中南财经数学竞赛试题及答案

中南财经数学竞赛试题及答案一、单项选择题（每题2分，共40分）1.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0，则下列结论正确的是：A.f(x)在(a,b)内必有零点B.f(x)在(a,b)内必有且仅有一个零点C.若f(x)在(a,b)内可导，则f'(x)在(a,b)内必有零点D.若f(x)在(a,b)内可导且f'(x)≠0，则f(x)在(a,b)内单调2.已知矩阵A=[[1,2],[3,4]]，B=[[5,6],[7,8]]，则A+B的行列式值为：A.-4

B.4C.-16

D.163.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且E[(X-1)(X-2)]=1，则λ的值为：A.1

B.2

C.3

D.44.下列函数中，在x=0处可导的是：A.f(x)=|x|B.f(x)=x^(1/3)C.f(x)=e^(-1/x^2)(x≠0),f(0)=0D.f(x)=sin(1/x)(x≠0),f(0)=05.设向量组α1,α2,α3线性无关，则下列向量组中线性相关的是：A.α1+α2,α2+α3,α3+α1B.α1-α2,α2-α3,α3-α1C.α1+α2,2α2+α3,3α3+α1D.α1,α1+α2,α1+α2+α36.微分方程y''+4y'+4y=e^(-2x)的通解为：A.y=(C1+C2x)e^(-2x)+xe^(-2x)B.y=(C1+C2x)e^(-2x)+x^2e^(-2x)

C.y=C1e^(-2x)+C2e^(2x)+xe^(-2x)

D.y=C1e^(-2x)+C2e^(2x)+x^2e^(-2x)7.设随机变量X,Y相互独立，且X~N(0,1),Y~N(0,1)，则D(XY)的值为：A.0B.1

C.2D.无法确定8.下列级数中，条件收敛的是：A.∑(n=1→∞)(-1)^n/nB.∑(n=1→∞)(-1)^n/n^2C.∑(n=1→∞)1/n^2D.∑(n=1→∞)1/n9.设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1，则存在ξ∈(0,1)，使得：A.f'(ξ)=1B.f'(ξ)=f(ξ)C.f'(ξ)=[f(ξ)-f(0)]/ξD.f'(ξ)=[f(1)-f(0)]/(1-0)10.已知三阶矩阵A的特征值为1,2,3，则|A^2+2A+E|的值为：A.6B.36C.216D.1296二、多项选择题（每题2分，共40分）1.下列关于导数和微分的说法正确的有：A.若函数在某点可导，则在该点一定连续B.若函数在某点连续，则在该点一定可导C.微分dy是函数增量的线性主部D.可导函数的导数一定连续E.连续函数的原函数一定存在2.关于矩阵的运算，下列说法正确的有：A.(A+B)^T=A^T+B^T

B.(AB)^T=A^TB^TC.|kA|=k|A|(k为常数)D.若A可逆，则|A^(-1)|=1/|A|E.相似矩阵有相同的特征值3.下列随机变量中，服从正态分布的有：A.大量独立同分布的随机变量的和B.大量独立同分布的随机变量的平均值C.样本均值（当总体服从正态分布时）D.二项分布当n很大时的近似分布E.泊松分布当λ很大时的近似分布4.关于定积分的性质，下列说法正确的有：A.定积分的值与积分变量的符号无关B.若f(x)在[a,b]上连续，则∫[a,b]f(x)dx=∫[a,c]f(x)dx+∫[c,b]f(x)dx(a<c<b)C.若f(x)≥g(x)在[a,b]上成立，则∫[a,b]f(x)dx≥∫[a,b]g(x)dxD.∫[a,b]kf(x)dx=k∫[a,b]f(x)dx(k为常数)E.定积分的值一定大于等于零5.下列关于数列极限的说法正确的有：A.若数列{a_n}收敛，则其子数列也收敛B.收敛数列一定有界C.有界数列一定收敛D.若lim(n→∞)a_n=A，lim(n→∞)b_n=B，则lim(n→∞)(a_n+b_n)=A+BE.若lim(n→∞)a_n=A，则lim(n→∞)|a_n|=|A|6.关于线性方程组的解，下列说法正确的有：A.齐次线性方程组一定有解B.非齐次线性方程组可能无解C.若线性方程组有解，则解唯一当且仅当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且等于未知数的个数D.若线性方程组的系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则方程组无解E.两个线性方程组同解当且仅当它们的系数矩阵和增广矩阵分别等价7.下列函数中，在定义域内可导的有：A.f(x)=x^(2/3)B.f(x)=|x|^(1/2)C.f(x)=e^(-1/x^2)(x≠0),f(0)=0

D.f(x)=sin(1/x)(x≠0),f(0)=1

E.f(x)=ln|x|(x≠0)8.关于概率论中的事件关系，下列说法正确的有：A.若A⊂B，则P(A)≤P(B)B.P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)C.若A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)D.若A与B独立，则P(AB)=P(A)P(B)E.P(Ω)=1(Ω为样本空间)9.下列关于微分方程解的说法正确的有：A.一阶线性微分方程的通解包含一个任意常数B.二阶常系数线性齐次微分方程的通解包含两个任意常数C.非齐次微分方程的通解等于对应的齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解D.微分方程的解一定是唯一的E.初始条件可以确定微分方程的特解10.关于向量空间，下列说法正确的有：A.向量空间对加法和数乘运算封闭B.零向量是任何向量空间的元素C.向量空间中的向量一定可以表示为基向量的线性组合D.向量空间的维数等于其基中向量的个数E.不同维数的向量空间之间不存在同构关系三、判断题（每题1分，共10分）1.若函数在某点连续，则在该点一定可导。（）2.相似矩阵一定等价。（）3.若随机变量X,Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)。（）4.定积分的值与积分区间有关，与积分变量的符号无关。（）5.收敛数列的任何子数列都收敛。（）6.齐次线性方程组一定有非零解当且仅当系数矩阵的秩小于未知数的个数。（）7.函数在某点可导的充要条件是该点的左导数和右导数都存在且相等。（）8.若事件A与B互斥，则A与B一定不独立。（）9.二阶常系数线性齐次微分方程的通解可以表示为两个线性无关的特解的线性组合。（）10.向量空间的基是唯一的。（）四、填空题（每题1分，共10分）1.设f(x)在x=0处连续，且lim(x→0)[f(x)/x]=1，则f'(0)=______。2.已知矩阵A=[[1,2],[3,4]]，则A的伴随矩阵A*的行列式|A*|=______。3.设随机变量X服从参数为n,p的二项分布，且E(X)=2.4,D(X)=1.44，则n=______,p=______。4.微分方程y'=2x的通解为y=______。5.设向量组α1,α2,α3线性无关，则向量组α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1的秩为______。6.∫[0,1]e^xdx=______。7.若级数∑(n=1→∞)u_n收敛，且u_n≥0，则lim(n→∞)u_n=______。8.设A为三阶矩阵，且|A|=2，则|2A^(-1)|=______。9.若P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(A∪B)=0.8，则P(AB)=______。10.二阶微分方程y''+y=0的通解为y=______。答案：一、单项选择题1.D2.A3.A4.C5.B6.A7.B8.A9.C10.C二、多项选择题1.ACE2.ADE3.ABCDE4.ABCD