2025年春新华师大版数学七级下册全册课件

新华师大版数学七年级下册全册教学课件2025年春季新版教材第5章

一元一次方程

学校运动队沿校园周边的步道晨跑，甲、乙两队员同时出发，跑完一圈乙比甲多用1min.已知甲、乙队员跑步的平均速度分别是4m/s、3.5m/s.这一圈步道有多长？

设步道一圈的长为xm，可列出方程：

★本章将学习一元一次方程的解法，并学习应用一元一次方程解决一些实际问题，从中感受方程的作用.5.1从实际问题到方程1.初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程.（难点）2.理解方程、方程的解等概念.(重点）问题1

课外活动中，张老师组织同学们进行“猜年龄”游戏，她首先提出如下问题：同学们今年的年龄是13岁，我今年的年龄是45岁，经过几年我的年龄正好是你们年龄的3倍？

大家讨论一下！比较典型的有下面两种解法：解法一（尝试—检验）

经过1年，同学们的年龄是14岁，老师的年龄是46岁，不是同学们年龄的3倍；经过2年，同学们的年龄是15岁，老师的年龄是47岁，不是同学们年龄的3倍；经过3年，同学们的年龄是16岁，老师的年龄是48岁，恰好是同学们年龄的3倍.不管过了多少年，张老师与同学们的年龄差是不变的，根据他们现在的年龄可知，这个年龄差为

45-13=32（岁）.当张老师的年龄是同学们年龄的3倍时，他们的年龄差应该是同学们年龄的2倍，这时同学们的年龄是

（45－13）÷2=32÷2=16（岁），所以要求的年数是16-13=3，和解法1的答案相同.解法2（分析—列算式）

我们前面已经学习了“用字母表示数”，在这个问题中，如果用字母（例如x）表示未知的年数，你能发现什么？经过x年，老师的年龄是_________岁，同学们的年龄是__________岁，这时老师的年龄是同学们年龄的3倍，即

老师的年龄=3×（同学们的年龄），于是有

45+x=3（13+x）.①（45+x）（13+x）同学们今年的年龄是13岁，班主任李老师今年的年龄是55岁，经过几年李老师的年龄是同学们年龄的3倍？

我们设未知的年数为x，则同学的年龄是（13+x）岁，老师的年龄是（55+x）岁.

则有55+x=3（13+x）.让我们回到本章开头提出的问题：问题2学校运动队沿校园周边的步道晨跑，甲、乙两队员同时出发，跑完一圈乙比甲多用1min.已知甲、乙队员跑步的平均速度分别是4m/s、3.5m/s.这一圈步道有多长？你能解这个问题吗？

上面两个问题中，“探索”得到了两个含有未知数的等式①和②.知识点1方程与方程的解45+x=3（13+x）.①

☀归纳

像这样，含有未知数的等式叫做方程.例如x=3是方程①的解，它能使得方程①左边:45+3=48，右边:3×(13+3)=48,左、右两边的值相等.当方程中只有一个未知数时，方程的解也叫做方程的根.

求方程的解的过程，叫做解方程.☀能使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解．判断下列各式是不是方程，是的打“√”，不是的打“×”.(1)-2+5=3()(2)3x-1=7()(3)2a+b()(4)x﹥3()(5)x+y=8()(6)2x2-5x+1=0()

√×√×√×例1

以下各方程后面的括号内分别给出了一组数，从中找出方程的解.（1）6x+2=14(0,1,2,3)（2）10=3x+1(0,1,2,3)（3）2x－4=x+4(4,8,12)x=2x=3x=8１.将数值代入方程左边进行计算，２.将数值代入方程右边进行计算，３.若左边＝右边，则是方程的解，反之，则不是．判断一个数值是不是方程的解的步骤：知识点2根据实际问题列方程例2

根据下列问题，设未知数并列出方程：(1)用一根长24cm的铁丝围成一个正方形,正方形的边长是多少？解：设正方形的边长为x

cm.等量关系：正方形边长×4=周长.x

列方程：4x=24.(2)一台计算机已使用1700h，预计每月再使用150h，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450h？解：设x月后这台计算机的使用时间达到2450h.等量关系：已用时间+再用时间=检修时间.列方程：1700+150x=2450.

(3)某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？解：设这个学校的学生数为x，那么女生数为0.52x，

男生数为(1－0.52)x.

等量关系：女生人数－男生人数=80列方程：0.52x－(1－0.52)x=80

请同学们思考：（1）怎样将一个实际问题转化为方程问题？（2）列方程的依据是什么？实际问题

分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.抓关键句子找等量关系方程设未知数列方程1.方程2(x+3)=x+10的解是()A.x=3B.x=－3C.x=4D.x=－42.已知x=2是方程2(x－3)+1=x+m的解，则m=（）A.3B.2

C.－3D.－2CCA3．“一个数比它的相反数大4”，若设这个数是x，则可列出关于x的方程为（)

A.x=-x+4

B.x=-x+(-4)

C.x=-x-(-4)

D.x+(-x)=44．A种饮料比B种饮料的单价少1元，小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共花了13元，如果设B种饮料的单价为x元/瓶，可列方程为____________________.2(x－1)＋3x＝135.王强参加3000米的长跑，他以8米/秒的速度跑了一段路程后，又以5米/秒的速度跑完了其余的路程，一共花了15分钟，他以8米/秒的速度跑了多少米？设以8米/秒的速度跑了x米，列出的方程是___________________.

同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。5.2.1等式的性质与方程的简单变形第1课时

等式的基本性质1.理解等式的基本性质；2.能利用等式性质对等式进行变形.（重点、难点）思考：要让天平平衡应该满足什么条件？知识点1等式的基本性质1问题1对比天平与等式，你有什么发现？等号成立就可看作是天平保持两边平衡！等式左边等式右边等号问题2观察天平有什么特性？天平平衡状态下，同时放入或拿走了左右两边绿色的商品，天平仍然平衡.这个事实反映了等式的基本性质1：等式两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.☀如果a

=b，那么a+c=b+c，a－c=b－c.知识点2等式的基本性质2观察下图并填空.图中的字母表示相应物品的质量，两图中天平均保持平衡.a

b3a

3b你从上述过程中发现了等式的哪些性质?怎样用字母表示?这个事实反映了等式的基本性质2：

等式两边都乘以(或都除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式.

（1）如果a+2=b+7,那么a=

；解：因为a+2=b+7，由等式性质1可知，等式两边都减去2，

得a+2-2=b+7-2，

即a=b+5.（2）如果3x=9y，那么x=

；

b+53y

2b

请在括号中写出下列等式变形的理由：（1）如果a-3=b+4，那么a=b+7()；

等式基本性质1等式基本性质2

等式基本性质2（4）如果2a+3=3b-1，那么2a-6=3b-10().等式基本性质1

解:（1）错误.由等式性质1可知，等式两边都加上3，得a-3+3=2b-5+3，即

a=2b-2.

判断下列等式变形是否正确，并说明理由.

不正确，应该是a+9=3b-3.（2）若2x-6=4y-2，则x-3=2y-2.不正确，应该是x-3=2y-1.DD1．如果ac=ab，那么下列等式中不一定成立的是（

）

A.ac-1=ab-1

B.ac+a=ab+a

C.-3ac=-3ab

D.

c=b2.下列变形中，不正确的是

（

）

A.由y+3=5，得y=5-3

B.由3y=4y+2，得3y-4y=2

C.由y=-2y+1，得y+2y=1D.由-y=6y+3，得y-6y=3

4．下列结论中不能由a+b=0得到的是()A.a²=-ab

B.|a|=|b|C.a=0，b=0

D.a²=b²CC同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。5.2.1等式的性质与方程的简单变形第2课时

用方程的变形解简单的方程1.正确理解和使用方程的变形规则；（难点）2.能利用方程的变形规则解一元一次方程.（重点）等式的基本性质:1.等式两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.如果a

=b，那么a+c=b+c，a－c=b－c.

知识点1方程的变形规则由等式的基本性质，可以得到方程的变形规则：1.方程两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，方程的解不变；2.方程两边都乘以（或都除以）同一个不等于0的数，方程的解不变.根据这些规则，我们可以对方程进行适当的变形，求得方程的解.例1

解下列方程：（1）x-5=7;（2）4x=3x-4.解

（1）

x-5=7,（2）

4x=3x-4,以上两个方程的解法，都依据了方程的变形规则1.两边都加上5，得x=7+5,即

x=12.两边都减去3x，得4x-3x=-4.合并同类项，得

x=-4.

在解这两个方程时，进行了怎样的变形？有什么共同点？知识点2移项

(1)移项的根据是等式的基本性质1.(2)移项要变号，没有移动的项不改变符号.(3)通常把含有未知数的项移到方程的左边，把常数项(不含未知数的项)移到方程的右边.移项要点：☀

以上两个方程的变形，相当于将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边.

像这样的变形叫做移项.(1)5＋x＝10移项得x＝10＋5；(2)6x＝2x＋8移项得6x＋2x

＝8；(3)5－2x＝4－3x移项得3x－2x＝4－5；(4)－2x＋7＝1－8x移项得－2x＋8x＝1－7.××√√10－56x－2x下面的移项对不对？如果不对，应怎样改正？1.移项时必须是从等号的一边到另一边，并且不要忘记对移动的项变号，如从2＋5x＝7得到5x＝7＋2是不对的．2.没移项时不要误认为移项，如从－8＝x得到x＝8，犯这样的错误，其原因在于对等式的对称性与移项的区别没有分清．注意：知识点3将未知数的系数化为1

在解这两个方程时，进行了怎样的变形？有什么共同点？☀概括

以上例1和例2解方程的过程，都是将方程进行适当的变形，得到x=a的形式.☀归纳

这两个方程的解法，都依据了方程的变形规则2，将方程的两边都除以未知数的系数.像这样的变形通常称作“将未知数的系数化为1”.1.下列方程变形中，正确的是（

）

A.由4+x=5，得x=5+4

B.由x-1=-2，得x=-2-1

C.由2x=3x-5，得3x-2x=5

D.由4-3x=0，得-3x=42.下列变形正确的是（

）A.从7+x=13，得到x=13+7

B.从5x=4x+8，得到5x+4x=8C.由3+x=5，得x=5+3

D.由3=x-2，得x=2+3

CDD

同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。5.2.1等式的性质与方程的简单变形

第3课时

解较复杂的方程1.回顾移项的方法步骤.2.学会用移项的方法解形如“ax+b=cx+d”的一元一次方程.(重点）移项：将方程中的某些项___________后，从方程的_________________.像这样的变形叫做移项.改变符号一边移到另一边利用方程的变形，求方程2x+3=1的解，并和同学交流.解：两边都减去3，得2x=1-3.合并同类项,得2x=-2.两边都除以2，得

x=-1.2x+3=1①2x=1-3②

由方程①到方程②，这个变形相当于把①中的“+3”这一项从方程的左边移到了方程的右边.“+3”这项移动后，发生了什么变化?改变了符号+3

2x+3=12x=1-3

(2)原方程即

8+2x=6.移项,得

2x=-2.将未知数的系数化为1，得x=-1.例1

解下列方程：知识点1用移项和合并同类项解方程（3）移项，得合并同类项，得将未知数的系数化为1，得解方程：4x+3=2x-7.

合并同类项，得2x=-10解：移项，得4x-2x=-7-3将未知数的系数化为1，得x=-5知识点2解较复杂的方程例2

解方程:5x-5=8x-2x-2.解：移项，得5x-8x+2x=-2+5.合并同类项，得-x=3.将未知数的系数化为1，得x=-3.☀方法总结

解较复杂的方程的一般步骤：①移项；②合并同类项；③将未知数的系数化为1.例3

若代数式2x+5与x+8的值相等，求x的值.解：根据题意，得2x+5=x+8，移项，得2x-x=8-5，合并同类项，得x=3.☀方法总结

已知两代数式的关系，列出方程，求解即可.解下列方程：（1）

；（2）.

解下列一元一次方程：答案：(1)x=-2(2)t=20(3)x=-4(4)x=2(5)x=3(6)x=27（5）10x－5x+5=30－2x－4

（6）4x－4－60+3x=5x－10同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。5.2.2解一元一次方程第1课时

解一元一次方程——去括号1.理解一元一次方程概念及特点.(重点）2.了解“去括号”是解方程的重要步骤；3.准确而熟练地运用去括号法则解带有括号的方程.(难点、重点）

前面我们遇到的一些方程，例如观察这两个方程有什么共同特点?

45+x=3（13+x），知识点1一元一次方程的定义问题

观察以下两个方程有什么共同特点?只含有一个未知数,

（一元）（一次）含未知数的项的次数都是1,这样的方程叫做一元一次方程.左右两边都是整式，我们发现

，

45+x=3（13+x），一元一次方程定义:注意以下三点：（1）一元一次方程有如下特点：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1；③含有未知数的式子都是整式.（2）一元一次方程的最简形式为：ax=b(a≠0).（3）一元一次方程的标准形式为：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且(a≠0)）.☀

只含有一个未知数、左右两边都是整式,并且含未知数的项的次数都是1的方程叫做一元一次方程.

√√知识点2解含括号的一元一次方程1.利用乘法分配律计算下列各式：(1)2(x+8)=(2)-3(3x+4)=(3)-7(7y-5)=2x+16-9x-12-49y+352.去括号:(1)a+(–b+c)=(2)(a–b)–(c+d)=(3)–(–a+b)–c=(4)–(2x–y)–(–

x2+y2)=a-b+ca-b-c-da-b-c-2x+y+x2-y2去括号法则：用三个字母a、b、c表示去括号前后的变化规律:

a+(b+c)

a–(b+c)=a+b+c=a–b–c去掉“+(

)”，括号内各项的符号不变.

去掉“–(

)”，括号内各项的符号改变.例1

解方程：3(x－2)+1=x－(2x－1).3x－6+1=x－2x+1.

解：去括号，得合并同类项，得3x－5=－x+1.

移项，得3x+x=1+5.合并同类项，得4x=6.将未知数的系数化为1，得

例2

解下列方程：解：(1)去括号，得移项，得合并同类项，得系数化为1，得(1)2x-(x+10)=5x+2(x-1);(2)3x-7(x-1)=3-2(x+3).(2)去括号，得移项，得合并同类项，得系数化为1，得2x-x-10=5x+2x-2.2x-x-5x-2x=-2+10.-6x=8.

3x-7x+7=3-2x-6.3x-7x+2x=3-6-7.-2x=-10.x=5.移项合并同类项系数化为1去括号

通过以上解方程的过程，你能总结出解含有括号的一元一次方程的一般步骤吗？(1)6x

=－2(3x－5)＋10;

(2)－2(x＋5)=3(x－5)－6.

解下列方程:解:(1)6x=－2(3x－5)＋106x=－6x＋10＋106x

+6x=10＋10

12x=20(2)－2(x＋5)=3(x－5)－6－2x－10=3x－15－6－2x－3x=－15－6＋10

－5x=－11

1.对于方程2(2x－1)－(x－3)=1去括号正确的是()A.4x－1－x－3=1B.4x－1－x+3=1C.4x－2－x－3=1D.4x－2－x+3=1DD

(1)

3x－5(x－3)=9－(x+4)(2)2x-(x-10)=5x+2(x-1)(3)4(2x+3)=8(1-x)-5(x-2)(4)3(x-1)-2(x+10)=-63.解下列方程．

同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。5.2.2解一元一次方程第2课时

解一元一次方程——去分母1.掌握含有分母的一元一次方程的解法.(重点）2.熟练利用解一元一次方程的步骤解各种类型的方程.（难点）

英国伦敦博物馆保存着一部极其珍贵的文物—纸莎草文书．现存世界上最古老的方程就出现在这部英国考古学家兰德1858年找到的纸草上．经破译，上面都是一些方程，共85个问题．其中有如下一道著名的求未知数的问题.纸莎草文书你能解决以上古代问题吗？

分析：你认为本题用算术方法解方便，还是

用方程方法解方便？请你列出本题的方程.

结论：设这个数是x，则可列

方程问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，求这个数？

你能解出这道方程吗？把你的解法与其他同学交流一下，看谁的解法好.

总结：像上面这样的方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化为整数，则可以使解方程中的计算更方便些.知识点

解含分母的一元一次方程2.去分母时要注意什么问题?想一想1.若使方程的系数变成整系数方程，方程两边应该同乘以什么数?解方程：系数化为1去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）

移项合并同类项去括号注意:(1)为什么同乘各分母的最小公倍数10；(2)小心漏乘,记得添括号.5(3x+1)-10×2=(3x-2)-2×2x15x+5-20=3x-2-4x15x-3x+4x=-2-5+2016x=13

例1

分析

这个方程中的系数出现了分数，通常可以将方程的两边都乘以同一个数（这里是都乘以6），去掉方程中的分母．像这样的变形通常称为“去分母”.解

去分母，得去括号，得移项，得合并同类项，得将未知数的系数化为1，得这里为什么要添上括号？注意：去分母时，分子是多项式时要把分子看作一个整体.移项合并同类项系数化为1去括号

通过以上解方程的过程，你能总结出解含分母的一元一次方程通常有哪些步骤吗？去分母例2解方程：解：去分母，得

2(x+1)－4=8+(2－x)去括号，得

2x+2－4=8+2－x

移项，得2x+x=8+2－2+4

合并同类项，得3x=12

系数化为1，得

x=4解：去分母，得

18x+3(x－1)=18－2(2x－1)去括号，得

18x+3x－3=18－4x+2

移项，得18x+3x+4x=18+2+3

合并同类项，得25x=23

系数化为1，得下列方程的解法对不对？如果不对，你能找出错在哪里吗？解方程：解：去分母，得4x－1－3x+6=1

移项，合并同类项，得x=4去括号符号错误约去分母3后，(2x－1)×2在去括号时出错.方程右边的“1”去分母时漏乘最小公倍数6

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；2.去分母的依据是

，去分母时不能漏乘

；3.去分母与去括号这两步分开写，不要跳步，防止忘记变号.最小公倍数等式的基本性质2没有分母的项

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CD

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用一元一次方程解决实际问题

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本文件嵌入多组隐形文字水印（如#H7y9&K3m），任何复制、OCR识别提取或篡改操作，均会触发溯源追踪机制，相关责任人将被依法追究法律责任。本PPT仅允许用于个人学习、学术研究或非商业性质的演示场景，严禁以任何形式复制传播或挪作他用。请严格遵守使用授权范围，共同维护数字版权安全与合规使用环境。1.分清有关数量关系，能正确找出作为列方程依据的主要等量关系.(难点）2.掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.(重点)

本文件嵌入多组隐形文字水印（如#H7y9&K3m），任何复制、OCR识别提取或篡改操作，均会触发溯源追踪机制，相关责任人将被依法追究法律责任。本PPT仅允许用于个人学习、学术研究或非商业性质的演示场景，严禁以任何形式复制传播或挪作他用。请严格遵守使用授权范围，共同维护数字版权安全与合规使用环境。

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用一元一次方程解决实际问题某湿地公园举行观鸟节活动，其门票价格如下：全价票20元/人半价票10元/人该公园共售出1200张门票，得总票款20000元，问全价票和半价票各售出多少张？

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________＋半价票款＝________．

分析题意可得此题中的等量关系有：半价票数全价票款20000元

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全价半价票数/张

票款/元

根据等量关系②，可列出方程：解得x＝

.因此，售出全价票

张，半价票

张.x1200－x20x10(1200－x)全价票款＋半价票款＝20000元20x10(1200－x)+

=20000800800400可不可以设其他未知量

为x？

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从A盘中拿出一些盐放到B盘中，使两盘中所盛盐的质量相等，于是有这样的等量关系：

设应从A盘中拿出x

g盐放到B盘中，我们来计算两盘中现有盐的质量，可列表如下：A盘中现有盐的质量

=

B盘中现有盐的质量A盘B盘原有盐/g5145现有盐/g50-x45+x

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新学期开学，学校团委组织八年级65位新团员将教科书从仓库搬到七年级新生教室.女同学每人每次搬3包，男同学每人每次搬4包.每位同学搬了2次，共搬了450包.问：这些新团员中有多少位男同学？分析

题目告诉了我们好几个等量关系，其中有这样的等量关系：男同学搬书包数

+女同学搬书包数

=搬书总包数.

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列一元一次方程解决实际问题，关键在于抓住问题中的等量关系，列出方程．求得方程的解后，经过检验，得到实际问题的解答.

这一过程也可以简单地表述为：在设未知数和作出解答时，应注意量的单位.

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物体形状变化问题与数字问题

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在这个过程中什么没有发生变化？长方形的周长(或长与宽的和)不变问题1

用一根长60cm的铁丝围成一个长方形.

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xcm等量关系：（长+宽）×2=周长

解得x

=18

此时长方形的长为18cm，宽为12cm.

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cm解：设此时长方形的长为xcm，则它的宽为（x-4）cm.根据题意，得(x+x-4)×2=60解得x=1717-4=13

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∵221＞216，

∴还可以围出面积更大的长方形.

由此可以得到：当长与宽相差越小时，长方形的面积越大，当长与宽相等(相差为0)时，长方形的面积最大.

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讨论在每小题中均可设长方形的长或宽为未知数；小题（2）中，因为已知长与宽的关系，而不是面积的关系，所以不能直接设出长方形的面积.只能间接地设出长方形的长或宽，待求出长方形的长或宽后，再进一步计算这个长方形的面积.

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用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2)m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．分析

比较两图形的面积大小，关键是通过题中的等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题的等量关系为

正方形的周长＝圆的周长．

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m，则正方形的边长为[r＋2(π－2)]m.根据题意，得答：铁丝的长为8π

m，圆的面积较大．∵4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，∴圆的面积大．正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m2)．∴圆的面积是π×42＝16π(m2)，∴铁丝的长为2πr＝8π(m)．2πr＝4(r＋2π－4)，解得r＝4.

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某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m变为多少米？知识点2立体图形的等积变形问题

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