历届数学竞赛试题及答案

#imo历届数学竞赛试题及答案##第一届IMO（1959年）###一、单项选择题题干：设\(a,b,c\)是实数，满足\(a+b+c=0\)且\(abc=1\)。证明\(a,b,c\)中至少有一个大于\(\frac{3}{2}\)。（本题以判断陈述正确性作为选择依据，正确选A，错误选B）A.正确B.错误题干：对于任意实数\(x\)，\(y\)，\(z\)，证明不等式\(x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslantxy+yz+zx\)。（本题以判断陈述正确性作为选择依据，正确选A，错误选B）A.正确B.错误题干：已知一个凸多边形的内角和为\(1080^{\circ}\)，求这个凸多边形的边数。（本题给出四个选项作为答案选择）A.\(6\)

B.\(7\)

C.\(8\)

D.\(9\)题干：若方程\(x^{2}-px+q=0\)的两个根是\(x_1\)，\(x_2\)，且\(x_1+x_2=3\)，\(x_1x_2=2\)，求\(p\)，\(q\)的值。（本题给出四组\(p\)，\(q\)值作为选项）A.\(p=3\)，\(q=2\)B.\(p=-3\)，\(q=2\)

C.\(p=3\)，\(q=-2\)

D.\(p=-3\)，\(q=-2\)题干：在\(\triangleABC\)中，\(\angleA=60^{\circ}\)，\(\angleB=75^{\circ}\)，则\(\sinC\)的值为（）。（本题给出四个三角函数值作为选项）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)D.\(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)题干：从\(1,2,\cdots,9\)这九个数字中任取两个不同的数，其和为偶数的取法共有（）种。（本题给出四个数量作为选项）A.\(10\)

B.\(12\)

C.\(16\)

D.\(20\)题干：若函数\(y=f(x)\)满足\(f(x+1)=f(x)+1\)，且\(f(1)=2\)，则\(f(5)\)的值为（）。（本题给出四个数值作为选项）A.\(5\)

B.\(6\)

C.\(7\)

D.\(8\)题干：已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(x,1)\)，若

\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，则\(x\)的值为（）。（本题给

出四个数值作为选项）A.\(\frac{1}{2}\)

B.\(2\)C.\(-\frac{1}{2}\)

D.\(-2\)题干：等比数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_4=16\)，则公比\(q\)为（）。（本题给出四个数值作为选项）A.\(2\)B.\(\frac{1}{2}\)

C.\(-2\)D.\(-\frac{1}{2}\)题干：若直线\(y=kx+1\)与圆\(x^{2}+y^{2}=1\)相交于\(P\)，\(Q\)两点，且

\(\anglePOQ=90^{\circ}\)（\(O\)为坐标原点），则\(k\)的值为（）。（本题

给出四个数值作为选项）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(\pm1\)D.不存在###二、多项选择题题干：关于\(x\)的不等式\(ax^{2}+bx+c>0\)的解集为\(\{x|-1<x<2\}\)，则以下结论正确的是（）。（本题给出四个结论作为选项）A.\(a<0\)B.\(a+b+c>0\)C.\(b^{2}-4ac>0\)

D.\(c>0\)题干：已知函数\(f(x)=\sin(x+\varphi)\)（\(0<\varphi<\pi\)）是偶函数，则以下说法

正确的是（）。（本题给出四个说法作为选项）

A.\(\varphi=\frac{\pi}{2}\)B.函数\(f(x)\)的图象关于\(y\)轴对称C.函数\(f(x)\)在\([0,\frac{\pi}{2}]\)上单调递减D.函数\(f(x)\)的最大值为\(1\)题干：在\(\triangleABC\)中，内角\(A\)，\(B\)，\(C\)所对的边分别为\(a\)，

\(b\)，\(c\)，若\(a\cosB-b\cosA=\frac{3}{5}c\)，则以下关系正确的是（）。

（本题给出四个关系作为选项）A.\(2\sinA-3\sinB=0\)

B.\(2\sinB-3\sinA=0\)

C.\(2a-3b=0\)D.\(2b-3a=0\)题干：已知集合\(A=\{x|x^{2}-3x+2=0\}\)，\(B=\{x|x^{2}-mx+m-1=0\}\)

，若\(B\subseteqA\)，则实数\(m\)的值为（）。（本题给出四个数值作为选

项）A.\(1\)

B.\(2\)

C.\(3\)D.\(不存在\)题干：若\(z=\frac{2}{1+i}\)（\(i\)为虚数单位），则以下结论正确的是（）。（本题给出四个结论作为选项）A.\(z\)的虚部为\(-1\)B.\(|z|=\sqrt{2}\)C.\(z\)的共轭复数\(\overline{z}=1+i\)D.\(z\)在复平面内对应的点在第四象限题干：已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{5}=25\)，\(a_{3}=5\)，则以下说法正确的是（）。（本题给出四个说法作为选项）A.公差\(d=2\)B.\(a_{1}=1\)C.\(S_{10}=100\)D.数列\(\{a_{n}\}\)是递增数列题干：对于函数\(y=\log_{\frac{1}{2}}(x^{2}-2x-3)\)，以下说法正确的是（）。（本题给出四个说法作为选项）A.定义域为\(\{x|x<-1或x>3\}\)B.单调递减区间为\((3,+\infty)\)C.值域为\(R\)D.函数图象关于直线\(x=1\)对称题干：已知平面向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)满足

\(|\overrightarrow{a}|=2\)，\(|\overrightarrow{b}|=1\)，且

\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\)，则以下结论正确的是（）。（本

题给出四个结论作为选项）A.\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角为\(60^{\circ}\)B.\(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}\)C.\((2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\perp\overrightarrow{b}\)

D.\(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{7}\)题干：若椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a>b>0\)）的离心率为\(\frac{1}{2}\)，则以下关系正确的是（）。（本题给出四个关系作为选项）A.\(a=2c\)B.\(b=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)

C.\(a^{2}=4c^{2}\)D.\(b^{2}=\frac{3}{4}a^{2}\)题干：已知函数\(f(x)=\begin{cases}2^{x},x\leqslant0\\f(x-1)+1,x>0\end{cases}\)，则以下说法正确的是（）。（本题给出四个说法作为选项）A.\(f(1)=2\)

B.\(f(2)=3\)C.函数\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递增D.\(f(x)\)的值域为\(R\)###三、判断题题干：若\(a>b\)，\(c>d\)，则\(a-c>b-d\)。（）题干：函数\(y=x^{3}\)在\(R\)上是增函数。（）题干：若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合。（）题干：一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大。（）题干：若\(a\parallelb\)，\(b\parallelc\)，则\(a\parallelc\)。（）题干：若\(A\capB=A\)，则\(A\subseteqB\)。（）题干：等比数列的公比可以为\(0\)。（）题干：若函数\(y=f(x)\)在区间\((a,b)\)上单调递增，则在\((a,b)\)上\(f^\prime(x)>0\)。（）题干：若直线\(l_1\)，\(l_2\)的斜率都存在且相等，则\(l_1\parallell_2\)。（）题干：若\(x\inR\)，则\(x^{2}+1\geqslant1\)。（）###四、填空题题干：已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则\(A\capB=\)______。题干：若复数\(z=3+4i\)（\(i\)为虚数单位），则\(|z|=\)______。题干：等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_1=1\)，公差\(d=2\)，则\(a_{5}=\)______。题干：函数\(y=\sqrt{x-1}\)的定义域为______。题干：若\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)，且\(\alpha\)为第二象限角，则\(\cos\alpha=\)______。题干：在\(\triangleABC\)中，若\(a=3\)，\(b=4\)，\(\angleC=90^{\circ}\)，则\(\triangleABC\)的面积为______。题干：已知向量\(\overrightarrow{a}=(2,1)\)，\(\overrightarrow{b}=(-1,2)\)，则\(2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}=\)______。题干：若方程\(x^{2}-2x+m=0\)有两个相等的实数根，则\(m=\)______。题干：从\(5\)名男生和\(3\)名女生中任选\(3\)人参加活动，则至少有\(1\)名女生的选法有______种。题干：若\(\log_{2}x=3\)，则\(x=\)______。##答案###一、单项选择题1.A2.A3.C4.A5.D6.C7.B8.A9.A10.C###