008÷3=669……1。文字以“奥林匹克好”5个为一个周期，2008÷5=401……3。所以字母应是一个周期中的第一个“A”,文字应是一个周期中的第三个“匹”。6.在字母序列：ABCDEDCBAABCDEDCBAABCDEDCBA……中，第2000个字母是哪个?【答案】是B。提示：首先要找到这列字母是以“ABCDEDCBA”这9个字母为一个周期的，2000÷9=222……2,第二个字母是B,所以第2000个字母是B。7.我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表年号。如果公元1年是鸡年，那么公元2002年是什么年?【答案】2002年是马年。提示：一共有12种动物，因此12为一个周期。为了便于思考，把狗、猪、鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡看作一个循环。从公元1年到公元2002年共经历了2001年(算头不算尾),2001÷12=166……9,从狗年开始往后数9年，公元2002年是马年。8.假设所有自然数如下图所示排列起来，19、45、80、2008应分别排在哪个字母下面ABCD123487659101112161514131718……【答案】19排在C下面，45排在D下面，80排在A下面，2008排在A下面。提示：从排列情况可以知道，这些自然数是按“ABCDDCBA”8个字母为一个周期的，可以根据这些数除以8所得的余数来分析和判断。19÷8=2……3,一个周期中第3字母是C;45÷8=5……5,一个周期中第5个字母是D;80÷8=10,一个周期中最后一个字母是A;2008÷8=251,一个周期中最后一个字母是A。9.有一列数：2,3,6,8,8……从第三个数起，每个数都是前两个数乘积的个位数字，那么这列数中第80个数应是多少?【答案】第80个数是8。提示：按照每个数都是前两个数乘积的个位数字，继续往下写以寻找规律：2,3,6,8,8,4,2,8,6,8,8,4,2,8,6,8,8……·观察发现，这组数除前两个数之外，是按照6,8,8,4,2,8六个数为一个周期排列的，所以(802)÷6=13,是一个周期